2012年上海中考数学

闵行区第二学期九年级质量调研考试

数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答

题纸的相应位置上】

1．下列计算正确的是

（A）236aaa；（B）22()2aaa；

（C）

1

24

2aaa；（D）236()aa

．

2．已知：a、b、c为任意实数，且a>b，那么下列结论一定正确的是

（A）acbc；（B）acbc；

（C）acbc；（D）

11

ab



．

3．点P（-1，3）关于原点中心对称的点的坐标是

（A）（-1，-3）；（B）（1，-3）；（C）（1，3）；（D）（3，-1）．

4．如果一组数据

1

a

，

2

a

，…，

n

a

的方差20s，那么下列结论一定正确的是

（A）这组数据的平均数0x；（B）

12n

aaa

；

（C）

12

0

n

aaa；（D）

12n

aaa．

5．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次连结四边形ABCD各边中点所得的

四边形一定是

（A）菱形；（B）矩形；（C）正方形；（D）平行四边形．

6．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形

（A）是轴对称图形，但不是中心对称图形；

（B）是中心对称图形，但不是轴对称图形；

（C）既是轴对称图形，又是中心对称图形；

（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．计算：28▲.

8．在实数范围内分解因式：324xx

▲.

9．不等式

13(1)xx

的解集是▲.

10．已知x=1是一元二次方程230axbx

的一个实数根，那么a+b=▲.

11．已知函数

5

()

3

x

fx

x







，那么

(9)f

▲.

12．已知一次函数

ykxb

的图像经过点A（1，-5），且与直线

32yx

平行，那么该

一次函数的解析式为▲.

13．二次函数223yxx的图像在对称轴的左侧是▲.（填“上升”或“下降”）

14．从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，

那么抽得的数是素数的概率是▲．

15．如图，在△ABC中，ABAC



▲.

16．已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，

1

2

AD

DB



，DE=4，那么边AC的长为▲．

17．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果⊙O1、⊙O2的半径分别为10厘米和17厘米，

公共弦AB的长为16厘米，那么这两圆的圆心距O

1O2的长为▲厘米．

18．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的矩

形，接着把其中一个面积为

1

2

的矩形等分成两个面积为

1

4

的矩形，再把其中一个面积为

1

4

的矩形等分成两个面积为

1

8

的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：

11111111

1

2486



▲．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）

先化简，再求值：

1

1

)

1

1

1

2

(









aaa

，其中31a．

20．（本题满分10分）

解方程组：

22

25,

70.

xy

xyx











21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，

DE⊥AB，垂足为点E，AE=16，

4

sin

5

B

．

求：（1）BC的长；

（2）求∠ADE的正切值．

AB

C

(第

15

题图)

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

（第

18

题图）

A

BC

E

（第

21

题图）

D

22．（本题共3小题，第（1）、（2）每小题3分，第（3）小题4分，满分10分）

某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间

以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）

进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回

答下列问题：

（1）这个研究性学习小组所抽取

样本的容量是多少？

（2）在被调查的学生中，一天做

家庭作业所用的大致时间超过150分

钟（不包括150分钟）的人数占被调

查学生总人数的百分之几？

（3）如果该校九年级学生共有

200名，那么估计该校九年级学生一

天做家庭作业所用时间不超过120分

钟的学生约有多少人？

23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）

已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F在边BC上，DE//AB，AF//CD，

且四边形AEFD是平行四边形．

（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的

数量关系？并证明你的结论；

（2）现有三个论断：①AD=AB；②∠B+∠C

=90°；③∠B=2∠C．请从上述三个论断中选择一个

论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．

A

B

D

C

EF

（第

23

题图）

60.590.5120.5150.5180.5210.5

时间（分钟）

1

3

4

5

6

8

9

2

7

人数

（第22题图）

24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）

已知：如图，抛物线2yxbxc

与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，

3），且∠OAB的余切值为

1

3

．

（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；

（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直

线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在

直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线

沿y轴向上或向下平移后顶点为点P，写出平移后抛

物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD

的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．

25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）

已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过

点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．

（1）当AP=AD时，求线段PC的长；

（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．

A

BC

D

P

（第

25

题图）

A

BC

D

（备用图）

x

y

O

A

B

（第24题图）

闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．D；2．A；3．B；4．B；5．A；6．C．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．4；8．

2(2)(2)xxx

；9．2x；10．-3；11．

2

3

；12．

32yx

；

13．上升；14．

1

2

；15．

CB



；16．6；17．9或21；18．

511

256

．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．解：原式

221

(1)

(1)(1)

aa

a

aa







………………………………………………（3分）

3

1

a

a







．…………………………………………………………………（2分）

当31a时，

原式

32

32







…………………………………………………………………（3分）

743．……………………………………………………………（2分）

20．解：由①得

25yx

．③………………………………(2分)

把③代入②，得22(25)70xxx．

整理后，得2760xx

．………………………………………………（2分）

解得

1

1x

，

2

6x

．………………………………………………………（2分）

由

1

1x，得

1

253y．…………………………………………（1分）

由

2

6x

，得

2

1257y

．………………………………………（1分）

所以，原方程组的解是

1

1

1,

3.

x

y











2

2

6,

7.

x

y











………………………………（2分）

21．解：（1）由∠ACB=90°，可知AC⊥CD．

于是，由AD平分∠BAC，DE⊥AB，

得AC=AE=16．……………………………………………………（2分）

在Rt△ABC中，由

4

sin

5

AC

B

AB



，

得AB=20．……………………………………………………………（1分）

利用勾股定理，得2222201612BCABBC

．

∴BC=12．……………………………………………………………（2分）

（2）∵AB=20，AE=16，∴BE=4．

由DE⊥AB，得∠DEB=90°．

即得∠DEB=∠ACB=90°．

又∵∠DBE=∠ABC，∴△DBE∽△ABC．……………………（2分）

∴

DEBE

ACBC



．

即得

4

1612

DE



．解得

16

3

DE

．…………………………………（1分）

Rt△ADE中，

16

tan3

16

3

AE

ADE

DE



．

∴tan3ADE．……………………………………………………（2分）

22．解：（1）根据题意，得3468930．………………………………（2分）

答：这个研究性学习小组所抽取样本的容量为30．…………………（1分）

（2）根据题意，得8412（人）．……………………………………（1分）

所以

12

0.440%

30



．………………………………………………（1分）

答：一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟的人数占被调查学生总人数

的40%．……………………………………………………………（1分）

（3）设一天做家庭作业所用的时间少于120分钟的学生约有x人．

根据题意，得

36

=

30200

x

．…………………………………………（2分）

解得60x．…………………………………………………………（1分）

答：估计一天做家庭作业所用时间少于120分钟的学生约有60人．（1分）

23．（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：3BCAD．…………………（1分）

证明：∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD=BE．………………………………………………………（2分）

同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得AD=FC．……（1分）

又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF．……………（1分）

∴AD=BE=EF=FC．

∴3BCAD．……………………………………………………（1分）

（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）

证明：∵DE//AB，∴∠B=∠DEC．…………………………………（1分）

∵∠B+∠C=90°，∴∠DEC+∠C=90°．

即得∠EDC=90°．………………………………………………（2分）

又∵EF=FC，∴DF=EF．……………………………………（1分）

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分）

24．解：（1）由点B（0，3），可知OB=3．

在Rt△OAB中，

1

cot31

3

OAOBOAB

．

即得点A（-1，0）．……………………………………………………（1分）

由抛物线2yxbxc

经过点A、B，

得

130,

3.

b

c











解得

2,

3.

b

c











所以，所求抛物线的表达式为223yxx

．……………………（2分）

顶点D的坐标为（1，4）．……………………………………………（1分）

（2）该抛物线的对称轴直线l为x=1．……………………………………（1分）

由题意，可知点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点．

∴DE=1．……………………………………………………………（1分）

∵点D是△PBC的重心，∴22PDDE．

即得PE=3．…………………………………………………………（1分）

于是，由点P在直线l上，得点P的坐标为（1，6）．……………（1分）

（3）由PD=2，可知将抛物线223yxx

向上平移2个单位，得平移后

的抛物线的表达式为225yxx

．………………………………（1分）

设点M的坐标为（m，n）．

△MPD和△BPD边PD上高分别为

1m

、1，

于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，

得12m．

解得

1

1m

，

2

3m

．

∵点M在抛物线225yxx

上，

∴

1

2n

，

2

2n

．……………………………………………………（2分）

∴点M的坐标分别为M

1（-1，2）、M2（3，2）．………………（1分）

25．解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，

∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，

CE=AB=3．

∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．

又∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，

∠ADC=∠ADP+∠PDC，

∴∠ADP=∠DCE．

又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．

∴

ADAP

CEDE



．

于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．…………………………（2分）

在Rt△APD和Rt△DCE中，

得22PD，32CD．…………………………………………（1分）

于是，在Rt△PDC中，得22121827PCPDCD．（1分）

（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，

得24PDx

．……………………………………………………（1分）

∵△APD∽△DCE，∴

ADPD

CECD



．

∴2

33

4

22

CDPDx

．…………………………………………（1分）

在Rt△PCD中，222

1133

(4)3

2224PCD

SPDCDxx





．

∴所求函数解析式为2

3

3

4

yx

．…………………………………（2分）

函数的定义域为0

（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）

根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况：

（ⅰ）当点P与点B不重合时，可知∠APD=∠DPC．

由△APD∽△DCE，得

APPD

DEDC



．即得

APDE

PDCD



．

由△APD∽△DPC，得

APAD

PDDC



．

∴

ADDE

CDCD



．即得DE=AD=2．

∴AE=4．

易证得四边形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．…………………（2分）

（ⅱ）当点P与点B重合时，可知∠ABD=∠DBC．

在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得13BD．

由△ABD∽△DBC，得

ADBD

BDBC



．

即得

213

13

BC



．

解得

13

2

BC

．………………………………………………………（2分）

∴△APD∽△DPC时，线段BC的长分别为4或

13

2

．