关于排列组合的公式

创作时间：二零二一年六月三十日

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排列组合公式之蔡仲巾千创作

创作时间：二零二一年六月三十日

排列界说从n个分歧的元素中,取r个不重复的元素,顺次第排列,称

为从n个中取r个的无重排列.排列的全体组成的集合用P(n,r)暗示.排列的个

数用P(n,r)暗示.当r=n时称为全排列.一般不说可重即无重.可重排列的相应

记号为P(n,r),P(n,r).

组合界说从n个分歧元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元

素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合.

组合的全体组成的集合用C(n,r)暗示,组合的个数用C(n,r)暗示,对应于可重

组合

有记号C(n,r),C(n,r).

一、排列组合部份是中学数学中的难点之一,原因在于

(1)从千差万另外实际问题中笼统出几种特定的数学模型,需要较强的笼统

思维能力；

(2)限制条件有时比力隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关

联词和量词)准确理解；

(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的

思维量较年夜；

(4)计算方案是否正确,往往不成用直观方法来检验,要求我们搞清概念、

原理,并具有较强的分析能力.

二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

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3．分类的要求

每一类中的每一种方法都可以自力地完成此任务；两类分歧法子中的具体

方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即

分类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务,必需且只须连续完成这n步才华

完成此任务；各步计数相互自力；只要有一步中所采用的方法分歧,则对应的

完成此事的方法也分歧

例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数

集合A为数字不重复的九位数的集合,S（A）=9！

集合B为数字不重复的六位数的集合.

把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集.显然各子

集没有共同元素.每个子集元素的个数,即是剩余的3个数的全排列,即3！

这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则

S（A）=S（B）*3！

S（B）=9！/3！

这就是我们用以前的方法求出的P（9,6）

例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有几多种选法？

设分歧选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合.把集合B分

为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都

是某6个数的全排列,即每个子集有6！个元素.这时集合C的元素与B的子集

存在一一对应关系,则

S（B）=S（C）*6！

S（C）=9！/3！/6！

这就是我们用以前的方法求出的C（9,6）

以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂.可是集合的观念才是排列组合公

式的来源,也是对公式更深刻的认识.年夜家可能没有意识到,在我们平时数物

品的数量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合

与集合（1,2,3,4,5）建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合（1,

2,3,4,5）的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个.我写这篇文章的目

的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题.

例3：9个人坐成一圈,问分歧坐法有几多种？

9个人排成一排,分歧排法有9！种,对应集合为前面的集合A

9个人坐成一圈的分歧之处在于,没有起点和终点之分.设集合D为坐成一圈的

坐法的集合.以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应分歧元素,

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但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元

素,所以S（D）=9！/9

我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8！.这个方

法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系.用集合的思路解决问题

的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素

形成一一对应的关系.

例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排

在2前面,求符合要求的九位数的个数.

集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前

面,集合C中1排在2后面.则S（B）+S（C）=S（A）

在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对换形成的

数字,对应集合C中相同数字.则这个对应关系为一一对应.因此S（B）=S

（C）=9！/2

以同样的思路可解出下题：

从1、2、3…,9这九个数中选出3个分歧的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,

且要求a>b>c,问这样的函数共有几多个？

例5：M个球装入N个盒子的分歧装法,盒子按顺序排列.

这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说.

假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个

球按顺序分为N组.则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方

法.而砍线的方法即是M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起,就

暗示相应的盒子里球数为0）.所以方法总数为C（M+N-1,N-1）

例6：7人坐成一排照像,其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻,则共

有________排法.

解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部份,设四部份人数分别为X1,X2,

X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0

先把其余4人看作一样,则分歧排法为方程

X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1

化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方

法一一对应,个数为C（5,3）=10

由于其余四人是分歧的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！,所

以分歧排法共有C（5,3）*4！=240种.

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