八年级上册数学期中试卷

1

人教版八年级上册数学期中考试试题

一、单选题

1

．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

2

．下列图形中具有稳定性的是（）

A

．正三角形

B

．正方形

C

．正五边形

D

．正六边形

3

．一定能确定

△ABC△△DEF

的条件是（）

A

．

AB=DE,BC=EF,△A=△DB

．

△A=△E,AB=EF,△B=△D

C

．

△A=△D,AB=DE,△B=△ED

．

△A=△D,△B=△E,△C=△F

4

．已知等腰三角形的一边长为

4cm

，周长是

18cm

，则它的腰长是（）

A

．

4cmB

．

7cmC

．

10cmD

．

4cm

或

7cm

5

．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与

书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A

．

ASAB

．

SASC

．

AASD

．

SSS

6

．下列命题中正确的是（）

A

．一个三角形最多有2个钝角

B

．直角三角形的外角不可以是锐角

C

．三角形的两边之差可以等于第三边

D

．三角形的外角一定大于相邻内角

7

．如图，把长方形ABCD沿

EF

对折，若

150

，则AEF的度数为（）

A

．110B

．

115C

．

120D

．

130

8

．如图，在

△ABC

中，

AB

＝

8cm

，

BC

＝

6cm

，

AC

＝

5cm

．沿过点

B

的直线折叠这个三角形，

2

使点

C

落在

AB

边上的点

E

处，折痕为

BD

，则

△AED

的周长是（）

A

．

5cmB

．

6cmC

．

7cmD

．

8cm

9

．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是

1500°

，则这个多边形的边数是（）

A

．

8B

．

9C

．

10D

．

11

10

．如图，

△ACB

和

△DCE

均为等腰直角三角形，且

△ACB

＝

△DCE

＝

90°

，点

A

、

D

、

E

在

同一条线上，

CM

平分

△DCE

，连接

BE

．以下结论：

△AD

＝

CE

；

△CM△AE

；

△AE

＝

BE+2CM

；

△S

△

COE

＞

S

△

BOE

，正确的有（）

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

二、填空题

11

．在平面直角坐标系中，点(2,1)关于

x

轴对称的点的坐标为

________

．

12

．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引

9

条对角线，则它是

_____

边形

.

13

．如图，在

ABC

中，

ABAC

，点D为

BC

中点，

35BAD

，则C的度数为

_____

．

14

．已知

ABC

的周长为

30

，面积为

20

，其内角平分线交于点

O

，则点

O

到边

BC

的距离

为

________

．

15

．如图

△ABC

，

DE

垂直平分线段

AC

，

AF△BC

于点

F

，

AD

平分

△FAC

，则

FD

：

DC

＝

______

．

3

16

．

△ABC

中，已知点

D

，

E

，

F

分别是

BC

，

AD

，

CE

边上的中点，且

S

△

ABC

＝

16cm2，则

S

△

CDF

的值为

_______cm2．

17

．如图，一种机械工件，经测量得

△A=20°

，

△C=27°

，

△D=45°

．那么不需工具测量，可

知

△ABC=__________°

．

三、解答题

18

．如图，

AC

和

BD

相交于点

0

，

OA=OC

，

OB=OD

，求证：

DC//AB

19

．在

△ABC

中，

△B=△A+20°

，

△C=△B+20°

，求

△ABC

的三个内角的度数．

20

．如图，

△ABC

是等腰直角三角形，

BD△AE

，

CE△AE

，垂足为

D

，

E

，

CE

＝

3

，

BD

＝

7

，

（

1

）求证：

△ABD△△CAE

；

4

（

2

）求

DE

的长度．

21

．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为

1

，

ABC

在网格中的位置如图所示，

ABC

的三个顶点都在格点上．将

A

、

B

、

C

的横坐标和纵坐标都乘以1，分别得到点

1

A

、

1

B

、

1

C

．

（

1

）写出

111

ABC△

三个顶点的坐标

_______

；

（

2

）若

ABC

与

222

ABC△关于

x

轴对称，在平面直角坐标系中画出

222

ABC△；

（

3

）若以点

A

、

C

、

P

为顶点的三角形与

ABC

全等，直接写出所有符合条件的点

P

的坐标．

22

．如图，在四边形

ABCD

中，

△A

＝

△C

＝

90°

，

BE

平分

△ABC

，

DF

平分

△ADC

．

求证：

BE△DF

．

5

23

．如图，在

△ABC

中，

AC

＝

BC

，

△ACB

＝

90°

，

D

为

△ABC

内一点，

△BAD

＝

15°

，

AD

＝

AC

，

CE△AD

于

E

，且

CE

＝

5

．

（

1

）求

BC

的长；

（

2

）求证：

BD

＝

CD

．

24

．如图，已知

△ABC

中

AB

＝

AC

＝

12

厘米，

BC

＝

9

厘米，点

D

为

AB

的中点．

（

1

）如果点

P

在线段

BC

上以

3

厘米

/

秒的速度由

B

点向

C

点运动，同时，点

Q

在线段

CA

上由

C

点向

A

点运动．

△

若点

P

点

Q

的运动速度相等，经过

1

秒后，

△BPD

与

△CQP

是否全等，请说明理由；

△

若点

P

点

Q

的运动速度不相等，当点

Q

的运动速度为多少时，能够使

△BPD

与

△CQP

全

等？

（

2

）若点

Q

以

△

中的运动速度从点

C

出发，点

P

以原来的运动速度从点

B

同时出发，都逆

时针沿

△ABC

三边运动，求经过多长时间，点

P

与点

Q

第一次在

△ABC

的哪条边上相遇？

此时相遇点距到达点

B

的路程是多少？

25

．在等腰

ABC

中，

ABAC

，点

D

是

AC

上一动点，点

E

在的

BD

延长线上且ABAE，

AF

平分

CAE

交

DE

于点

F

连接

FC

．

6

（

1

）如图

1

，求证：

ABEACF

；

（

2

）如图

2

，当

60ABC

时，求证：

AFEFFB

；

（

3

）如图

3

，当

45ABC

，且

//AEBC

时，求证：2BDEF．

参考答案

1

．

A

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够完全重合的图形．

【详解】

A.

不是轴对称图形，符合题意；

B.

是轴对称图形，不符合题意；

C.

是轴对称图形，不符合题意；

D.

是轴对称图形，不符合题意；

故选

A

【点睛】

本题考查了轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键．

2

．

A

7

【解析】

【详解】

解：

△

三角形具有稳定性，

△A

正确，

B

．

C

、

D

错误．

故选

A

．

3

．

C

【解析】

【分析】

全等三角形的判定定理有

SAS

，

ASA

，

AAS

，

SSS

，

4

种，看看给出的条件是否符合即可．

【详解】

A.

根据

AB=DE

，

BC=EF

，

△A=△D

不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；

B.△A

和

△D

对应，

△B

和

△E

对应，即根据

△A=△E

，

AB=EF

，

△B=△D

不能推出两三角形

全等，故本选项不符合题意；

C.

在

△ABC

和

△DEF

中

△

AD

ABDE

BE

















，

△△ABC△△DEF(ASA)

，故本选项符合题意；

D.

根据

△A=△D,△B=△E,△C=△F

不能推出两三角形全等

,

故本选项不符合题意

;

故选

:C.

【点睛】

考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键

.

4

．

B

【解析】

【分析】

8

分

4cm

为等腰三角形的腰长和底边长两种情况，结合三角形的三边关系解答即可．

【详解】

解：若

4cm

为等腰三角形的腰长，则底边长

=18

－

4

－

4=10cm

，由于

4+4

＜

10

，此时不能构

成三角形，故此种情况须舍去；

若

4cm

为等腰三角形的底边长，则腰长

=

（

18

－

4

）

÷2=7cm

，此时三角形的三边长分别为

7cm

、

7cm

、

4cm

，能构成三角形．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，属于基础题型，正确分类、熟练掌握基

本知识是解题关键．

5

．

A

【解析】

【分析】

根据

ASA

：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．

【详解】

解：由图可知三角形的两个角和夹边可以确定全等三角形，

△

可由

ASA

判断全等；

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

6

．

B

【解析】

【分析】

利用三角形的内角的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系及三角形的外角的性质分

别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：

A

、一个三角形最多有

1

个钝角，故原命题错误，不符合题意；

B

、直角三角形的外角不可以是锐角，正确，符合题意；

C

、三角形的两边之差小于第三边，故原命题错误，不符合题意；

D

、三角形的外角不一定大于相邻的内角，故原命题错误，不符合题意，

9

故选：

B

．

【点晴】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的内角的性质、直角三角形的性质、

三角形的三边关系及三角形的外角的性质等知识，难度不大．

7

．

B

【解析】

【分析】

根据折叠的性质及

△1

＝

50°

可求出

△BFE

的度数，再由平行线的性质即可得到

△AEF

的度数．

【详解】

解：根据折叠以及

△1

＝

50°

，得

△BFE

＝

1

2

△BFG

＝

1

2

（

180°

﹣

△1

）＝

65°

．

△AD△BC

，

△△AEF

＝

180°

﹣

△BFE

＝

115°

．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8

．

C

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得

DE=DC

，

BE=BC

，从而易得周长的值．

【详解】

由折叠的性质可得

DE=DC

，

BE=BC=6cm

△AE=AB-BE=8-6=2(cm)

△△AED

的周长

=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=5+2=7(cm)

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形的周长等知识，关键是掌握折叠的性质．

9

．

D

10

【解析】

【分析】

根据

n

边形的内角和是

(n-2)•180°

，可以得到内角和一定是

180

度的整数倍，即可求解．

【详解】

1

15001808

3



，

则正多边形的边数是

8+1+2=11

．

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握

n

边形的内角和公式

(n-2)•180°

是解题的关键．

10

．

B

【解析】

【分析】

由

“SAS”

可证

△ACD△△BCE

，可得

AD

＝

BE

，

△ADC

＝

△BEC

，可判断

△

，由等腰直角三角

形的性质可得

△CDE

＝

△CED

＝

45°

，

CM△AE

，可判断

△

，由三角形的面积公式可判断

△

，

由线段和差关系可判断

△

，即可求解．

【详解】

解：

△△ACB

和

△DCE

均为等腰直角三角形，

△CA

＝

CB

，

CD

＝

CE

，

△ACB

＝

△DCE

＝

90°

，

△△ACD

＝

△BCE

，

在

△ACD

和

△BCE

中，

ACBC

ACDBCE

CDCE

















，

△△ACD△△BCE

（

SAS

），

△AD

＝

BE

，故

△

错误，

△△DCE

为等腰直角三角形，

CM

平分

△DCE

，

△CM△AE

，故

△

正确，

△CD

＝

CE

，

CM△DE

，

△DM

＝

ME

．

11

△△DCE

＝

90°

，

△CDE

＝

△CED

＝

45°

△DM

＝

ME

＝

CM

．

△AE

＝

AD+DE

＝

BE+2CM

．故

△

正确，

由

△ACD△△BCE

（

SAS

）得

△ADC=△BEC

，

△△DCE+△CED=△AEB+△CED

，

△△AEB=△DCE=90°

，

△S

△

COE

＝

1

2

OE•CM

，

S

△

BOE

＝

1

2

OE•BE

，

△CM

不一定大于

BE

，

△S

△

COE

不一定大于

S

△

BOE

，故

△

错误，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角性质，证明

△ACD△△BCE

是本题的关键．

11

．（

2

，

1

）．

【解析】

【分析】

根据关于

x

轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．

【详解】

点(2,1)关于

x

轴对称的点的坐标是

(2,1)

．

故答案为：

(2,1)

．

【点睛】

本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于

x

轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反

数；关于

y

轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标

和纵坐标都互为相反数．

12

．十二

12

【解析】

【分析】

可根据

n

边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：

n-3

，列方程求解．

【详解】

设多边形有

n

条边，

则

n-3=9

，

解得：

n=12

，

故多边形的边数为

12

，即它是十二边形，

故答案为：十二

.

【点睛】

多边形有

n

条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（

n-3

）条，经过多边形的一个

顶点的所有对角线把多边形分成（

n-2

）个三角形．

13

．

55°

【解析】

【分析】

由等腰三角形的三线合一性质可知

△BAC=70°

，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角

相等的性质即可得出结论．

【详解】

解：

AB=AC

，

D

为

BC

中点，

△AD

是

△BAC

的平分线，

△B=△C

，

△△BAD=35°

，

△△BAC=2△BAD=70°

，

△△C=

1

2

（

180°-70°

）

=55°

．

故答案为：

55°

．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

14

．

4

3

【解析】

【分析】

13

过

O

作

OD△BC

于

D

，

OE△AB

于

E

，

OF△AC

于

F

，连接

OA

、

OB

、

OC

，根据三角形的内

心和角平分线的性质得出

OE=OD=OF

，再根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】

如图，过

O

作

OD△BC

于

D

，

OE△AB

于

E

，

OF△AC

于

F

，连接

OA

、

OB

、

OC

，

△O

是

△ABC

内角平分线的交点，

△OE=OF=OD

，

△△ABC

的面积是

20

，

△S

△AOB

+S

△BOC

+S

△AOC

=20，

△

111

ABOEBCOD

222



×AC×OF=20

，

△(AB+BC+AC)×OD=40

，

△△ABC

的周长为

30

，

△AB+BC+AC=30

，

△OD=

404

303



，

△

即

O

到

BC

的距离是

4

3

，

故答案为：

4

3

．

【点睛】

本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出

OD=OE=OF

是解此题的关键．

15

．

1

：

2

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得到

DA

＝

DC

，得到

△DAC

＝

△C

，根据角平分线的定义、直角

三角形的性质求出

△DAF

＝

30°

，根据直角三角形的性质解答即可．

14

【详解】

解：

△DE

垂直平分线段

AC

，

△DA

＝

DC

，

△△DAC

＝

△C

，

△AD

平分

△FAC

，

△△DAC

＝

△DAF

，

△△DAC

＝

△C

＝

△DAF

，

△AF△BC

，

△△DAF

＝

30°

，

△AD

＝

2DF

，

△FD

：

DC

＝

1

：

2

，

故答案为：

1

：

2

．

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点

到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16

．

2

【解析】

【分析】

根据三角形的中线平分三角形的面积用

△ABC

的面积先后表示出

△ACD

、

△CDE

、

△CDF

的

面积，然后代入数据进行计算即可得解．

【详解】

解：

△

点

D

，

E

，

F

分别是

BC

，

AD

，

CE

边上的中点，

△S

△

ABD=S

△

ACD=

1

2

S

△

ABC

，

S

△

CDE=

1

2

S

△

ACD=

1

4

S

△

ABC

，

S

△

CDF=

1

2

S

△

CDE=

1

8

S

△

ABC

，

△S

△

ABC=16cm2，

△S

△

CDF=

1

8

×16=2cm2．

故答案为：

2

．

15

【点睛】

本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线平分三角形的面积推出

△CDF

与

△ABC

的面积

的关系是解题的关键，也是本题的难点．

17

．

92

【解析】

【分析】

延长

CB

，交

AD

于点

E

，根据三角形外角的性质得出

△AEC=△C+△D=72°

，

△ABC=△A

十

△AEC=92°

．

【详解】

延长

CB

，交

AD

于点

E

．

△△C=27°

，

△D=45°

，

△△AEC=△C+△D=72°

，

△△A=20°

，

△△ABC=△A+△AEC=92°

．

故答案为

92°

．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，正确作

出辅助线是解题的关键．

18

．证明见解析

【解析】

【分析】

根据

SAS

可知

△AOB△△COD

，从而得出

△A=△C

，根据内错角相等两直线平行的判定可得

结论．

【详解】

解：

△OA=OC

，

△AOB=△COD

，

OB=OD

，

△△AOB△△COD

（

SAS

）．

△△A=△C

．

△AB△CD

．

【点睛】

本题考查了

1

．全等三角形的的判定和性质；

2

．平行线的判定．

16

19

．

△A=40°

，

△B=60°

，

△C=80°

【解析】

【详解】

△

在

△ABC

中，

△B=△A+20°

代入

△C=△B+20°

中，得

△C=△A+40°

设

△A=x

△△A+△B+△C=180°

，得

x+x+20°+x+40°=180°

解方程得

x=40°

△△A=40°

，

△B=60°

，

△C=80°

．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是

180°

是解答此题的关键．

20

．（

1

）见解析；（

2

）

4

．

【解析】

【分析】

（

1

）利用

AAS

判定

△ABD△△CAE

；

（

2

）因为

BD=AE

，

AD=CE

，

AE=AD+DE=CE+DE

，所以

BD=DE+CE

．

【详解】

（

1

）证明：

△△ABC

是等腰直角三角形，

△AB=AC

，

△BAC=90°

，

△BD△AE

于

D

，

CE△AE

于

E

，

△△BDA=△AEC=90°

，

△DBA+△BAD=90°

，

△BAD+△EAC=90°

，

△△DBA=△EAC

，

在

△ABD

和

△CAE

中，

DBAEAC

BDAAEC

ABAC

















，

△△ABD△△CAE

（

AAS

）；

（

2

）解：由（

1

）知，

△ABD△△CAE

，

△AD=CE

，

BD=AE

，

△AE=AD+DE

，

△BD=DE+CE

，

17

△CE=3

，

BD=7

，

△DE=7-3=4

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出

BD=DE+CE

．

21

．（

1

）

1

(3,1)A

、

1

(1,4)B

、

1

(1,1)C

；（

2

）如图所示，见解析；（

3

）点

P

的坐标为

(3,2)

、

()3,4

、(1,2)．

【解析】

【分析】

（

1

）根据平面直角坐标系写出

A

、

B

、

C

各点的坐标，将点

A

、

B

、

C

的横坐标和纵坐标都

乘以1，分别得到点

1

A

、

1

B

、

1

C

即可，

（

2

）先作出

A

、

B

、

C

关于

x

轴的对称点

A

2、

B

2、

C

2，然后顺次连接即可；

（

3

）根据全等三角形对应边相等，分

△CAP=△ACB=90°

和

△ACP=△ACB=90°

两种情况讨论

求解．

【详解】

（

1

）先求出

ABC

三点坐标分别为

A

（

-3,1

），

B

（

-1,4

），

C

（

-1,1

）将点

A

、

B

、

C

的横坐标

和纵坐标都乘以1，分别得到点

1

A

、

1

B

、

1

C

，则

A

1（

3

，

-1

）、

B

1（

1

，

-4

）、

C

（

1

，

-1

）；

故答案为：

1

(3,1)A

、

1

(1,4)B

、

1

(1,1)C

；

（

2

）如图所示，先作

A

、

B

、

C

三点关于

x

轴的对称点

A

2、

B

2、

C

2，然后连接

A

2

B

2、

B

2

C

2、

C

2

A

2,，则

△A

2

B

2

C

2为所求；

（

3

）若

90CAPACB

，则点

P

的坐标为

(3,2)

或

()3,4

，

18

若

90ACPACB

，则点

P

的坐标为(1,2)，

综上所述，点

P

的坐标为

(3,2)

、

()3,4

、(1,2)．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质．

22

．证明见解析

【解析】

【分析】

根据四边形内角和为

360°

可得

△ABC+△ADC

＝

180°

，根据角平分线的定义可得

△EBC+△FDC

＝

90°

，根据同角的余角相等可得

△EBF

＝

△DFC

，即可证明

BE//DF.

【详解】

△

在四边形

ABCD

中，

△A

＝

△C

＝

90°

，

△△ABC+△ADC

＝

180°

，

△BE

平分

△B

，

DF

平分

△D

，

△△ABE=△EBC

，

△ADF=△FDC

，

19

△△EBC+△FDC

＝

90°

，

△△C

＝

90°

，

△△DFC+△FDC

＝

90°

，

△△EBF

＝

△DFC

，

△BE△DF

．

23

．（

1

）

10

；（

2

）证明见解析

【解析】

（

1

）根据等腰直角三角形的性质得出

△BAC=45°

，从而得出

△CAD=30°

，根据垂直得出

AC=BC=10

；

（

2

）过

D

作

DF△BC

于

F

，然后证明

Rt△DCE

和

Rt△DCF

全等，从而得出

CF=CE=5

，根

据

BC=10

得出

BF=FC

，从而得出答案．

【详解】

（

1

）在

△ABC

中，

△AC

＝

BC

，

△ACB

＝

90°

，

△△BAC

＝

45°

，

△△BAD

＝

15°

，

△△CAD

＝

30°

，

△CE△AD

，

CE

＝

5

，

△AC

＝

10

，

△BC

＝

10

．

（

2

）过

D

作

DF△BC

于

F

，

在

△ADC

中，

△CAD

＝

30°

，

AD

＝

AC

，

△△ACD

＝

75°

，

△△ACB

＝

90°

，

△△FCD

＝

15°

，

在

△ACE

中，

△CAE

＝

30°

，

CE△AD

，

△△ACE

＝

60°

，

△△ECD

＝

△ACD

－

△ACE

＝

15°

，

△△ECD

＝

△FCD

，

△DF

＝

DE

，

20

在

Rt△DCE

与

Rt△DCF

中，

{

DCDC

DEDF





，

△Rt△DCE△Rt△DCF

，

△CF

＝

CE

＝

5

，

△BC

＝

10

，

△BF

＝

FC

，

△DF△BC

，

△BD

＝

CD

．

24

．（

1

）

△

全等，理由见解析；

△4

厘米

/

秒；（

2

）经过

24

秒，点

P

与点

Q

第一次在

BC

边

上相遇；相遇点距到达点

B

的路程是

6

厘米．

【解析】

（

1

）

△

根据速度

×

时间

=

距离可得

BP

＝

CQ

＝

3

，

PC

＝

BD

＝

6

，根据等腰三角形的性质可得

△B

＝

△C

，利用

SAS

即可得

△BPD△△CQP

；

△VP≠VQ

可得

BP≠CQ

，根据

△B

＝

△C

，要使

△BPD

与

△CQP

全等，只能

BP

＝

CP

，根据全

等得出

CQ

＝

BD

＝

6

，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和

CQ

的长即可求得

Q

的

运动速度；

（

2

）根据

VQ

＞

VP

，只能是点

Q

追上点

P

，即点

Q

比点

P

多走

AB+AC

的路程，据此列出

方程，解这个方程即可得答案．

【详解】

（

1

）

△

全等，理由如下：

△t

＝

1

（秒），点

P

、

Q

的速度为

3

厘米

/

秒，

△BP

＝

CQ

＝

3

（厘米）

△AB

＝

12

，

D

为

AB

中点，

△BD

＝

6

（厘米）

△PC

＝

BC

﹣

BP

＝

9

﹣

3

＝

6

（厘米）

△PC

＝

BD

21

△AB

＝

AC

，

△△B

＝

△C

，

在

△BPD

与

△CQP

中，

BPCQ

BC

BDPC

















，

△△BPD△△CQP

．

△△VP≠VQ

，

△BP≠CQ

，

△△B

＝

△C

，

△

要使

△BPD△△CPQ

，只能

BP

＝

CP

＝

1

2

BC=4.5

，

△△BPD△△CPQ

，

△CQ

＝

BD

＝

6

．

△

点

P

的运动时间

t

＝

3

BP

＝

4.5

3

＝

1.5

（秒），

此时

VQ

＝

CQ

t

＝

6

1.5

＝

4

（厘米

/

秒）．

△

当点

Q

的运动速度为

4

厘米

/

秒时，能够使

△BPD

与

△CQP

全等．

（

2

）

△VQ

＞

VP

，

△

只能是点

Q

追上点

P

，即点

Q

比点

P

多走

AB+AC

的路程，

设经过

x

秒后

P

与

Q

第一次相遇，依题意得

4x

＝

3x+2×12

，

解得：

x

＝

24

（秒），

此时

P

运动了

24×3

＝

72

（厘米），

△△ABC

的周长为

33

厘米，

72

＝

33×2+6

，

△

此时相遇点距到达点

B

的路程是

6

厘米，

△

点

P

、

Q

在

BC

边上相遇，即经过了

24

秒，点

P

与点

Q

第一次在

BC

边上相遇．

25

．（

1

）见解析；（

2

）见解析；（

3

）见解析

【解析】

（

1

）利用

“SAS”

证明

△ACF△△AEF

，根据全等三角形的性质得到

△E=△ACF

，根据等腰三角

形的性质得到

△E=△ABE

，等量代换证明结论；

（

2

）在

FB

上截取

BM=CF

，连接

AM

，证明

△ABM△△ACF

，根据全等三角形的性质得到

AM=AF

，

△BAM=△CAF

，进而证明

△AMF

为等边三角形，结合图形证明结论；

22

（

3

）延长

BA

、

CF

交于

N

，证明

△BFN△△BFC

，得到

CN=2CF=2EF

，再证明

△BAD△△CAN

，

得到

BD=CN

，等量代换得到答案．

【详解】

（

1

）

△AF

平分

△CAE

，

△△EAF=△CAF

，

△AB=AC

，

AB=AE

，

△AE=AC

，

在

△ACF

和

△AEF

中，

AEAC

CAFEAF

AFAF

















，

△△ACF△△AEF

（

SAS

），

△△E=△ACF

，

△AB=AE

，

△△E=△ABE

，

△△ABE=△ACF

；

（

2

）如图，在

FB

上截取

BM=CF

，连接

AM

，

△△ACF△△AEF

，

△EF=CF

，

△E=△ACF=△ABM

，

在

△ABM

和

△ACF

中，

ABAC

ABMACF

BMCF

















，

△△ABM△△ACF

（

SAS

），

△AM=AF

，

△BAM=△CAF

，

23

△AB=AC

，

△ABC=60°

，

△△ABC

是等边三角形，

△△BAC=60°

，

△△MAF=△MAC+△CAF=△MAC+△BAM=△BAC=60°

，

△AM=AF

，

△△AMF

为等边三角形，

△AF=AM=MF

，

△AF+EF=BM+MF=FB

；

（

3

）如图，延长

BA

、

CF

交于

N

，

△AE△BC

，

△△E=△EBC

，

△AB=AE

，

△△ABE=△E

，

△△ABF=△CBF

，

△△ABC=45°

，

△△ABF=△CBF=22.5°

，

△ACB=45°

，

△BAC=180°-45°-45°=90°

，

△△ACF=△E=△ABF=22.5°

，

△△BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°

，

△△BFN=△BFC=90°

，

在

△BFN

和

△BFC

中，

NBFCBF

BFBF

BFNBFC

















，

△△BFN△△BFC

（

ASA

），

△CF=FN

，即

CN=2CF=2EF

，

24

△△BAC=90°

，

△△NAC=△DAB=90°

，

在

△BAD

和

△CAN

中，

ABDACN

ABAC

BADCAN

















，

△△BAD△△CAN

（

ASA

），

△BD=CN

，

△BD=2EF

．