参数方程

【考情分析】

考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．

基础梳理

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数







x＝ft，

y＝ft，

并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲

线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参

数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P

0

(x

0

，y

0

)，倾斜角为α的直线的参数方程为







x＝x

0

＋tcosα，

y＝y0＋tsinα

(t为参

数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P

0

P

→

的数量．

(2)圆的参数方程







x＝rcosθ，

y＝rsinθ

(θ为参数)．

(3)圆锥曲线的参数方程

椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1的参数方程为







x＝acosθ，

y＝bsinθ

(θ为参数)．

双曲线

x2

a2－

y2

b2＝1的参数方程为







x＝acφ，

y＝tanφ

(φ为参数)．

抛物线y2＝2px的参数方程为







x＝2pt2，

y＝2pt

(t为参数)．

双基自测

1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程







x＝－1－t，

y＝2＋t

(t为参数)所表示的图形分别

是()．

A．直线、直线B．直线、圆

C．圆、圆D．圆、直线

解析∵ρcosθ＝x，∴cosθ＝

x

ρ

代入到ρ＝cosθ，得ρ＝

x

ρ

，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x

表示圆．

又∵







x＝－1－t，

y＝2＋t，

相加得x＋y＝1，表示直线．

答案D

2．若直线







x＝1－2t，

y＝2＋3t

(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

解析参数方程







x＝1－2t，

y＝2＋3t，

所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线

4x＋ky＝1垂直可得－

3

2

×













－

4

k

＝－1，解得k＝－6.

答案－6

3．二次曲线







x＝5cosθ，

y＝3sinθ

(θ是参数)的左焦点的坐标是________．

解析题中二次曲线的普通方程为

x2

25

＋

y2

9

＝1左焦点为(－4,0)．

答案(－4,0)

4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：







x＝2t，

y＝1＋4t

(t为参数)，圆C的极

坐标方程为ρ＝22sinθ，则直线l与圆C的位置关系为________．

解析将直线l的参数方程：







x＝2t，

y＝1＋4t

化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝22

sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝2，圆心(0，2)到直线y＝1＋2x的距离

为

2－1

1＋4

，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．

答案相交

5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为







x＝5cosθ，

y＝sinθ

(0≤θ＜π)和











x＝

5

4

t2，

y＝t

(t∈R)，它们的交点坐标为________．

解析由







x＝5cosθ，

y＝sinθ

(0≤θ＜π)得，

x2

5

＋y2＝1(y≥0)由











x＝

5

4

t2，

y＝t

(t∈R)得，x

＝

5

4

y2，∴5y4＋16y2－16＝0.

解得：y2＝

4

5

或y2＝－4(舍去)．

则x＝

5

4

y2＝1又θ≥0，得交点坐标为













1，

25

5

.

答案













1，

25

5

考向一参数方程与普通方程的互化

【例1】►把下列参数方程化为普通方程：

(1)







x＝3＋cosθ，

y＝2－sinθ；

(2)









x＝1＋

1

2

t，

y＝5＋

3

2

t.

[审题视点](1)利用平方关系消参数θ；

(2)代入消元法消去t.

解(1)由已知







cosθ＝x－3，

sinθ＝2－y，

由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,

可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．

(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋

3

2

t中，

得y＝5＋

3

2

(2x－2)，即3x－y＋5－3＝0就是它的普通方程．

参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参

数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去

法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的

范围．

【训练1】(2010·陕西)参数方程







x＝cosα，

y＝1＋sinα

(α为参数)化成普通方程为

________．

解析由







x＝cosα，

y＝1＋sinα，

得







x＝cosα，①

y－1＝sinα，②

①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.

答案x2＋(y－1)2＝1

考向二直线与圆的参数方程的应用

【例2】►已知圆C：







x＝1＋cosθ，

y＝sinθ

(θ为参数)和直线l：







x＝2＋tcosα，

y＝3＋tsinα

(其

中t为参数，α为直线l的倾斜角)．

(1)当α＝

2π

3

时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

[审题视点](1)求圆心到直线l的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆

的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t的一元二次

方程，这个方程的Δ≥0.

解(1)当α＝

2π

3

时，直线l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心坐

标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝

23

2

＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线

l距离的最小值为3－1.

(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角

坐标方程，得t2＋2(cosα＋3sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，

故Δ＝4(cosα＋3sinα)2－12≥0，则sin2













α＋

π

6

≥

3

4

，即sin













α＋

π

6

≥

3

2

或sin













α＋

π

6

≤－

3

2

.又0≤α＜π，故只能sin













α＋

π

6

≥

3

2

，即

π

3

≤α＋

π

6

≤

2π

3

，即

π

6

≤α≤

π

2

.

如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角

坐标方程．

【训练2】已知直线l的参数方程为







x＝1＋t，

y＝4－2t

(参数t∈R)，圆C的参数方程

为







x＝2cosθ＋2，

y＝2sinθ

(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

解由







x＝1＋t，

y＝4－2t

消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，

由







x＝2cosθ＋2，

y＝2sinθ

消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为

(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝

|2×2＋0－6|

22＋1

＝

25

5

，

所以所求弦长为222－













25

5

2＝

85

5

.

考向三圆锥曲线的参数方程的应用

【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆

x2

4

＋y2＝1所得的弦长．

[审题视点]把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及

弦长公式可解决．

解由条件可知直线的参数方程是











x＝1－

2

2

t，

y＝1＋

2

2

t

(t为参数)，代入椭圆方程可

得













1－

2

2

t2

4

＋













1＋

2

2

t2＝1，

即

5

2

t2＋32t＋1＝0.设方程的两实根分别为t

1

、t

2

，则由二次方程的根与系数的关

系可得











t

1

＋t

2

＝－

62

5

，

t

1

t

2

＝

2

5

，

则直线截椭圆的弦长是|t

1

－t

2

|＝t

1

＋t

2

2－4t

1

t

2

＝













－

62

5

2－4×

2

5

＝

42

5

.

普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参

数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程

F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有

向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要

引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．

【训练3】(2011·南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线









x＝t＋

1

t

，

y＝t－

1

t

(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．

解直线的参数方程为











x＝－3＋

3

2

s，

y＝

1

2

s

(s为参数)，

又曲线









x＝t＋

1

t

，

y＝t－

1

t

(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，

得s2－63s＋10＝0，

设A、B对应的参数分别为s

1

，s

2

.∴s

1

＋s

2

＝63，s

1

s

2

＝10.∴|AB|＝|s

1

－s

2

|＝

s

1

＋s

2

2－4s

1

s

2

＝217.

如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题

从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方

程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决

弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．

【示例】►(本题满分10分)(2011·新课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的

参数方程为







x＝2cosα，

y＝2＋2sinα

(α为参数)．

M是C

1

上的动点，P点满足OP

→

＝2OM

→

，P点的轨迹为曲线C

2

.

(1)求C

2

的方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝

π

3

与C

1

的异于极

点的交点为A，与C

2

的异于极点的交点为B，求|AB|.

第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C

1

、曲线C

2

均用极坐标表示，

再求射线θ＝

π

3

与曲线C

1

、C

2

的交点A、B的极径即可．

[解答示范](1)设P(x，y)，则由条件知M













x

2

，

y

2

.

由于M点在C

1

上，所以









x

2

＝2cosα，

y

2

＝2＋2sinα，

即







x＝4cosα，

y＝4＋4sinα.

从而C

2

的参数方程为







x＝4cosα，

y＝4＋4sinα

(α为参数)．(5分)

(2)曲线C

1

的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C

2

的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝

π

3

与C

1

的交点A的极径为ρ

1

＝4sin

π

3

，

射线θ＝

π

3

与C

2

的交点B的极径为ρ

2

＝8sin

π

3

.

所以|AB|＝|ρ

2

－ρ

1

|＝23.(10分)

很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的

形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归

的能力．

【试一试】(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆







x＝5cosφ，

y＝3sinφ

(φ

为参数)的右焦点，且与直线







x＝4－2t，

y＝3－t

(t为参数)平行的直线的普通方程．

[尝试解答]由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所

以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率

为

1

2

，因此其方程为y＝

1

2

(x－4)，即x－2y－4＝0.