河南中考试卷

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2018年河南省中考数学试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）

1．（3.00分）﹣的相反数是（）

A．﹣B．C．﹣D．

2．（3.00分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿

元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（）

A．2.147×102B．0.2147×103C．2.147×1010D．0.2147×1011

3．（3.00分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么

在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）

A．厉B．害C．了D．我

4．（3.00分）下列运算正确的是（）

A．（﹣x2）3=﹣x5B．x2+x3=x5C．x3•x4=x7D．2x3﹣x3=1

5．（3.00分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增

速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正

确的是（）

A．中位数是12.7%B．众数是15.3%

C．平均数是15.98%D．方差是0

6．（3.00分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，

不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还

差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数

为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为（）

A．B．

C．D．

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7．（3.00分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A．x2+6x+9=0B．x2=xC．x2+3=2xD．（x﹣1）2+1=0

8．（3.00分）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正

面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从

中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（）

A．B．C．D．

9．（3.00分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正

半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，

OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠

AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）

10．（3.00分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s

的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）

变化的关系图象，则a的值为（）

A．B．2C．D．2

二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答

題卷相应题号的横线上）

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11．（3.00分）计算：|﹣5|﹣=．

12．（3.00分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，

则∠BOC的度数为．

13．（3.00分）不等式组的最小整数解是．

14．（3.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中

点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部

分的面积为．

15．（3.00分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一

动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC

的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角

形时，AB的长为．

三、计算题（本大题共8题，共75分，请认真读题）

16．（8.00分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=+1．

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17．（9.00分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，

漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对

治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所

示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C．选育无絮杨品种，并推广种植

D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E．其他

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的市民共有人；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．

18．（9.00分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满

足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；

②矩形的面积等于k的值．

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19．（9.00分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，

过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：

①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；

②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．

20．（9.00分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低

两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节

高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学

问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE

的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支

架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF

为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°

≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，

tan80.3°≈5.850）

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21．（10.00分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）

与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利

润的几组对应值如表：

销售单价x（元）

8595105115

日销售量y（个）

17512575m

日销售利润w（元）

875

（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最

大，最大值是元；

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日

销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售

利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

22．（10.00分）（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，

BD交于点M．填空：

①的值为；

②∠AMB的度数为．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC

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交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，

若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

23．（11.00分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直

线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行

线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点

P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M

的坐标．

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2018年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）

1．（3.00分）﹣的相反数是（）

A．﹣B．C．﹣D．

【解答】解：﹣的相反数是：．

故选：B．

2．（3.00分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿

元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（）

A．2.147×102B．0.2147×103C．2.147×1010D．0.2147×1011

【解答】解：214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，

故选：C．

3．（3.00分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么

在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）

A．厉B．害C．了D．我

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“的”与“害”是相对面，

“了”与“厉”是相对面，

“我”与“国”是相对面．

故选：D．

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4．（3.00分）下列运算正确的是（）

A．（﹣x2）3=﹣x5B．x2+x3=x5C．x3•x4=x7D．2x3﹣x3=1

【解答】解：A、（﹣x2）3=﹣x6，此选项错误；

B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；

C、x3•x4=x7，此选项正确；

D、2x3﹣x3=x3，此选项错误；

故选：C．

5．（3.00分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增

速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正

确的是（）

A．中位数是12.7%B．众数是15.3%

C．平均数是15.98%D．方差是0

【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%，

故中位数是：15.3%，故此选项错误；

B、众数是15.3%，正确；

C、（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）

=14.98%，故选项C错误；

D、∵5个数据不完全相同，

∴方差不可能为零，故此选项错误．

故选：B．

6．（3.00分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，

不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还

差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数

为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为（）

A．B．

C．D．

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【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y线，根据题意，可列方程组为：．

故选：A．

7．（3.00分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A．x2+6x+9=0B．x2=xC．x2+3=2xD．（x﹣1）2+1=0

【解答】解：A、x2+6x+9=0

△=62﹣4×9=36﹣36=0，

方程有两个相等实数根；

B、x2=x

x2﹣x=0

△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0

两个不相等实数根；

C、x2+3=2x

x2﹣2x+3=0

△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，

方程无实根；

D、（x﹣1）2+1=0

（x﹣1）2=﹣1，

则方程无实根；

故选：B．

8．（3.00分）现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正

面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从

中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：令3张用A

1，A2，A3，表示，用B表示，

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可得：

，

一共有12种可能，两张卡片正面图案相同的有6种，

故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是：．

故选：D．

9．（3.00分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正

半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，

OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠

AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）

【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），

∴AH=1，HO=2，

∴Rt△AOH中，AO=，

由题可得，OF平分∠AOB，

∴∠AOG=∠EOG，

又∵AG∥OE，

∴∠AGO=∠EOG，

∴∠AGO=∠AOG，

∴AG=AO=，

∴HG=﹣1，

∴G（﹣1，2），

故选：A．

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10．（3.00分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s

的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）

变化的关系图象，则a的值为（）

A．B．2C．D．2

【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E

由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．

∴AD=a

∴

∴DE=2

当点F从D到B时，用s

∴BD=

Rt△DBE中，

BE=

∵ABCD是菱形

∴EC=a﹣1，DC=a

Rt△DEC中，

a2=22+（a﹣1）2

解得a=

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故选：C．

二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答

題卷相应题号的横线上）

11．（3.00分）计算：|﹣5|﹣=2．

【解答】解：原式=5﹣3

=2．

故答案为：2．

12．（3.00分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，

则∠BOC的度数为140°．

【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，

∴∠EOB=90°，

∵∠EOD=50°，

∴∠BOD=40°，

则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．

故答案为：140°．

13．（3.00分）不等式组的最小整数解是﹣2．

【解答】解：

∵解不等式①得：x＞﹣3，

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解不等式②得：x≤1，

∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，

∴不等式组的最小整数解是﹣2，

故答案为：﹣2．

14．（3.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中

点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部

分的面积为π．

【解答】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜

边AB上，CA′⊥AB，

∴∠ACA′=∠BCA′=45°，

∴∠BCB′=135°，

∴S

阴

==π．

15．（3.00分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一

动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC

的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角

形时，AB的长为4或4．

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【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF=90°时，如图1，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，

∵点D，E分别为AC，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A'EF，

∴AC∥A'E，

∴∠ACB=∠A'EC，

∴∠A'CB=∠A'EC，

∴A'C=A'E=4，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC=2A'B=8，

由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，

∴AB==4；

②当∠A'FE=90°时，如图2，

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC=∠CBA'=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；

综上所述，AB的长为4或4；

故答案为：4或4；

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三、计算题（本大题共8题，共75分，请认真读题）

16．（8.00分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=+1．

【解答】解：当x=+1时，

原式=•

=1﹣x

=﹣

17．（9.00分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，

漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对

治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所

示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

治理杨絮一一您选哪一项？（单选）

A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树

C．选育无絮杨品种，并推广种植

第17页（共28页）

D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

E．其他

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的市民共有2000人；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是28.8°；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．

【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，

故答案为：2000；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°，

故答案为：28.8°；

（3）D选项的人数为2000×25%=500，

补全条形图如下：

（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为70×40%=28（万人）．

第18页（共28页）

18．（9.00分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满

足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；

②矩形的面积等于k的值．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象过格点P（2，2），

∴k=2×2=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）如图所示：

矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．

19．（9.00分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，

过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：

①当∠D的度数为30°时，四边形ECFG为菱形；

第19页（共28页）

②当∠D的度数为22.5°时，四边形ECOG为正方形．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，

∵DO⊥AB，

∴∠3+∠B=90°，

而∠2=∠3，

∴∠2+∠B=90°，

而OB=OC，

∴∠4=∠B，

∴∠1=∠2，

∴CE=FE；

（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，

而AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠3=∠2=60°，

而CE=FE，

∴△CEF为等边三角形，

∴CE=CF=EF，

第20页（共28页）

同理可得∠GFE=60°，

利用对称得FG=FC，

∵FG=EF，

∴△FEG为等边三角形，

∴EG=FG，

∴EF=FG=GE=CE，

∴四边形ECFG为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，

而OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=67.5°，

∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，

∴∠AOC=45°，

∴∠COE=45°，

利用对称得∠EOG=45°，

∴∠COG=90°，

易得△OEC≌△OEG，

∴∠OEG=∠OCE=90°，

∴四边形ECOG为矩形，

而OC=OG，

∴四边形ECOG为正方形．

故答案为30°，22.5°．

第21页（共28页）

20．（9.00分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低

两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节

高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学

问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE

的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支

架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF

为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°

≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，

tan80.3°≈5.850）

【解答】解：在Rt△ACE中，

∵tan∠CAE=，

∴AE==≈≈21（cm）

在Rt△DBF中，

∵tan∠DBF=，

∴BF==≈=40（cm）

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）

∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF

∴四边形CEFH是矩形，

∴CH=EF=151cm

答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．

第22页（共28页）

21．（10.00分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）

与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利

润的几组对应值如表：

销售单价x（元）

8595105115

日销售量y（个）

17512575m

日销售利润w（元）

875

（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是80元，当销售单价x=100元时，日销售利润w最大，

最大值是2000元；

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日

销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售

利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

【解答】解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，

，得，

即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，

当x=115时，y=﹣5×115+600=25，

即m的值是25；

（2）设成本为a元/个，

当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，

w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，

∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，

故答案为：80，100，2000；

（3）设科技创新后成本为b元，

当x=90时，

（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，

解得，b≤65，

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答：该产品的成本单价应不超过65元．

22．（10.00分）（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，

BD交于点M．填空：

①的值为1；

②∠AMB的度数为40°．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC

交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，

若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【解答】解：（1）问题发现

①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC=BD，

∴=1，

②∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

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∵∠AOB=40°，

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+

∠ABD）=180°﹣140°=40°，

故答案为：①1；②40°；

（2）类比探究

如图2，=，∠AMB=90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴=，∠CAO=∠DBO，

在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）

=90°；

（3）拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=x，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

∴CD=2，BC=x﹣2，

Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，

∴AB=2OB=2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

，

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x2﹣x﹣6=0，

（x﹣3）（x+2）=0，

x1=3，x2=﹣2，

∴AC=3；

②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

+（x+2）2=

x2+x﹣6=0，

（x+3）（x﹣2）=0，

x1=﹣3，x2=2，

∴AC=2；

综上所述，AC的长为3或2．

23．（11.00分）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直

线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行

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线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点

P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M

的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），

当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x

1=1，x2=5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=AB=×4=2，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

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设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m

1=1，m2=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m

1=，m2=，

综上所述，P点的横坐标为4或或；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M

1，交AC于E，

如图2，

∵M

1A=M1C，

∴∠ACM

1=∠CAM1，

∴∠AM

1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），

设直线EM

1的解析式为y=﹣x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直线EM

1的解析式为y=﹣x﹣，

解方程组得，则M

1（，﹣）；

作直线BC上作点M

1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M

2（x，x﹣5），

∵3=，

∴x=，

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∴M

2（，﹣），

综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

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