意大利馅饼

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随机事件的概率与古典概型、几何概型

一．知识整合：

1．随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率

n

m

总接近于某个常数，

在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。

由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包

含事件A）；

4．事件间的运算

（1）并事件（和事件）

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事

件。

注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+

A

）=P（A）+P（

A

）=1。

（2）交事件（积事件）

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的

交事件。

5．古典概型

（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每

个基本事件出现的可能性相等；

（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=

总的基本事件个数

包含的基本事件个数A

；

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事

件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事

件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是

n

1

。如果某个事

件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=

n

m

。

6．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称

这样的概率模型为几何概率模型；

7．几何概型的概率公式：

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P（A）=

积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成

积）的区域长度（面积或体构成事件A

。

8．几种常见的几何概型

（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线

段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：

P=l的长度/L的长度

（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的

点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上

概率为：

P=g的面积/G的面积

（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上

的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V

上的概率为：

P=v的体积/V的体积

二．典例精析

题型1：随机事件的定义

例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）“抛一石块，下落”.

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水份，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”．

例2．（1）如果某种彩票中奖的概率为

1000

1

，那么买1000张彩票一定能中奖吗？

请用概率的意义解释。

（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识

解释其公平性。

题型2：频率与概率

例3．某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率）

种子粒数25115

发芽粒数24963918062715

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例4．进行这样的试验：从0、1、2、„、9这十个数字中随机取一个数字，重复进

行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数

字的“随机数表”．在这个随机数表里，可以发现0、1、2、„、9这十个数字中各个数

字出现的频率稳定在0.1附近．现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000

个随机数，统计每1000个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果：

段序：

n=1000

出现

“7”的

频数

958895111102

出现

“7”的

频率

0.0950.0880.0950.1120.0950.0990.0820.0890.1110.102

由上表可见，每1000个随机数中“7”出现的频率也稳定在0.1的附近．这就是频率

的稳定性．我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。

题型3：随机事件间的关系

例5．（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是

（）

（A）至多有一次中靶（B）两次都中靶

（C）两次都不中靶（D）只有一次中靶

（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人

分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（）

（A）互斥但非对立事件（B）对立事件

（C）相互独立事件（D）以上都不对

例6．（2006天津文，18）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产

品的正品率是

0.9,

乙机床产品的正品率是。

（I）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；

（II）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用

数字作答）。

题型4：古典概率模型的计算问题

例7．从含有两件正品a

1

，a

2

和一件次品b

1

的三件产品中，每次任取一件，每次取

出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

例8．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

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（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

题型5：利用排列组合知识解古典概型问题

例9．（2006山东文，19）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任

意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。

例10．（2006安徽文，19）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需

要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加

剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，

通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

题型6：易错题辨析

例11．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。

例12．（2000年天津、山西、江西高考试题）

甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4

个，甲、乙二人一次各抽取一题，

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？

题型7：线长问题

例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示

所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。

例2．（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活

动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带

并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息然而后来

发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作

人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛

掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那

么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？

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例3．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概

率？

题型8：面积问题

例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将

此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A

表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。

例5．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文

缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收

范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，

而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午

3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

例6．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶该靶为正方形板．边

长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得

一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半

径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的

环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一

个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中

靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：

（a）一张大馅饼，

（b）一张中馅饼，

（c）一张小馅饼，

（d）没得到馅饼的概率

题型9：体积问题

例7．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显

微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。

例8．在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能

构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。

0←S→10

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三．思维总结

本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基

本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势。

1．使用公式P（A）=

n

m

计算时，确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,

没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做

到不重复不遗漏。

复习这部分内容及解答此类问题首先必须使学生明确判断两点：（1）对于每个随机

实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；（2）出现的所有不同的实验结

果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用的古典

概型计算公式P(A)=m/n得出的结果才是正确的。

2．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；

第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；

第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。

3．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两

个事件，集合A的对立事件记作

A

，从集合的角度来看，事件

A

所含结果的集合正是全

集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪

A

=U，A∩

A

=.对立事件一定是互

斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生。当A、B为互斥事件时，

事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的。

当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件

A

的概率则要容易

些，为此有P（A）=1－P（

A

）。

对于n个互斥事件A

1

，A

2

，„，A

n

，其加法公式为P（A

1

+A

2

+„+A

n

）=P（A

1

）+P

（A

2

）+„+P（A

n

）。

分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。

4．在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、

既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决

问题的能力的重要环节。

5．有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲

将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；

6．学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。

7．关于几何概型：

（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的

情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；

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（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无

限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而

所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。