中考数学题

中考数学试卷

一、选择题

1．下列各数是无理数的是（)

A．1B．﹣0。6C．﹣6D．π

2．太阳半径约696000千米，则696000千米用科学记数法可表示为（）

A．0.696×106B．6.96×108C．0。696×107D．6.96×105

3．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(）

A．B．C．D．

4．下列计算中，结果是a7的是（)

A．a3﹣a4B．a3•a4C．a3+a4D．a3÷a4

5．如图，该几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

6．如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位，点P的对应

点P'的坐标是（)

A．（﹣1，6）B．(﹣9，6)C．（﹣1，2）D．（﹣9,2）

7．如图，△ABC中,AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，

∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）

A．75°B．80°C．85°D．90°

8．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）

A．B．C．2πD．

9．已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两

点，当y1＞y2时，x的取值范围是（）

A．x＜﹣1或x＞4B．﹣1＜x＜0或x＞4

C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4D．x＜﹣1或0＜x＜4

10．如图，在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和

点M重合，点B、C（M)、N在同一直线上,令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线

以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动

x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的

大致图象是()

A．B．C．D．

二、填空题

11．分解因式:x3y﹣xy3=．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的周长为

13．分式方程=1的解为

14．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大

小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为

15．小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏,规定：一局比赛后，胜者得3分,负者得﹣1分，

平局两人都得0分,小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策

略．

小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……

小王的策略是:剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指2石头、剪子、布中任意一个）

例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表

局数123456789

小光实际策略石头剪子布石头剪子布石头剪子布

小王实际策略剪子布剪子石头剪子剪子剪子石头剪子

小光得分33﹣100﹣13﹣1﹣1

小王得分﹣1﹣13003﹣133

已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为分．

二、解答题

16．先化简,再求值：．其中x=1．

17．解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．

18．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2

（1)求实数m的取值范围;

（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．

19．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°,A为的

中点,延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．

(1）求线段BD的长；

（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

20.随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已

经成为一种时尚．“健身

达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好

友进行调查,把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：

A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等

于5000，下同），B（5001~10000步），C（10001~15000步）,

D（15000步以上），统计结果如图所示：

请依据统计结果回答下列问题：

（1)本次调查中，一共调查了位好友．

（2)已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．

①请补全条形图;

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度．

③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天

行走的步数超过10000步?

21．某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害,1。5万人被迫转移，邻近县市C、

D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已

知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B

两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B

两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．

（1）请填写下表

（2）设C、D两市的总运费为w元，

求w与x之间的函数关系式,

并写出自变量x的取值范围；

（3）经过抢修，从D市到B市的

路况得到了改善,缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0)，其余路线运费不变．若

C、D两市的总运费的最小值不小于10320元,求m的取值范围．

A(吨）B（吨）合计（吨)

C240

Dx260

总计（吨）200300500

2018年湖北省黄石市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的）

1．(3分）下列各数是无理数的是（）

A．1B．﹣0.6C．﹣6D．π

【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可．

【解答】解：A、1是整数，为有理数；

B、﹣0。6是有限小数,即分数，属于有理数；

C、﹣6是整数，属于有理数；

D、π是无理数；

故选:D．

【点评】本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．

2．（3分）太阳半径约696000千米,则696000千米用科学记数法可表示为（)

A．0.696×106B．6。96×108C．0.696×107D．6。96×105

【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示,本题得以解决．

【解答】解:696000千米=696000000米=6.96×108米,

故选:B．

【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方

法．

3．(3分)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形，故此选项错误;

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形,故此选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合．

4．(3分）下列计算中,结果是a7的是（)

A．a3﹣a4B．a3•a4C．a3+a4D．a3÷a4

【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．

【解答】解：A、a3与a4不能合并；

B、a3•a4=a7，

C、a3与a4不能合并；

D、a3÷a4=；

故选：B．

【点评】本题考查的是同底数幂的乘、除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关

键．

5．(3分）如图，该几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

【分析】找到从几何体的上面所看到的图形即可．

【解答】解：从几何体的上面看可得,

故选:A．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握所看的位置．

6．（3分）如图，将“笑脸"图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位，点P的对应点P’

的坐标是（）

A．（﹣1，6)B．（﹣9,6)C．（﹣1，2）D．(﹣9，2）

【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标,上移加，下移减即可解决问题;

【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位,点P的对应点

P’的坐标是（﹣1,2),

故选：C．

【点评】本题考查坐标与平移,解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐

标,上移加，属于中考常考题型．

7．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠

BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=（）

A．75°B．80°C．85°D．90°

【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°,AE

平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°,再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,可得∠

EAD+∠ACD=75°．

【解答】解:∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°,

∴∠BAD=30°，

∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC,

∴∠BAE=25°,

∴∠DAE=30°﹣25°=5°，

∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形

外角性质以及角平分线的定义的运用．

8．(3分）如图，AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,且∠ABD=30°,BO=4，则的长为（）

A．B．C．2πD．

【分析】先计算圆心角为120°，根据弧长公式=,可得结果．

【解答】解:连接OD，

∵∠ABD=30°，

∴∠AOD=2∠ABD=60°，

∴∠BOD=120°，

∴的长==,

故选：D．

【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．

9．（3分）已知一次函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B

两点,当y1＞y2时，x的取值范围是(）

A．x＜﹣1或x＞4B．﹣1＜x＜0或x＞4

C．﹣1＜x＜0或0＜x＜4D．x＜﹣1或0＜x＜4

【分析】先求出两个函数的交点坐标,再根据函数的图象和性质得出即可．

【解答】解:解方程组得：，，

即A(4，1），B（﹣1，﹣4），

所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，能熟记函数的性质和图象是解此题

的关键．

10．（3分)如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm,

点C和点M重合,点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直

线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止，设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN

重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是(）

A．B．C．D．

【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问

题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可

分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3)4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求

法，作出判断即可．

【解答】解：∵∠P=90°,PM=PN,

∴∠PMN=∠PNM=45°，

由题意得：CM=x,

分三种情况:

①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，

∵∠PMN=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，

∴y=S△EMC=CM•CE=；

故选项B和D不正确；

②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F,交AD于G，

∵∠N=45°，CD=2，

∴CN=CD=2，

∴CM=6﹣2=4，

即此时x=4，

当2＜x≤4时,如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，

过E作EF⊥MN于F，

∴EF=MF=2，

∴ED=CF=x﹣2，

∴y=S梯形EMCD=CD•（DE+CM）==2x﹣2;

③当4＜x≤6时,如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，

∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2,

∵MN=6，CM=x，

∴CG=CN=6﹣x，

∴DF=DG=2﹣（6﹣x)=x﹣4，

∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=﹣=×2×（x﹣2+x）﹣=﹣+10x

﹣18，

故选项A正确;

故选:A．

【点评】此题是动点问题的函数图象,有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性

质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形结合和分类讨论思想的应用．

二、填空题（本大题给共6小题，每小题3分,共18分)

11．(3分）分解因式:x3y﹣xy3=xy（x+y）（x﹣y）．

【分析】首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．

【解答】解:x3y﹣xy3，

=xy（x2﹣y2），

=xy(x+y）（x﹣y）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提

取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．(3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的周长为4π

【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出

△ABC的内切圆的半径,然后利用圆的面积公式求解．

【解答】解:∵∠C=90°,CA=8，CB=6，

∴AB==10，

∴△ABC的内切圆的半径==2,

∴△ABC内切圆的周长=π•22=4π．

故答案为4π．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角

形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．

13．（3分）分式方程=1的解为x=0.5

【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．

【解答】解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，

8x+2﹣5x﹣5=2x2﹣2，

解得x1=1，x2=0。5,

检验：当x=0.5时,x﹣1=0.5﹣1=﹣0。5≠0,

当x=1时，x﹣1=0，

所以x=0。5是方程的解，

故原分式方程的解是x=0.5．

故答案为:x=0.5

【点评】本题考查了解分式方程，（1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转

化为整式方程求解．（2)解分式方程一定注意要验根．

14．（3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°,如果无

人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上,则A、B两点间的距离是100

（1+）米．（结果保留根号)

【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°,∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计

算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD

即可．

【解答】解：如图，

∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，

∴∠A=60°，∠B=45°，

在Rt△ACD中，∵tanA=，

∴AD==100,

在Rt△BCD中，BD=CD=100，

∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．

答：A、B两点间的距离为100(1+）米．

故答案为100（1+）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题:解决此类问题要了解角之间的关

系,找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂

线构造直角三角形．

15．(3分)在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3,4，5的4个小球,这4个小球的材质、

大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为

【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率

公式即可得．

【解答】解：根据题意列表得：

2345

2﹣﹣﹣（3，2）(4，2)(5，2）

3(2，3）﹣﹣﹣（4,3）（5，3）

4（2,4）（3,4）﹣﹣﹣（5，4)

5（2,5）（3,5)（4，5）﹣﹣﹣

由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上

的数字之积大于9的有8种，

所以两个小球上的数字之积大于9的概率为=,

故答案为:．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放

回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3分）小光和小王玩“石头、剪子、布"游戏，规定:一局比赛后,胜者得3分，负者得

﹣1分，平局两人都得0分,小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方

的策略．

小光的策略是:石头、剪子、布、石头、剪子、布、……

小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指2石头、剪子、布中任意一个）

例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表

局数123456789

小光实际策略石头剪子布石头剪子布石头剪子布

小王实际策略剪子布剪子石头剪子剪子剪子石头剪子

小光得分33﹣100﹣13﹣1﹣1

小王得分﹣1﹣13003﹣133

已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为90分．

【分析】观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光

拿﹣1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，

设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局,根据50局比赛后小

光总得分为﹣6分，即可得出关于x、y的二元一次方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可

得出x=0、y=25,再由胜一局得3分、负一局得﹣1分、平不得分，可求出小王的总得分．

【解答】解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小

光拿﹣1分,第五局小光拿0分．

∵50÷6=8（组)……2（局），

∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）．

设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局,则平了(25﹣x﹣y)局，

根据题意得：19+3x﹣y=﹣6，

∴y=3x+25．

∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负，

∴x=0，y=25，

∴小王的总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分)．

故答案为:90．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系,正确

列出二元一次方程是解题的关键．

三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）

17．(7分）计算：（)﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+｜﹣2|

【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性

质进而化简得出答案．

【解答】解：原式=+1++2﹣

=+1++2﹣

=4﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（7分）先化简,再求值：．其中x=sin60°．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．

【解答】解：原式=•

=，

当x=sin60°=时，

原式==．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算

法则．

19．（7分）解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数

解即可．

【解答】解：解不等式(x+1）≤2,得：x≤3，

解不等式≥，得：x≥0，

则不等式组的解集为0≤x≤3，

所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=6．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算

法则是解本题的关键．

20．（8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2

（1）求实数m的取值范围;

(2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．

【分析】(1)根据根的判别式得出不等式,求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与

系数的关系求出m即可．

【解答】解：（1)由题意得：△=(﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0,

解得：m＜1，

即实数m的取值范围是m＜1;

（2)由根与系数的关系得:x1+x2=2，

即,

解得：x1=2，x2=0，

由根与系数的关系得：m=2×0=0．

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解,能熟记根与系数的

关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．

21．(8分)如图,已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°,A

为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．

（1)求线段BD的长;

（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

【分析】（1)连接DB,如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得

到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；

（2)连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°,而A为的中点，则∠ABE=45°，再

根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，

然后根据切线的判定定理得到结论．

【解答】（1）解：连接DB，如图，

∵∠BCD+∠DEB=90°，

∴∠DEB=180°﹣120°=60°，

∵BE为直径，

∴∠BDE=90°,

在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，

BD=DE=×=3；

（2）证明：连接EA，如图,

∵BE为直径，

∴∠BAE=90°,

∵A为的中点，

∴∠ABE=45°，

∵BA=AP，

而EA⊥BA，

∴△BEP为等腰直角三角形，

∴∠PEB=90°,

∴PE⊥BE，

∴直线PE是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

22．（8分)随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时

尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他

们6月1日那天行走的情况分为四个类别:A（0～5000步）（说明:“0～5000”表示大于等

于0,小于等于5000,下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），

统计结果如图所示：

请依据统计结果回答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了30位好友．

（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．

①请补全条形图；

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为120度．

③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天

行走的步数超过10000步？

【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；

(2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形;

②用360°乘以A类别人数所占比例可得；

③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．

【解答】解：(1）本次调查的好友人数为6÷20％=30人，

故答案为:30;

（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a,

根据题意，得：a+6+12+5a=30,

解得：a=2,

即A类人数为10、D类人数为2，

补全图形如下：

②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×=120°，

故答案为：120;

③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150×=70人．

【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

23．(8分)某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移,邻近

县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后,决定调运物资支援灾

区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B

两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元,从D市运往往A、B两市

的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．

（1）请填写下表

A（吨）B(吨)合计（吨）

Cx﹣60300﹣x240

D260﹣xx260

总计（吨）200300500

(2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范

围；

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m

＞0）,其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元,求m的取值范围．

【分析】（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整；

（2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．

【解答】解:（1）∵D市运往B市x吨，

∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）

=（x﹣60）吨，

故答案为:x﹣60、300﹣x、260﹣x；

（2）由题意可得，

w=20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x=10x+10200，

∴w=10x+10200(60≤x≤260）;

(3）由题意可得，

w=10x+10200﹣mx=(10﹣m)x+10200，

当0＜m＜10时，

x=60时，w取得最小值,此时w=(10﹣m）×60+10200≥10320，

解得,0＜m≤8，

当m＞10时，

x=260时，w取得最小值，此时,w=（10﹣m）×260+10200≥10320,

解得，m≤，

∵＜10，

∴m＞10这种情况不符合题意，

由上可得,m的取值范围是0＜m≤8．

【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，

利用函数和不等式的性质解答．

24．（9分）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点(不与A、B、C重合）．

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

（2）如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由;

（3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．

【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得=,根据=(）2即可得证；

（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得=，

根据=即可得证；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△

ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，

从而得==+a，结合==a可关于a的方程，解之

求得a的值即可得出答案．

【解答】解：（1)∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC,

∴=,

∴=（)2=•=；

(2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，

分别过点F、C作AB的垂线,垂足分别为N、H，

∵FN⊥AB、CH⊥AB，

∴FN∥CH，

∴△AFN∽△ACH，

∴=，

∴==；

（3)连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N,连接MN，

则MN分别是BC、AC的中点，

∴MN∥AB，且MN=AB，

∴==，且S△ABM=S△ACM，

∴=，

设=a，

由(2）知：==×=，==a,

则==+=+a，

而==a，

∴+a=a,

解得：a=，

∴=×=．

【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质

和三角形重心的定义及其性质等知识点．

25．（10分）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3,1)，D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B(0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标;

（3)如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．

①求证：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面积的最小值．

【分析】（1）将点（3,1）代入解析式求得a的值即可；

（2）设点C的坐标为(x0，y0），其中y0=(x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=,

即==据此求得x0的值即可得;

（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为(x2，y2），联立直线和抛物线解析式,化为关于x

的方程可得，据此知（x1﹣1)（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=

（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1｜=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从

而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4,根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求

解可得．

【解答】解：（1）将点(3，1）代入解析式，得：4a=1，

解得：a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；

（2）由（1)知点D坐标为（1，0），

设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0）,

则y0=(x0﹣1)2，

如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠BDO=∠DCF,

∴△BDO∽△DCF，

∴=，

∴==,

解得:x0=17，此时y0=64，

∴点C的坐标为（17，64)．

（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2,y1＞0，y2＞0），

由,得：x2﹣(4k+2)x+4k﹣15=0，

∴,

∴（x1﹣1)（x2﹣1）=﹣16,

如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N,

则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2,

DM=｜x1﹣1|=1﹣x1、DN=｜x2﹣1｜=x2﹣1，

∴PM•QN=DM•DN=16，

∴=,

又∠PMD=∠DNQ=90°，

∴△PMD∽△DNQ，

∴∠MPD=∠NDQ，

而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），

所以DG=4，

∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，

∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析

式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．