2013考研数学二

2013年考研数学二试题及答案

2

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下

列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定

位置上.

1、设cos1sin()xxx，()

2

x



，当0x时，()x（）

（A）比x高阶的无穷小（B）比x低

阶的无穷小

（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是

等价无穷小

【答案】（C）

【考点】同阶无穷小

【难易度】★★

【详解】cos1sin()xxx，2

1

cos1

2

xx

2

1

sin()

2

xxx，即1

sin()

2

xx

当0x时，()0x，sin()()xx

1

()

2

xx，即()x与x同阶但不等价的无穷小，故选

3

（C）.

2、已知()yfx由方程cos()ln1xyyx确定，则2

lim[()1]

n

nf

n



（）

（A）2（B）1（C）-1（D）-2

【答案】（A）

【考点】导数的概念；隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】当0x时，1y.

00

2

()1

2(2)1(2)(0)

lim[()1]limlim2lim2(0)

1

2nnxx

f

fxfxf

n

nff

nxx

n











方程cos()ln1xyyx两边同时对x求导，得

1

sin()()10xyyxyy

y





将0x，1y代入计算，得(0)(0)1yf





所以，2

lim[()1]2

n

nf

n

，选（A）.

3、设sin[0,)

()

2[,2]

x

fx













，

0

()()xFxftdt

，则（）

（A）x为()Fx的跳跃间断点（B）x为()Fx

的可去间断点

4

5

6

记

()(1,2,3,4)

k

k

D

Iyxdxdyk

，则（）

（A）

1

0I（B）

2

0I（C）

3

0I（D）

4

0I

【答案】（B）

【考点】二重积分的性质；二重积分的计算

【难易度】★★

【详解】根据对称性可知，

13

0II.

2

2

()0

D

Iyxdxdy

（0yx），

4

4

()0

D

Iyxdxdy

（0yx）

因此，选B.

7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，

则（）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

【答案】（B）

【考点】等价向量组

7

【难易度】★★

【详解】将矩阵A、C按列分块，

1

(,,)

n

A，

1

(,,)

n

C

由于ABC，故111

11

1

(,,)(,,)

n

nn

nnn

bb

bb















即

1111111

,,

nnnnnnn

bbbb

即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

由于B可逆，故1ACB，A的列向量组可由C的列向

量组线性表示，故选（B）.

8、矩阵

11

11

a

aba

a











与

200

00

000

b











相似的充分必要条件是（）

（A）0,2ab

（B）0,ab为任意常数

（C）2,0ab

（D）2,ab为任意常数

【答案】（B）

【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件

【难易度】★★

【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似

的充要条件是有相同的特征值.

8

由

200

00

000

b











的特征值为2，b，0可知，矩阵

11

11

a

Aaba

a













的

特征值也是2，b，0.

因此，22

1111

2202240

11020

aa

EAababaaa

aa







0a

将0a代入可知，矩阵

101

00

101

Ab













的特征值为2，b，0.

此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请

将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

9、1

0

ln(1)

lim(2)x

x

x

x



.

【答案】1

2e

【考点】两个重要极限

【难易度】★★

【详解】

0

1

1ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)

1(1)(1)lim(1)

000

ln(1)ln(1)

lim(2)lim[1(1)]limx

xxxx

xxxxxxxx

xxx

xx

ee

xx













9

其中，

2

0000

1

1

1ln(1)ln(1)1

1

lim(1)limlimlim

22(1)2xxxx

xxxx

x

xxxxxx











故原式=1

2e

10、设函数

1

()1x

tfxedt





，则()yfx的反函数1()xfy在

0y处的导数

0y

dx

dy



.

【答案】

1

1

1e

【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其

导数

【难易度】★★

【详解】由题意可知，(1)0f

1

01

11

()1

11

x

x

yx

dydxdxdx

fxe

dxdydydy

ee









.

11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为

cos3()

66

r



，则L所围平面图形的面积是.

【答案】

12



【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积

10

【难易度】★★

【详解】面积

6

22

666

00

0

6

11cos61sin6

()cos3()

222612

Srddd

















12、曲线

2

arctan,

ln1

xt

yt















上对应于1t点处的法线方程

为.

【答案】ln20

4

yx





【考点】由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

【详解】由题意可知，

1

2

2

2

2

11

(1)2

2

/

1

1

/

1

tt

dydydt

t

t

dxdxdt

t









，故

1

1

t

dy

dx





曲线对应于1t点处的法线斜率为1

1

1

k



.

当1t时，

4

x



，ln2y.

法线方程为ln2()

4

yx



，即ln20

4

yx



.

11

13、已知32

1

xxyexe，2

2

xxyexe，2

3

xyxe是某二阶常系

数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条

件

0

0

x

y



，

0

1

x

y





的解为y.

【答案】32xxxyeexe

【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

【难易度】★★

【详解】3

12

xxyyee，

23

xyye是对应齐次微分方程的

解.

由分析知，*2xyxe是非齐次微分方程的特解.

故原方程的通解为32

12

()xxxxyCeeCexe，

12

,CC为任意常

数.

由

0

0

x

y



，

0

1

x

y





可得

1

1C，

2

0C.

通解为32xxxyeexe.

14、设()

ij

Aa是3阶非零矩阵，A为A的行列式，

ij

A为

ij

a的代数余子式，若

0(,1,2,3)

ijij

aAij，则A.

【答案】-1

【考点】伴随矩阵

12

【难易度】★★★

【详解】**0TT

ijijijij

aAAaAAAAAAAE

等式两边取行列式得230AAA或1A

当0A时，00TAAA（与已知矛盾）

所以1A.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在

答题纸

．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

当0x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n和a

的值.

【考点】等价无穷小；洛必达法则

【难易度】★★★

【详解】

00

cos6cos4cos21

1

1coscos2cos3

4

limlim

nn

xx

xxx

xxx

axax









1

00

3cos6cos4cos26sin64sin42sin2

limlim

44nn

xx

xxxxxx

axanx







2

0

36cos616cos44cos2

lim

4(1)n

x

xxx

annx









故20n，即2n时，上式极限存在.

当2n时，由题意得

13

00

1coscos2cos336cos616cos44cos236164

limlim1

88n

xx

xxxxxx

axaa





7a

2,7na

16、（本题满分10分）

设D是由曲线1

3yx，直线xa(0)a及x轴所围成的平面

图形，

x

V，

y

V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋

转体的体积，若10

yx

VV，求a的值.

【考点】旋转体的体积

【难易度】★★

【详解】根据题意，155

2

333

0

0

33

()

55

a

a

x

Vxdxxa

177

333

0

0

66

2

77

a

a

y

Vxxdxxa

.

因10

yx

VV，故75

33

63

1077

75

aaa.

17、（本题满分10分）

设平面区域D由直线3xy，3yx，8xy围成，求2

D

xdxdy

【考点】利用直角坐标计算二重积分

【难易度】★★

14

【详解】根据题意32

86

yxx

xyy













，

1

6

3

2

8

x

yx

y

xy

























故2368

222

02

33

xx

xx

D

xdxdydxxdydxxdy26

434

02

28132416

()128

33333

xxx

18、（本题满分10分）

设奇函数()fx在[1,1]上具有二阶导数，且(1)1f，证明：

（Ⅰ）存在(0,1)，使得()1f

；

（Ⅱ）存在(1,1)，使得()()1ff

.

【考点】罗尔定理

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由于()fx在[1,1]上为奇函数，故(0)0f

令()()Fxfxx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且

(1)(1)10Ff，(0)(0)00Ff.由罗尔定理，存在(0,1)，

使得()0F

，即()1f

.

（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxfxfxefxfxeefxe





[()]0xxefxe





令()()xxgxefxe



，由于()fx是奇函数，所以()fx

是偶函

数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1ff

，()()0gg.

由罗尔定理可知，存在(1,1)，使得()0g

，即

15

()()1ff

.

19、（本题满分10分）

求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距

离和最短距离.

【考点】拉格朗日乘数法

【难易度】★★★

【详解】设(,)Mxy为曲线上一点，该点到坐标原点的

距离为22dxy

构造拉格朗日函数2233(1)Fxyxxyy

由

2

2

33

2(3)0

2(3)0

10

x

y

Fxxy

Fyyx

Fxxyy





























得1

1

x

y











点(1,1)到原点的距离为22112d，然后考虑边界点，

即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.因此，曲线

上点到坐标原点的最长距离为2，最短距离为1.

20、（本题满分11分）

设函数1

()lnfxx

x



（Ⅰ）求()fx的最小值；

（Ⅱ）设数列



n

x满足

1

1

ln1

n

n

x

x



，证明lim

n

n

x



存在，并求

16

此极限.

【考点】函数的极值；单调有界准则

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由题意，1

()lnfxx

x

，0x

22

111

()

x

fx

xxx







令()0fx



，得唯一驻点1x

当01x时，()0fx



；当1x时，()0fx



.

所以1x是()fx的极小值点，即最小值点，最小值为

(1)1f.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

ln1

n

n

x

x

，又由已知

1

1

ln1

n

n

x

x



，可

知

1

11

nn

xx



，即

1nn

xx





故数列



n

x单调递增.

又由

1

1

ln1

n

n

x

x



，故ln10

nn

xxe，所以数列



n

x有上界.

所以lim

n

n

x



存在，设为A.

在

1

1

ln1

n

n

x

x



两边取极限得1

ln1A

A



在1

ln1

n

n

x

x

两边取极限得1

ln1A

A



所以1

ln11AA

A

即lim1

n

n

x



.

17

21、（本题满分11分）

设曲线L的方程为2

11

ln(1)

42

yxxxe满足

（Ⅰ）求L的弧长；

（Ⅱ）设D是由曲线L，直线1x，xe及x轴所围平

面图形，求D的形心的横坐标.

【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定

积分的物理应用—形心

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得

2222

1111

111111

1()1()1()()

222222

eeeeSydxxdxxdxxdx

xxx





2

2

1

1

11111

()(ln)

22424

e

ee

xdxxx

x





（Ⅱ）由形心的计算公式，得

2

2

11

1ln

2

42

1

00

11

1ln

2

42

1

00

11

(ln)

42

11

(ln)

42

e

xx

D

e

xx

D

xdxdy

xxxdx

dxxdy

x

dxdy

xxdx

dxdy























422

42

3

3

11111

()

3(23)

1616422

111

4(7)

12122

eee

ee

e

e











.

22、（本题满分11分）

18

设1

10

a

A









，01

1

B

b









，当,ab为何值时，存在矩阵C使

得ACCAB，并求所有矩阵C.

【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件

【难易度】★★★

【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设

12

34

xx

C

xx









.由ACCAB可得

1212

3434

10101

1011

xxxx

a

xxxx

bb















整理后可得方程组

23

124

134

23

0

1

1

xax

axaax

xxx

xaxb























①

由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩

阵进行初等行变换：

11

1

11

a

aaaa

aaa

abbb























方程组有解，故10a，0b，即1a，0b.

当1a，0b时，增广矩阵变为

10111

01100

00000

00000















19

34

,xx为自由变量，令

34

1,0xx，代入相应齐次方程组，

得

21

1,1xx

令

34

0,1xx，代入相应齐次方程组，得

21

0,1xx

故

1

(1,1,1,0)T，

2

(1,0,0,1)T，令

34

0,0xx，得特解(1,0,0,0)T

方程组的通解为

112212112

(1,,,)Txkkkkkkk（

12

,kk为任

意常数）

所以121

12

1kkk

C

kk











.

23、（本题满分11分）

设二次型2

2233

(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx，记1

2

3

a

a

a















，

1

2

3

b

b

b















（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（Ⅱ）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变

换下的标准形为22

12

2yy

【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型

为标准形；矩阵的秩

【难易度】★★★

20

【详解】（Ⅰ）证明：

2

2233

(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx

1111

21232

3333

2(,,)(,,)(,,)(,,)

axbx

xxxaaaaxxxxbbbbx

axbx













1

1232

3

(,,)(2)TTT

x

xxxxxAx

x















，其中2TTA

所以二次型f对应的矩阵为2TT.

（Ⅱ）由于,正交，故0TT

因,均为单位向量，故1T，即1T.同理1T

2(2)22TTTTTTAA

由于0，故A有特征值

1

2.

(2)TTA，由于0，故A有特征值

2

1

又因为

()(2)(2)()()()1123TTTTTTrArrrrr，

所以0A，故

3

0.

三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变

换下的标准形为22

12

2yy.