拟合程度

拟合分析

一个好的拟合方程，其残差总和应越小越好。残差越小，拟合值与观测值越接近，

各观测点在拟合直线周围聚集的紧密程度越高，也就是说，拟合方程

01

ˆˆ

ˆ

*yx

解释y的能力越强。

另外，当无偏估计量

e

S越小时，还说明残差值

i

e的变异程度越小。由于残差的样本均

值为零，所以，其离散范围越小，拟合的模型就越为精确。

y的变异是由两方面的原因引起的；一是由于x的取值不同，而给y带来的系统性变

异；另一个是由除x以外的其它因素的影响。

注意到对于一个确定的样本（一组实现的观测值），总的变异平方和SST是一个定值。

所以，可解释变异平方和SSR越大，则必然有残差残差平方和SSE越小。这个分解式可同

时从两个方面说明拟合方程的优良程度：

（1）SSR越大，用回归方程来解释

i

y变异的部分越大，回归方程对原数据解释得越好；

（2）SSE越小，观测值

i

y绕回归直线越紧密，回归方程对原数据的拟合效果越好。

因此，可以定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度，这就是所谓

的判定系数，有些文献上也称之为拟合优度。

判定系数是指可解释的变异占总变异的百分比，用2R表示，有

2(1)

SSRSSE

R

SSTSST

从判定系数的定义看，R2有以下简单性质：

（1）0≤2R≤1；

（2）当2R=1时，有SSR=SST，也就是说，此时原数据的总变异完全可以由拟

合值的变异来解释，并且残差为零（SSE=0），即拟合点与原数据完全吻合；

（3）当2R=0时，回归方程完全不能解释原数据的总变异，y的变异完全由与x无关

的因素引起，这时SSE=SST。

测定系数时一个很有趣的指标：一方面它可以从数据变异的角度指出可解释的变异占总

变异的百分比，从而说明回归直线拟合的优良程度；另一方面，它还可以从相关性的角度，

说明原因变量y与拟合变量

ˆ

y的相关程度，从这个角度看，拟合变

ˆ

y量与原变量y的相关

度越大，拟合直线的优良度就越高。

2R又等于y与拟合变量

ˆ

y的相关系数平方。

还可以证明，2R

等于y与自变量x的相关系数，而相关系数的正、负号与回归

系数

1

ˆ

的符号相同。

P