2015湖南高考数学

1

2015年湖南省高考数学试卷（理科)

参考答案与试题解析

一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分

1．（5分）（2015•湖南)已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（)

A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．

解答：

解：∵已知=1+i（i为虚数单位），

∴z===﹣1﹣i，

故选：D．

点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题．

2．（5分)(2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B"的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：集合；简易逻辑．

分析：直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．

解答：解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B"，

“A⊆B"，可得“A∩B=A”．

所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．

故选：C．

点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．

3．（5分）(2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（)

2

A．B．C．D．

考点：程序框图．

分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．

解答：解：判断前i=1,n=3，s=0，

第1次循环,S=，i=2，

第2次循环，S=，i=3，

第3次循环，S=,i=4，

此时，i＞n，满足判断框的条件,结束循环，输出结果：

S===

故选:B

点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力

4．（5分)（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）

A．﹣7B．﹣1C．1D．2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解,求出最优解的坐标，数形结合得答案．

3

解答：

解:由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A,

联立，解得C（0,﹣1）．由解得A（﹣2，1），由,

解得B（1,1）

∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．

故选:A．

点评：本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是

图形中的B点．

5．(5分)（2015•湖南）设函数f(x)=ln（1+x)﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）

A．奇函数，且在（0，1)上是增函数B．奇函数，且在（0,1）上是减函数

C．偶函数,且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题:导数的综合应用．

分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可．

解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln(1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1)，

函数f（﹣x）=ln(1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x）,所以函数是

奇函数．

排除C,D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）

=0;

x=时，f（)=ln(1+)﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以

B错误，A正确．

故选:A．

点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．

4

6．(5分)（2015•湖南）已知（﹣）5

的展开式中含x的项的系数为30,则a=（)

A．B．

﹣

C．6D．﹣6

考点：二项式定理的应用．

专题：二项式定理．

分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x

的指数为求得r，再代入系数求出结果．

解答:解：根据所给的二项式写出展开式的通项,

T

r+1

==;

展开式中含x的项的系数为30，

∴，

∴r=1,并且，解得a=﹣6．

故选:D．

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题

目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．

7．(5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲

线C为正态分布N（0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（）

附“若X﹣N=(μ，a

2

）,则

P（μ﹣σ＜X≤μ+σ)=0。6826．

p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0。9544．

A．2386B．2718C．3413D．4772

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

专题：计算题；概率与统计．

分析：

求出P（0＜X≤1）=×0。6826=0。3413，即可得出结论．

解答：

解:由题意P(0＜X≤1）=×0。6826=0。3413，

∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0。3413=3413，

5

故选:C．

点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的

应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

8．（5分)（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC,若点P的坐标为

（2，0），则||的最大值为(）

A．6B．7C．8D．9

考点：圆的切线方程．

专题：计算题；直线与圆．

分析：

由题意，AC为直径,所以｜|=|2+｜=|4+｜．B为(﹣1，0）时，｜

4+｜≤7，即可得出结论．

解答：

解：由题意，AC为直径，所以|｜=|2+｜=｜4+｜．

所以B为（﹣1，0)时,｜4+｜≤7．

所以|｜的最大值为7．

故选:B．

点评:本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

9．（5分）(2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到

函数g（x)的图象．若对满足｜f(x

1

）﹣g（x

2

)｜=2的x

1

、x

2

，有|x

1

﹣x

2

|

min

=，则φ=（）

A．B．C．D．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题:三角函数的图像与性质．

分析:

利用三角函数的最值，求出自变量x

1

，x

2

的值，然后判断选项即可．

解答：

解：因为将函数f（x)=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜)个单位

后得到函数g(x）的图象．若对满足｜f（x

1

)﹣g（x

2

）｜=2的可知，两个函数的最大

值与最小值的差为2,有｜x

1

﹣x

2

｜

min

=，

不妨x

1

=,x

2

=，即g(x)在x

2

=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此

时φ=，不合题意，

6

x

1

=,x

2

=，即g（x）在x

2

=，取得最大值，sin(2×﹣2φ）=1,此时φ=，

满足题意．

故选：D．

点评：本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解

决问题的能力，是好题,题目新颖．有一定难度,选择题，可以回代验证的方法快速解

答．

10．（5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积

尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利

用率为（材料利用率=）(）

A．B．C．D．

考点：简单空间图形的三视图．

专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．

分析:根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1,高为2,求解体积．

利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，

利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣）,0＜x＜2，求解体积式子，利用导数

求解即可，最后利用几何概率求解即．

解答：解：根据三视图可判断其为圆锥，

∵底面半径为1，高为2，

∴V=×2=

7

∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，

∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x，

∴根据轴截面图得出：=，

解得；n=(1﹣），0＜x＜2，

∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x,Ω′=x2

﹣4x+2，

∵,Ω′=x2

﹣4x+2=0，x=，x=2,

∴可判断（0，）单调递增，（，2)单调递减，

Ω最大值=2（1﹣）2×=,

∴原工件材料的利用率为=×=,

故选:A

点评：本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数,概率都相应的考查了，综合

性强,属于难题．

二、填空题，共5小题，每小题5分,共25分

11．（5分)（2015•湖南）(x﹣1）dx=0．

考点：定积分．

专题:导数的概念及应用．

分析：求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值．

解答：

解：(x﹣1)dx=（﹣x）|=0；

故答案为：0．

点评：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．

8

12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图

如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则

其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是

4．

考点:茎叶图．

专题：概率与统计．

分析：根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论．

解答：解：根据茎叶图中的数据，得；

成绩在区间［139，151]上的运动员人数是20，

用系统抽样方法从35人中抽取7人，

成绩在区间[139，151］上的运动员应抽取

7×=4(人）．

故答案为:4．

点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．

13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线

段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为．

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析:设F（c，0)，P(m，n）,（m＜0)，设PF的中点为M（0,b），即有m=﹣c，n=2b，

将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式，计算即可得到．

解答：解：设F（c，0)，P(m，n），（m＜0），

设PF的中点为M(0，b）,

即有m=﹣c，n=2b，

将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，

﹣=1，

可得e

2==5，

解得e=．

故答案为：．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐

标公式的运用，属于中档题．

9

14．（5分)（2015•湖南)设S

n

为等比数列｛a

n

}的前n项和,若a

1

=1，且3S

1

,2S

2

,S

3

成等差数

列,则a

n

=3n﹣1

．

考点：等差数列与等比数列的综合．

专题：等差数列与等比数列．

分析：利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．

解答：

解:设等比数列的公比为q，S

n

为等比数列｛a

n

｝的前n项和，若a

1

=1,且3S

1

，2S

2

，S

3

成等差数列，

可得4S

2

=S

3

+3S

1

，a

1

=1，

即4(1+q）=1+q+q

2+3，q=3．

∴a

n

=3n﹣1

．

故答案为:3

n﹣1

．

点评:本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查．

15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）

﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a｜a＜0或a＞1}．

考点：函数的零点．

专题:计算题；创新题型；函数的性质及应用．

分析:由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点,即y=f（x）与y=b的图

象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围

解答：解:∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点,

∴f（x）=b有两个零点，即y=f(x）与y=b的图象有两个交点,

由x

3=x2

可得，x=0或x=1

①当a＞1时，函数f（x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题

意

②当a=1时，由于函数f(x）在定义域R上单调递增，故不符合题意

③当0＜a＜1时,函数f（x）单调递增，故不符合题意

10

④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意

⑤当a＜0时,函数y=f（x)的图象如图所示，此时存在b使得，y=f(x）与y=b有两

个交点

综上可得,a＜0或a＞1

故答案为：{a｜a＜0或a＞1}

点评：本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想．

三、简答题,共1小题,共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按

前两题计分选修4-1：几何证明选讲

16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，

N，直线MO与直线CD相较于点F,证明:

(1)∠MEN+∠NOM=180°

（2）FE•FN=FM•FO．

11

考点:相似三角形的判定．

专题：选作题;推理和证明．

分析：（1）证明O，M,E，N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°

（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．

解答:证明：（1）∵N为CD的中点，

∴ON⊥CD，

∵M为AB的中点,

∴OM⊥AB,

在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，

∴O,M，E，N四点共圆，

∴∠MEN+∠NOM=180°

（2）在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,

∴△FEM∽△FON，

∴=

∴FE•FN=FM•FO．

点评：本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力，

比较基础．

选修4—4：坐标系与方程

17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数)．以坐标原点为极点,x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B，求｜MA|•｜MB|的值．

考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

专题:选作题；坐标系和参数方程．

分析：

（1）曲线的极坐标方程即ρ

2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,

即得它的直角坐标方程；

（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．

解答：

解：(1）∵ρ=2cosθ,∴ρ

2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1)2+y2=1；

12

(2）直线l:(t为参数），普通方程为，（5，）在直线l

上,

过点M作圆的切线，切点为T，则|MT｜

2=(5﹣1）2+3﹣1=18，

由切割线定理,可得|MT|

2=｜MA｜•｜MB|=18．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题．

选修4—5：不等式选讲

18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明:

（ⅰ）a+b≥2；

（ⅱ）a

2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．

考点：不等式的证明．

专题：不等式的解法及应用．

分析：（ⅰ）由a＞0,b＞0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式，即可得证；

（ⅱ）运用反证法证明．假设a

2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b

＞0,以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．

解答:证明：(ⅰ)由a＞0，b＞0，

则a+b=+=，

由于a+b＞0，则ab=1，

即有a+b≥2=2，

当且仅当a=b取得等号．

则a+b≥2;

（ⅱ）假设a

2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．

由a

2+a＜2及a＞0,可得0＜a＜1,

由b

2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，

这与ab=1矛盾．

a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．

点评：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属

于中档题．

19．(2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ)证明：B﹣A=;

（Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围．

考点:正弦定理．

专题：解三角形．

分析：(Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得；

13

(Ⅱ)由题意可得A∈（0，)，可得0＜sinA＜,化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA

﹣)

2+，由二次函数区间的最值可得．

解答：

解:（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==,

∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）

又B为钝角，∴+A∈（，π),

∴B=+A，∴B﹣A=；

（Ⅱ）由（Ⅰ)知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，

∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣）2+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为（，]

点评:本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值,属基础题．

20．（2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从

装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球，在

摸出的2个球中,若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球,则获二等奖；若没有红球，则

不获奖．

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列

和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列．

专题:概率与统计．

分析：

（1)记事件A

1

={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A

2

={从乙箱中摸出一个球是红

球},事件B

1

={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A

2

={顾客抽奖1次获二等奖}，事件

C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，利用A

1

,A

2

相互独立，，互斥，B

1

,B

2

互

斥，然后求出所求概率即可．

（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B．求出概率，得

14

到X的分布列，然后求解期望．

解答:

解：（1）记事件A

1

={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A

2

=｛从乙箱中摸出一个

球是红球}，事件B

1

=｛顾客抽奖1次获一等奖},事件A

2

={顾客抽奖1次获二等奖｝，

事件C={顾客抽奖1次能获奖｝，由题意A

1

，A

2

相互独立，，互斥，

B

1

，B

2

互斥，且B

1

=A

1

A

2

,B

2

=+,C=B

1

+B

2

，因为P（A

1

）=，P

（A

2

)=，所以，P（B

1

）=P（A

1

）P（A

2

)==，P（B

2

）=P（）

+P（）

=+==,故

所求概率为：P（C）=P（B

1

+B

2

）=P（B

1

)+P(B

2

)=．

（2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由（1)可知，顾客抽奖1次获一等奖的

概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，

P(X=1）==，P（X=2）==,P

（X=3)==．

故X的分布列为：

X0123

P

E（X）=3×=．

点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数,学习

期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等

领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．

21．（2015•湖南)如图，已知四棱台ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

的上、下底面分别是边长为3和6的

正方形，AA

1

=6，且AA

1

⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD

1

、BC上．

（1）若P是DD

1

的中点，证明：AB

1

⊥PQ；

(2）若PQ∥平面ABB

1

A

1

，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．

15

考点:二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．

专题:空间位置关系与距离；空间角;空间向量及应用．

分析：

（1）首先以A为原点，AB，AD，AA

1

所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角

坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上,从而可设Q（6，y

1

，0）,只需求

即可;

（2）设P（0，y

2

,z

2

)，根据P在棱DD

1

上，从而由即可得到z

2

=12﹣2y

2

，

从而表示点P坐标为P（0，y

2

，12﹣2y

2

)．由PQ∥平面ABB

1

A

1

便知道与平面ABB

1

A

1

的法向量垂直，从而得出y

1

=y

2

，从而Q点坐标变成Q（6，y

2

,0），设平面PQD的法

向量为，根据即可表示，平面

AQD的一个法向量为，从而由即可求出y

2

，从而得出P

点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD

的体积,从而求出四面体的体积．

解答：

解：根据已知条件知AB，AD，AA

1

三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x，y，z

轴,建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B(6，0，0），D(0,6，0），A

1

（0，0,6)，B

1

（3，0，6），D

1

(0,3，6）；

Q在棱BC上，设Q（6,y

1

，0）,0≤y

1

≤6；

∴（1）证明：若P是DD

1

的中点，则P;

∴，;

∴；

∴；

∴AB

1

⊥PQ;

（2）设P（0,y

2

，z

2

），y

2

,z

2

∈［0,6］，P在棱DD

1

上；

∴，0≤λ≤1;

16

∴（0，y

2

﹣6，z

2

)=λ(0，﹣3，6）；

∴;

∴z

2

=12﹣2y

2

；

∴P（0，y

2

，12﹣2y

2

）；

∴；

平面ABB

1

A

1

的一个法向量为；

∵PQ∥平面ABB

1

A

1

；

∴=6（y

1

﹣y

2

）=0；

∴y

1

=y

2

；

∴Q（6，y

2

，0）;

设平面PQD的法向量为，则:

；

∴，取z=1,则;

又平面AQD的一个法向量为；

又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；

∴；

解得y

2

=4，或y

2

=8（舍去）;

∴P（0，4，4）;

∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；

∴V四面体ADPQ

=V

三棱锥P﹣ADQ

=．

17

点评:考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共

线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,

以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．

22．（13分)（2015•湖南）已知抛物线C

1

：x2=4y的焦点F也是椭圆C

2

：+=1（a＞b

＞0）的一个焦点．C

1

与C

2

的公共弦长为2．

（Ⅰ）求C

2

的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与C

1

相交于A、B两点，与C

2

相交于C、D两点,且与同向．

（ⅰ）若｜AC|=|BD|，求直线l的斜率；

（ⅱ）设C

1

在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总

是钝角三角形．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a

2

﹣b

2=1，再根据C

1

与C

2

的公共弦长为2，

得到=1，解得即可求出;

（Ⅱ)设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系,得到(x

1

+x

2

）2

﹣4x

1

x

2

=（x

3

+x

4

）2

﹣4x

3

x

4

，

设直线l的方程，分别与C

1

，C

2

构成方程组，利用韦达定理,分别代入得到关于k的方

程,解得即可；

(ⅱ）根据导数的几何意义得到C

1

在点A处的切线方程,求出点M的坐标，利用向量的

乘积∠AFM是锐角,问题得以证明．

解答：

解：（Ⅰ)抛物线C

1

：x2=4y的焦点F的坐标为（0,1)，因为F也是椭圆C

2

的一个焦点，

∴a2

﹣b

2=1，①，

又C

1

与C

2

的公共弦长为2，C

1

与C

2

的都关于y轴对称，且C

1

的方程为x2=4y，

由此易知C

1

与C

2

的公共点的坐标为（±,）,

所以=1,②，

联立①②得a

2=9，b2=8,

18

故C

2

的方程为+=1．

（Ⅱ）设A（x

1

,y

1

),B（x

2

,y

2

)，C(x

3

，y

3

），A（x

4

,y

4

），

（ⅰ）因为与同向，且｜AC｜=|BD｜，

所以=，

从而x

3

﹣x

1

=x

4

﹣x

2

，即x

1

﹣x

2

=x

3

﹣x

4

，于是

（x

1

+x

2

)2

﹣4x

1

x

2

=（x

3

+x

4

）2

﹣4x

3

x

4

，③

设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，

由,得x

2

﹣4kx﹣4=0，而x

1

,x

2

是这个方程的两根，

所以x

1

+x

2

=4k,x

1

x

2

=﹣4,④

由，得（9+8k

2

）x

2+16kx﹣64=0,而x

3

，x

4

是这个方程的两根,

所以x

3

+x

4

=，x

3

x

4

=﹣，⑤

将④⑤代入③,得16（k

2+1)=+，

即16（k

2+1)=，

所以（9+8k

2)2=16×9，

解得k=±．

（ⅱ）由x

2=4y得y′=x,

所以C

1

在点A处的切线方程为y﹣y

1

=x

1

（x﹣x

1

），

即y=x

1

x﹣x

1

2

，

令y=0，得x=x

1

，

M(x

1

，0）,

所以=（x

1

，﹣1）,

19

而=（x

1

，y

1

﹣1),

于是•=x

1

2

﹣y

1

+1=x

1

2+1＞0，

因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,

故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．

点评：本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定

理，以及向量的关系,得到关于k的方程，计算量大，属于难题．

23．（13分）(2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈［0，+∞]）．记x

n

为f（x）

的从小到大的第n（n∈N

*

）个极值点．证明：

(Ⅰ）数列｛f（x

n

)}是等比数列；

(Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*

，x

n

＜｜f（x

n

）|恒成立．

考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题：创新题型；导数的综合应用;等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

分析：（Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符

号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；

（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N＊,x

n

＜｜f（x

n

)｜恒成立．即为nπ﹣φ＜ea

（n

π﹣φ

)

恒成立⇔＜，①设g(t）=（t＞0）,求出导数，求得最

小值，由恒成立思想即可得证．

解答：

证明：（Ⅰ）f′（x）=e

ax

（asinx+cosx)=•e

axsin（x+φ）,

tanφ=，0＜φ＜，

令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N

*,

对k∈N，若(2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜(2k+2）π﹣φ，

则f′（x）＜0，因此在（(m﹣1）π，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相反．

于是当x=nπ﹣φ，n∈N

*

，f（x）取得极值，所以x

n

=nπ﹣φ，n∈N*

，

此时f（x

n

）=ea（n

π﹣φ

)sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1ea（n

π﹣φ）sinφ,

易知f（x

n

）≠0，而==﹣ea

π是常数,

故数列｛f（x

n

）｝是首项为f（x

1

)=ea（π﹣φ）sinφ，公比为﹣ea

π的等比数列；

（Ⅱ）由sinφ=,可得对一切n∈N＊,x

n

＜|f（x

n

）|恒成立．

20

即为nπ﹣φ＜e

a（n

π﹣φ）恒成立⇔＜，①

设g（t)=（t＞0)，g′（t)=，

当0＜t＜1时，g′(t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．

t=1时，g（t）取得最小值,且为e．

因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，

只需a＞，当a=,tanφ==，且0＜φ＜，

可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜,且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞

，

因此对n∈N＊，ax

n

=≠1，即有g（ax

n

）＞g（1)=e=,

故①亦恒成立．

综上可得，若a≥，则对一切n∈N＊，x

n

＜|f（x

n

）|恒成立．

点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查

等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．

21

2015年湖南省高考数学试卷（理科)

一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分

1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位),则复数z=（）

A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i

2．（5分）(2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（5分）(2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=（）

A．B．C．D．

4．（5分)（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）

A．﹣7B．﹣1C．1D．2

5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）,则f（x)是（)

A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数,且在（0,1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1)上是减函数

22

6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5

的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）

A．B．

﹣

C．6D．﹣6

7．（5分）（2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲

线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（)

附“若X﹣N=（μ，a

2

），则

P(μ﹣σ＜X≤μ+σ)=0.6826．

p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544．

A．2386B．2718C．3413D．4772

8．（5分）(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0），

则||的最大值为（）

A．6B．7C．8D．9

9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜）个单位后得到

函数g（x）的图象．若对满足｜f(x

1

）﹣g（x

2

）｜=2的x

1

、x

2

，有｜x

1

﹣x

2

|

min

=，则φ=(）

A．B．C．D．

10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体

积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的

利用率为(材料利用率=)(）

23

A．B．C．D．

二、填空题，共5小题，每小题5分,共25分

11．（5分）（2015•湖南)(x﹣1）dx=．

12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图

如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则

其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数

是．

13．（5分)(2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P,使线段

PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．

14．（5分）（2015•湖南)设S

n

为等比数列｛a

n

｝的前n项和，若a

1

=1，且3S

1

，2S

2

，S

3

成

等差数列,则a

n

=．

15．（5分）（2015•湖南)已知函数f(x）=若存在实数b，使函数g（x）=f(x)﹣b

有两个零点，则a的取值范围是．

24

三、简答题，共1小题,共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答,如果全做，则按

前两题计分选修4—1:几何证明选讲

16．（6分)(2015•湖南)如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M,N，

直线MO与直线CD相较于点F，证明：

（1）∠MEN+∠NOM=180°

（2)FE•FN=FM•FO．

选修4-4:坐标系与方程

17．（6分）（2015•湖南）已知直线l:（t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•｜MB｜的值．

选修4—5:不等式选讲

18．（2015•湖南)设a＞0,b＞0，且a+b=+．证明:

（ⅰ）a+b≥2；

（ⅱ）a

2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．

19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA，且B为钝角．

(Ⅰ)证明：B﹣A=；

(Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

20．(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都

从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球,

在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，

则不获奖．

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

25

(2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列

和数学期望．

21．(2015•湖南)如图，已知四棱台ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

的上、下底面分别是边长为3和6的

正方形，AA

1

=6，且AA

1

⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD

1

、BC上．

（1）若P是DD

1

的中点，证明：AB

1

⊥PQ；

（2）若PQ∥平面ABB

1

A

1

,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．

22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C

1

：x2=4y的焦点F也是椭圆C

2

：+=1（a＞b

＞0)的一个焦点．C

1

与C

2

的公共弦长为2．

（Ⅰ)求C

2

的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与C

1

相交于A、B两点，与C

2

相交于C、D两点，且与同向．

（ⅰ）若|AC|=｜BD｜，求直线l的斜率；

(ⅱ）设C

1

在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是

钝角三角形．

23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0,函数f（x）=eaxsinx（x∈［0，+∞］)．记x

n

为f（x）

的从小到大的第n（n∈N

*

）个极值点．证明：

（Ⅰ)数列{f（x

n

）｝是等比数列；

(Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*

，x

n

＜｜f(x

n

）|恒成立．