一元二次方程公式

一元二次方程的根

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根

因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

例1：下面哪些数是方程0121022xx的根

—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4

分析：要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可．

复习

22

22bababa2222)(bababa

根据公式完成下面的练习：

12

2____________8xxx22

2______3______129xxx

32

2____________xpxx42

2____________6xxx

52

2____________5xxx62

2____________9xxx

例2：解方程：2963xx2532xx

解：由已知,得：232x

解：方程两边同时除以3,得

3

2

3

5

2xx

直接开平方,得：23x配方,得

22

2

6

5

3

2

6

5

3

5



























xx

即23x,23x即

36

49

6

52















x,

6

7

6

5

x,

6

7

6

5

x

所以,方程的两根

23

1

x

,

23

2

x

所以,方程的两根2

6

7

6

5

1

x,

3

1

6

7

6

5

2

x

像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法;

练一练：

1982xx2015122xx304

4

1

2xx

403832xx508922xx6xx822

练一练

一、选择题

1．方程21xx的两根为．

A．1,0

21

xxB．1,0

21

xxC．2,1

21

xxD．2,1

21

xx

2．方程0xbbxax的根是．

A．axbx

21

,B．

a

xbx

1

,

21

C．

a

xax

1

,

21

D．2

2

2

1

,bxax

3．已知1x是方程02cbxax的根,则

b

c

b

a

0b=．

A．1B．－1C．0D．2

4．若2

24qxpxx,那么qp、的值分别是．

A．2,4qpB．2,4qpC．2,4qpD．2,4qp

5．方程0932x的根为．

A．3B．－3C．±3D．无实数根

6．用配方法解方程01

3

2

2xx正确的解法是．

A．

3

22

3

1

,

9

8

3

12















xxB．

9

8

3

12















x,原方程无解

C．

3

52

,

3

5

3

2

,

9

5

3

2

21

2















xxxD．

3

1

,

3

5

,1

3

2

21

2















xxx

二、填空题

1．如果0812x,那么0812x的两个根分别是

1

x=________,

2

x=__________．

2．已知方程0652mxx的一个根是3x,则m的值为________．

3．方程01212xxx,那么方程的根

1

x=______；

2

x=________．

4．若01682x,则

x

的值是_________．

5．如果方程72322x,那么,这个一元二次方程的两根是________．

6．如果ba、为实数,满足

03612432bba

,那么ab的值是_______．

三、综合提高题

如果关于

x

的一元二次方程002acbxax中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证：

1必是该方程的一个根．

一元二次方程公式法

一元二次方程002acbxax的根由方程的系数cba、、而定,因此：

1解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式002acbxax,当042acb时,•将ca、、b

代入式子

a

acbb

x

2

42

就得到方程的根;公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六种运算,加、减、乘、

除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性;

2这个式子叫做一元二次方程的求根公式;

3利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法;

4由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根;

例1．用公式法解下列方程．

0122xx

分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可;

解：112cba、、

981124142

2acb



4

31

22

91







x

2

1

,1

21

xx

练一练：用公式法解下列方程．

10532xx2xx35.1230

2

1

22xx402342xx

一、选择题

1．用公式法解方程31242xx,得到;

A．

2

63

xB．

2

63

xC．

2

323

xD．

2

323

x

2．方程

0263422xx

的根是;

A．

3,2

21

xx

B．

2,6

21

xx

C．

2,22

21

xx

D．

6

21

xx

3．0822222nmnm,则22nm的值是;

A．4B．﹣2C．4或﹣2D．﹣4或2

二、填空题

1．一元二次方程002acbxax的求根公式是_______,条件是________．

2．当x______时,代数式1282xx的值是﹣4．

3．若关于

x

的一元二次方程032122mmxxm有一根为0,则m的值是_____．

三、拓展题

某数学兴趣小组对关于

x

的方程012122xmxmm提出了下列问题;若使方程为一元二次方程,

m

是

否存在若存在,求出

m

并解此方程．

根据求根公式判别一元二次方程根的情况

方程acb42的值acb42的符号

21

,xx的关系填相等、不等或不存在

0322xx

013232xx

0142xx

求根公式：

a

acbb

x

2

42



;

1当042acb时,根据平方根的意义,acb42等于一个具体数,所以一元二次方程002acbxax

的

a

acbb

x

a

acbb

x

2

4

2

42

2

2

1









,即有两个不相等的实根,即

a

acbb

x

a

acbb

x

2

4

2

42

2

2

1







，

;

2当042acb时,根据平方根的意义042acb,所以一元二次方程002acbxax的

a

b

xx

221



,即有两个相等的实根,即

a

b

xx

221



;

3当042acb时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以一元二次方程002acbxax没有实数解;

例1．不解方程,判定方程根的情况

138162xx201692xx308922xx401872xx

分析：不解方程,判定根的情况,只需用acb42的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．

巩固练习

一、不解方程判定下列方程根的情况:

1026102xx20

4

3

2xx305632xx40

16

1

42xx

50

4

1

32xx60642xx7xxx854280532xx

二、选择题

1．以下是方程1232xx的解的情况,其中正确的有．

A．∵842acb,∴方程有解B．∵842acb,∴方程无解

C．∵842acb,∴方程有解D．∵842acb,∴方程无解

2．一元二次方程012axx的两实数根相等,则

a

的值为．

A．0aB．22aa或C．2aD．02aa或

3．已知1k,一元二次方程0112kxxk有根,则k的取值范围是．

A．2kB．2kC．12kk且D．k为一切实数

三、填空题

1．已知方程02qpxx有两个相等的实数,则p与q的关系是________．

2．不解方程,判定xx4322的根的情况是______•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”．

3．已知0b,不解方程,试判定关于

x

的一元二次方程02222babaxbax的根的情况是

________．

四、综合提高题

1．不解方程,判别关于

x

的方程01222kkxx的根的情况．

2、若关于

x

的一元二次方程01222aaxxa没有实数解,求03ax的解集用含

a

的式子表示．

一元二次方程因式分解法

解下列方程;

022xx

方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：012xx

两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是0120xx或,所以

2

1

,0

21

xx

因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的

乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法．

用因式分解法解方程

109.4102xx2022xxx322231xx

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积;

1．下面一元二次方程解法中,正确的是．

A．21053xx,∴25,103xx,∴7,13

21

xx

B．025522xx,∴03525xx,∴

5

3

,

5

2

21

xx

C．0422xx,∴2,2

21

xx

D．xx2两边同除以

x

,得1x

一、填空题

1．xx52因式分解结果为_______；3532xxx因式分解的结果是______．

2．方程12122xx的根是________．

3．二次三项式96202xx分解因式的结果为________；如果令096202xx,那么它的两个根

是_________．

二、综合提高题

1．用因式分解法解下列方程．

10632yy2016252y3028122xx4035122xx

2．已知01yxyx,求yx的值．

说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特

殊说明一般不采用配方法;其中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元

二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易因式分解,右边为

0的特点的一元二次方程时,非常简便;