1/29
2022-2023
安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分）
1
．抛物线
y=
（
x
﹣
1
）2+
2
的顶点坐标是（）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（﹣
1
，﹣
2
）
C
．（
1
，﹣
2
）
D
．（
1
，
2
）
2
．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．如图，在△
ABC
中，
DE
∥
BC
，
AD=6
，
DB=3
，
AE=4
，则
AC
的长为（）
A
．
2B
．
4C
．
6D
．
8
4
．如图，在平面直角坐标系中，直线
OP
过点（
1
，
3
），则
tanα
的值是
（）
A
．
B
．
3C
．
D
．
5
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
在
AB
的延长线上，
CD
与⊙
O
相切于点
D
，
若∠
C=40°
，则∠
CDA
的度数是（）
A
．
110°B
．
115°C
．
120°D
．
125°
6
．如图，
A
、
B
是曲线
y=
上的点，经过
A
、
B
两点向
x
轴、
y
轴作垂线段，若
S阴影=1
，则
S
1+
S
2
=
（）
2/29
A
．
3B
．
4C
．
5D
．
6
7
．如图，反比例函数
y
1
=
与一次函数
y
2
=ax
+
b
交于点（
4
，
2
）、（﹣
2
，﹣
4
）
两点，则使得
y
1＜
y
2的
x
的取值范围是（）
A
．﹣
2
＜
x
＜
4B
．
x
＜﹣
2
或
x
＞
4
C
．﹣
2
＜
x
＜
0
或
0
＜
x
＜
4D
．﹣
2
＜
x
＜
0
或
x
＞
4
8
．根据表中的二次函数
y=ax2+
bx
+
c
的自变量
x
与函数
y
的对应值，可判断该二
次函数的图象与
x
轴（）
x…﹣
1
012…
y…4
﹣
0.5
﹣
2
﹣
0.5
…
A
．只有一个交点
B
．有两个交点，且它们分别在
y
轴两侧
C
．有两个交点，且它们均在
y
轴同侧
D
．无交点
9
．已知二次函数
y=x2+（
m
﹣
1
）
x
+
1
，当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，而
m
的取值范围是（）
A
．
m=
﹣
1B
．
m=3C
．
m
≤﹣
1D
．
m
≥﹣
1
10
．如图，已知矩形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，过
O
点作
OE
⊥
AC
，
交
AB
于
E
，若
BC=4
，△
AOE
的面积是
5
，则下列说法错误的是（）
3/29
A
．
AE=5B
．∠
BOE=
∠
BCEC
．
CE
⊥
OBD
．
sin
∠
BOE=
二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
11
．若
=
，则
=
．
12
．已知线段
AB=a
，
C
、
C′
是线段
AB
的两个黄金分割点，则
CC′=
．
13
．如图，网格中的每一个正方形的边长都是
1
，△
ABC
的每一个顶点都在网
格的交点处，则
sinA=
．
14
．如图，直线
y=
﹣
x
+
b
（
b
＞
0
）与双曲线
y=
（
x
＞
0
）交于
A
、
B
两点，连接
OA
、
OB
，
AM
⊥
y
轴于
M
，
BN
⊥
x
轴于
N
，现有以下结论：
①
OA=OB
；②△
AOM
≌△
BON
；③若∠
AOB=45°
，则
S
△
AOB=k
；④当
AB=
时，
AM=BN=1
．其中结论正确的是．
三、解答题（共
9
小题，共
90
分）
15
．求值：
cos245°
﹣
sin30°tan60°
+
sin60°
．
16
．已知二次函数的顶点坐标为
A
（
1
，
9
），且其图象经过点（﹣
1
，
5
）
4/29
（
1
）求此二次函数的解析式；
（
2
）若该函数图象与
x
轴的交点为
B
、
C
，求△
ABC
的面积．
17
．如图，在平面直角坐标系中，△
ABC
的三个顶点坐标分别为
A
（﹣
2
，
1
）、
B
（﹣
3
，
2
）、
C
（﹣
1
，
4
）．
（
1
）以原点
O
为位似中心，在第二象限内画出将△
ABC
放大为原来的
2
倍后
的△
A
1
B
1
C
1．
（
2
）画出△
ABC
绕
C
点逆时针旋转
90°
后得到的△
A
2
B
2
C
．
18
．如图，△
ABC
中，
D
为
BC
上一点，∠
BAD=
∠
C
，
AB=6
，
BD=4
，求
CD
的
长．
19
．已知：如图，在⊙
O
中，直径
CD
交弦
AB
于点
E
，且
CD
平分弦
AB
，连接
OA
，
BD
．
（
1
）若
AE=
，
DE=1
，求
OA
的长．
（
2
）若
OA
∥
BD
，则
tan
∠
OAE
的值为多少？
5/29
20
．如图，根据道路管理规定，直线
l
的路段上行驶的车辆，限速
60
千米
/
时，已知测速站点
M
距离直线
l
的距离
MN
为
30
米（如图所示），现有一辆
汽车匀速行驶，测得此车从
A
点行驶到
B
点所用时间为
6
秒，∠
AMN=60°
，∠
BMN=45°
．
（
1
）计算
AB
的长；
（
2
）通过计算判断此车是否超速．（≈
1.4
，≈
1.7
）
21
．如图，直线
y=mx
+
n
与双曲线
y=
相交于
A
（﹣
1
，
2
）、
B
（
2
，
b
）两点，
与
y
轴相交于点
C
．
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）若点
D
与点
C
关于
x
轴对称，求△
ABD
的面积；
（
3
）在坐标轴上是否存在异于
D
点的点
P
，使得
S
△
PAB=S△
DAB
？若存在，直接写
出
P
点坐标；若不存在，说明理由．
22
．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠
MON
（∠
MON=135°
）的
两边为边，用总长为
120m
的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区
域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形
OBDG
为直角梯
形．
（
1
）若①②③这块区域的面积相等，则
OB
的长度为
m
；
（
2
）设
OB=x
，四边形
OBDG
的面积为
ym2，
①求
y
与
x
之的函数关系式，并注明自变量
x
的取值范围；
②设①②③这三块区域的面积分别为
S
1、
S
2、
S
3，若
S
1：
S
2：
S
3
=3
：
2
：
1
，求
GE
：
ED
：
DC
的值．
6/29
23
．某班
“
手拉手
”
数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻
边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（
1
）如图
1
，正方形
ABCD
中，
EF
⊥
GH
，
EF
分别交
AB
，
CD
于点
E
，
F
，
GH
分
别交
AD
，
BC
于点
G
，
H
，则
EFGH
；（填
“
＞
”“=”
或
“
＜
”
）
（
2
）如图
2
，矩形
ABCD
中，
EF
⊥
GH
，
EF
分别交
AB
，
CD
于点
E
，
F
，
GH
分别
交
AD
，
BC
于点
G
，
H
，求证：
=
；
（
3
）如图
3
，四边形
ABCD
中，∠
ABC=
∠
ADC=90°
，
BC=3
，
CD=5
，
AD=7.5
，
AM
⊥
DN
，点
M
，
N
分别在边
BC
，
AB
上，求的值．
7/29
2022-2023
安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分）
1
．抛物线
y=
（
x
﹣
1
）2+
2
的顶点坐标是（）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（﹣
1
，﹣
2
）
C
．（
1
，﹣
2
）
D
．（
1
，
2
）
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式
y=a
（
x
﹣
h
）2+
k
，顶点坐标是（
h
，
k
），
∴抛物线
y=
（
x
﹣
1
）2+
2
的顶点坐标是（
1
，
2
）．
故选
D
．
2
．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：
A
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故
A
正确；
B
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故
B
错误；
C
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故
C
错误；
D
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故
D
错误．
故选：
A
．
3
．如图，在△
ABC
中，
DE
∥
BC
，
AD=6
，
DB=3
，
AE=4
，则
AC
的长为（）
8/29
A
．
2B
．
4C
．
6D
．
8
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例求出
EC
，即可解答．
【解答】解：∵
DE
∥
BC
，
∴，即，
解得：
EC=2
，
∴
AC=AE
+
EC=4
+
2=6
；
故选：
C
．
4
．如图，在平面直角坐标系中，直线
OP
过点（
1
，
3
），则
tanα
的值是
（）
A
．
B
．
3C
．
D
．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：作
PC
⊥
y
轴于点
C
，
，
tanα==
，
故选
A
．
9/29
5
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
在
AB
的延长线上，
CD
与⊙
O
相切于点
D
，
若∠
C=40°
，则∠
CDA
的度数是（）
A
．
110°B
．
115°C
．
120°D
．
125°
【考点】切线的性质．
【分析】连接
OD
，如图，根据切线的性质得∠
ODC=90°
，利用互余得∠
COD=50°
，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得∠
ODA=
∠
COD=25°
，然后计算∠
ODC
+∠
ODA
即可．
【解答】解：连接
OD
，如图，
∵
CD
与⊙
O
相切于点
D
，
∴
OD
⊥
CD
，
∴∠
ODC=90°
，
∴∠
COD=90°
﹣∠
C=90°
﹣
40°=50°
，
∵
OA=OD
，
∴∠
A=
∠
ODA
，
而∠
COD=
∠
A
+∠
ODA
，
∴∠
ODA=
∠
COD=25°
，
∴∠
CDA=
∠
ODC
+∠
ODA=90°
+
25°=115°
．
故选
B
．
6
．如图，
A
、
B
是曲线
y=
上的点，经过
A
、
B
两点向
x
轴、
y
轴作垂线段，若
S阴影=1
，则
S
1+
S
2
=
（）
10/29
A
．
3B
．
4C
．
5D
．
6
【考点】反比例函数系数
k
的几何意义．
【分析】首先根据反比例函数中
k
的几何意义，可知
S
矩形
ACOD
=S
矩形
BEOF
=
|
k
|
=3
，又
S阴影=1
，则
S
1
=S矩形
ACOD
﹣
S
阴影=2
，
S
2
=S矩形
BEOF
﹣
S
阴影=2
，从而求出
S
1+
S
2的值．
【解答】解：∵
A
、
B
是曲线
y=
上的点，经过
A
、
B
两点向
x
轴、
y
轴作垂线
段，
∴
S
矩形
ACOD
=S
矩形
BEOF
=3
，
又∵
S
阴影=1
，
∴
S
1
=S
2
=3
﹣
1=2
，
∴
S
1+
S
2
=4
．
故选
B
．
7
．如图，反比例函数
y
1
=
与一次函数
y
2
=ax
+
b
交于点（
4
，
2
）、（﹣
2
，﹣
4
）
两点，则使得
y
1＜
y
2的
x
的取值范围是（）
A
．﹣
2
＜
x
＜
4B
．
x
＜﹣
2
或
x
＞
4
C
．﹣
2
＜
x
＜
0
或
0
＜
x
＜
4D
．﹣
2
＜
x
＜
0
或
x
＞
4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
11/29
【分析】求
x
的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应
的自变量
x
的取值范围．
【解答】解：根据函数的图象可得：
x
的取值范围是﹣
2
＜
x
＜
0
或
0x
＞
4
．
故选
D
．
8
．根据表中的二次函数
y=ax2+
bx
+
c
的自变量
x
与函数
y
的对应值，可判断该二
次函数的图象与
x
轴（）
x…﹣
1
012…
y…4﹣
0.5
﹣
2
﹣
0.5
…
A
．只有一个交点
B
．有两个交点，且它们分别在
y
轴两侧
C
．有两个交点，且它们均在
y
轴同侧
D
．无交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可．
【解答】解：
由题意可知抛物线过（
0
，
0.5
），（
1
，﹣
2
），（﹣
1
，
4
），
代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为
y=0.5x2﹣
3x
+
0.5
，
令
y=0
可得
0.5x2﹣
3x
+
0.5=0
，解得
x=3
+或
x=3
﹣，都大于
0
，
∴抛物线与
x
轴有两个交点，且它们都在
y
轴的右侧，
故选
C
．
9
．已知二次函数
y=x2+（
m
﹣
1
）
x
+
1
，当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，而
m
的取值范围是（）
A
．
m=
﹣
1B
．
m=3C
．
m
≤﹣
1D
．
m
≥﹣
1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于
1
列式计算即可
12/29
得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线
x=
﹣，
∵当
x
＞
1
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，
∴﹣≤
1
，
解得
m
≥﹣
1
．
故选
D
．
10
．如图，已知矩形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，过
O
点作
OE
⊥
AC
，
交
AB
于
E
，若
BC=4
，△
AOE
的面积是
5
，则下列说法错误的是（）
A
．
AE=5B
．∠
BOE=
∠
BCEC
．
CE
⊥
OBD
．
sin
∠
BOE=
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】
A
、作辅助线，构建矩形
AGOF
，利用面积为
5
，代入面积公式可求得
AE
的长为
5
，此说法正确；
B
、证明∠
ABC
+∠
EOC=180°
，根据对角互补的四边形四点共圆得：
E
、
B
、
C
、
O
四点共圆，则∠
BCE=
∠
BOE
，此说法正确；
C
、因为
E
、
B
、
C
、
O
四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想
OB
⊥
CE
，得保
证过圆心的直线平分弧，即判断弦长
BE
和
OE
的大小即可；
D
、利用同角的三角函数计算．
【解答】解：
A
、过
O
作
OF
⊥
AD
于
F
，作
OG
⊥
AB
于
G
，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AC=BD
，
OA=AC
，
OD=BD
，
∴
OA=OD
，
13/29
∴
AF=FD=AD=BC=2
，
∵∠
AGO=
∠
BAD=
∠
AFO=90°
，
∴四边形
AGOF
是矩形，
∴
OG=AF=2
，
∵
S
△
AEO
=AE•OG=5
，
∴
AE===5
，
所以此选项的说法正确；
B
、∵
OE
⊥
AC
，
∴∠
EOC=90°
∵∠
ABC=90°
，
∴∠
ABC
+∠
EOC=180°
，
∴
E
、
B
、
C
、
O
四点共圆，
∴∠
BCE=
∠
BOE
，
所以此选项的说法正确；
C
、在
Rt
△
BEC
中，由勾股定理得：
BE==3
，
∴
AB=3
+
5=8
，
∴
AC===4
，
∴
AO=AC=2
，
∴
EO===
，
∴
OE
≠
BE
，
∵
E
、
B
、
C
、
O
四点共圆，
∵∠
EOC=90°
，
∴
EC
是直径，
∴
EC
与
OB
不垂直；
此选项的说法不正确；
D
、
sin
∠
BOE=sin
∠
BCE==
，
所以此选项的说法正确，
14/29
因为本题选择说法错误的，
故选
C
．
二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
11
．若
=
，则
=
．
【考点】比例的性质．
【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：
=
，则
==
，
故答案为：．
12
．已知线段
AB=a
，
C
、
C′
是线段
AB
的两个黄金分割点，则
CC′=
（﹣
2
）
a
．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段
=
原线段的倍，可得
BC
的长，同理求得
AC′
的长，则
CC′
即可求得．
【解答】解：∵线段
AB=a
，
C
、
C′
是线段
AB
的两个黄金分割点，
∴较小线段
AC′=BC=a
，
则
CC′=AB
﹣
AC′
﹣
BC=a
﹣
2
×
a=
（﹣
2
）
a
．
故答案是：（﹣
2
）
a
．
13
．如图，网格中的每一个正方形的边长都是
1
，△
ABC
的每一个顶点都在网
15/29
格的交点处，则
sinA=
．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】过
B
作
BD
垂直于
AC
，利用面积法求出
BD
的长，在直角三角形
ABD
中，利用锐角三角函数定义求出
sinA
的值即可．
【解答】解：过点
B
作
BD
⊥
AC
，
∵
AB==
，
BC=3
，
AC==2
，
∴
S
△
ABC=
×
3
×
2=
×
2
×
BD
，
解得：
BD=
，
在
Rt
△
ABD
中，
sinA===
，
故答案为：
14
．如图，直线
y=
﹣
x
+
b
（
b
＞
0
）与双曲线
y=
（
x
＞
0
）交于
A
、
B
两点，连接
OA
、
OB
，
AM
⊥
y
轴于
M
，
BN
⊥
x
轴于
N
，现有以下结论：
①
OA=OB
；②△
AOM
≌△
BON
；③若∠
AOB=45°
，则
S
△
AOB=k
；④当
AB=
时，
AM=BN=1
．其中结论正确的是①②③．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质．
16/29
【分析】②设点
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
2，
y
2），根据反比例函数图象上点的坐标即
可得出
x
1
•y
1
=x
2
•y
2
=k
，将
y=
﹣
x
+
b
代入
y=
中，整理后根据根与系数的关系即
可得出
x
1
•x
2
=k
，从而得出
x
2
=y
1、
x
1
=y
2，即
ON=OM
、
AM=BN
，利用全等三角形
的判定定理
SAS
即可证出△
AOM
≌△
BON
，②正确；根据全等三角形的性质即
可得出
OA=OB
，①正确；③作
OH
⊥
AB
于点
H
，根据等腰三角形的性质和全等
三角形的性质即可得出∠
AOH=
∠
BOH=22.5°
、∠
AOM=
∠
BON=22.5°
，由相等的
边角关系利用全等三角形的判定定理
AAS
即可证出△
AOM
≌△
AOH
，同理即可
得出△
AOM
≌△
AOH
≌△
BON
≌△
BOH
，再利用反比例系数
k
的几何意义即可得
出
S
△
AOB=k
，③正确；④延长
MA
、
NB
交于
G
点，由
NG=OM=ON=MG
、
BN=AM
可得出
GB=GA
，进而得出△
ABG
为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性
质以及
AB=
即可得出
GA
、
GB
的长度，由
OM
、
ON
的值不确定故无法得出
AM
、
BN
的值，④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：②设点
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
2，
y
2），
∵点
A
、
B
在双曲线
y=
上，
∴
x
1
•y
1
=x
2
•y
2
=k
．
将
y=
﹣
x
+
b
代入
y=
中，整理得：
x2﹣
bx
+
k=0
，
∴
x
1
•x
2
=k
，
又∵
x
1
•y
1
=k
，
∴
x
2
=y
1，
x
1
=y
2，
∴
ON=OM
，
AM=BN
．
在△
OMA
和△
ONB
中，，
∴△
AOM
≌△
BON
（
SAS
），②正确；
①∵△
AOM
≌△
BON
，
∴
OA=OB
，
∴①
OA=OB
，②△
AOM
≌△
BON
，正确；
③作
OH
⊥
AB
于点
H
，如图
1
所示．
∵
OA=OB
，∠
AOB=45°
，△
AOM
≌△
BON
，
17/29
∴∠
AOH=
∠
BOH=22.5°
，∠
AOM=
∠
BON=22.5°
．
在△
AOM
和△
AOH
中，，
∴△
AOM
≌△
AOH
（
AAS
），
同理：△
BON
≌△
BOH
，
∴△
AOM
≌△
AOH
≌△
BON
≌△
BOH
，
∴
S
△
AOB
=S
△
AOH
+
S
△
BOH
=S
△
AOM
+
S
△
BON
=k
+
k=k
，③正确；
④延长
MA
、
NB
交于
G
点，如图
2
所示．
∵
NG=OM=ON=MG
，
BN=AM
，
∴
GB=GA
，
∴△
ABG
为等腰直角三角形，
当
AB=
时，
GA=GB=AB=1
，
∵
OM
、
ON
不确定，
∴无法得出
AM=AN=1
，④错误．
综上所述：结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（共
9
小题，共
90
分）
15
．求值：
cos245°
﹣
sin30°tan60°
+
sin60°
．
18/29
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简
3
个考点．在计
算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结
果．
【解答】解：
cos245°
﹣
sin30°tan60°
+
sin60°
=
×﹣×+×
=
﹣+
=
．
16
．已知二次函数的顶点坐标为
A
（
1
，
9
），且其图象经过点（﹣
1
，
5
）
（
1
）求此二次函数的解析式；
（
2
）若该函数图象与
x
轴的交点为
B
、
C
，求△
ABC
的面积．
【考点】抛物线与
x
轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（
1
）先利用待定系数法求出抛物线解析式；
（
2
）通过解方程﹣（
x
﹣
1
）2+
9=0
得到
B
、
C
两点的坐标，然后根据三角形面
积公式求解．
【解答】解：（
1
）设抛物线解析式为
y=a
（
x
﹣
1
）2+
9
，
把（﹣
1
，
5
）代入得
a
（﹣
1
﹣
1
）2+
9=5
，解得
a=
﹣
1
，
所以抛物线解析式为
y=
﹣（
x
﹣
1
）2+
9
；
（
2
）当
y=0
时，﹣（
x
﹣
1
）2+
9=0
，解得
x
1
=4
，
x
2
=
﹣
2
，
所以
B
、
C
两点的坐标为（﹣
2
，
0
），（
4
，
0
），
所以△
ABC
的面积
=
×
9
×（
4
+
2
）
=27
．
17
．如图，在平面直角坐标系中，△
ABC
的三个顶点坐标分别为
A
（﹣
2
，
1
）、
B
（﹣
3
，
2
）、
C
（﹣
1
，
4
）．
（
1
）以原点
O
为位似中心，在第二象限内画出将△
ABC
放大为原来的
2
倍后
的△
A
1
B
1
C
1．
（
2
）画出△
ABC
绕
C
点逆时针旋转
90°
后得到的△
A
2
B
2
C
．
19/29
【考点】作图
-
位似变换；作图
-
旋转变换．
【分析】（
1
）把点
A
、
B
、
C
的横纵坐标都乘以
2
得到
A
1、
B
1、
C
1的坐标，然
后描点即可；
（
2
）利用网格特点和旋转的性质画出点
A
、
B
的对应点
A
2、
B
2即可得到△
A
2
B
2
C
．
【解答】解：（
1
）如图，△
A
1
B
1
C
1为所作；
（
2
）如图，△
A
2
B
2
C
为所作；
18
．如图，△
ABC
中，
D
为
BC
上一点，∠
BAD=
∠
C
，
AB=6
，
BD=4
，求
CD
的
长．
20/29
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△
BAD
∽△
BCA
，然后运用相似三角形的性质可求出
BC
，从而可
得到
CD
的值．
【解答】解：∵∠
BAD=
∠
C
，∠
B=
∠
B
，
∴△
BAD
∽△
BCA
，
∴
=
．
∵
AB=6
，
BD=4
，
∴
=
，
∴
BC=9
，
∴
CD=BC
﹣
BD=9
﹣
4=5
．
19
．已知：如图，在⊙
O
中，直径
CD
交弦
AB
于点
E
，且
CD
平分弦
AB
，连接
OA
，
BD
．
（
1
）若
AE=
，
DE=1
，求
OA
的长．
（
2
）若
OA
∥
BD
，则
tan
∠
OAE
的值为多少？
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（
1
）根据垂径定理可得
OD
⊥
AB
，然后设
AO=x
，则
DO=x
，
EO=x
﹣
1
，
利用勾股定理可得∴（）2+（
x
﹣
1
）2=x2，再解即可；
（
2
）首先证明△
AEO
≌△
BEO
，进而可得
EO=ED
，然后可得∠
OAB=30°
，再利用
特殊角的三角函数可得答案．
【解答】解：（
1
）∵直径
CD
交弦
AB
于点
E
，且
CD
平分弦
AB
，
∴
OD
⊥
AB
，
设
AO=x
，则
DO=x
，
∵
DE=1
，
21/29
∴
EO=x
﹣
1
，
在
Rt
△
AOE
中：
AE2+
EO2=AO2，
∴（）2+（
x
﹣
1
）2=x2，
解得：
x=3
，
∴
AO=3
；
（
2
）∵
OA
∥
BD
，
∴∠
OAB=
∠
EBD
，
∵直径
CD
交弦
AB
于点
E
，且
CD
平分弦
AB
，
∴
AE=BE
，
EO
⊥
AB
，
在△
AOE
和△
BDE
中，
∴△
AEO
≌△
BEO
（
ASA
）．
∴
EO=ED
，
∵
AO=DO
，
∴
OE=AO
，
∴∠
OAE=30°
，
∴
tan
∠
OAE=
．
20
．如图，根据道路管理规定，直线
l
的路段上行驶的车辆，限速
60
千米
/
时，已知测速站点
M
距离直线
l
的距离
MN
为
30
米（如图所示），现有一辆
汽车匀速行驶，测得此车从
A
点行驶到
B
点所用时间为
6
秒，∠
AMN=60°
，∠
BMN=45°
．
（
1
）计算
AB
的长；
22/29
（
2
）通过计算判断此车是否超速．（≈
1.4
，≈
1.7
）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（
1
）已知
MN=30m
，∠
AMN=60°
，∠
BMN=45°
求
AB
的长度，可以转
化为解直角三角形；
（
2
）求得从
A
到
B
的速度，然后与
60
千米
/
时≈
16.66
米
/
秒，比较即可确定答
案．
【解答】解：（
1
）在
Rt
△
AMN
中，
MN=30
，∠
AMN=60°
，
∴
AN=MN•tan
∠
AMN=30
．
在
Rt
△
BMN
中，
∵∠
BMN=45°
，
∴
BN=MN=30
．
∴
AB=AN
+
BN=
（
30
+
30
）米；
（
2
）∵此车从
A
点行驶到
B
点所用时间为
6
秒，
∴此车的速度为：（
30
+
30
）÷
6=5
+
5
≈
13.66
，
∵
60
千米
/
时≈
16.66
米
/
秒，
∴
13.66
＜
16.66
∴不会超速．
21
．如图，直线
y=mx
+
n
与双曲线
y=
相交于
A
（﹣
1
，
2
）、
B
（
2
，
b
）两点，
与
y
轴相交于点
C
．
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）若点
D
与点
C
关于
x
轴对称，求△
ABD
的面积；
（
3
）在坐标轴上是否存在异于
D
点的点
P
，使得
S
△
PAB=S△
DAB
？若存在，直接写
出
P
点坐标；若不存在，说明理由．
23/29
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（
1
）利用待定系数法求出
m
，
n
的值；
（
2
）根据关于
x
轴对称的点的坐标特征求出点
D
的坐标，利用三角形面积公式
计算即可；
（
3
）分点
P
在
x
轴上和点
P
在
y
轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即
可．
【解答】解：（
1
）∵点
A
（﹣
1
，
2
）在双曲线
y=
上，
∴
2=
，
解得，
k=
﹣
2
，
∴反比例函数解析式为：
y=
﹣，
∴
b==
﹣
1
，
则点
B
的坐标为（
2
，﹣
1
），
∴，
解得，
m=
﹣
1
，
n=1
；
（
2
）对于
y=
﹣
x
+
1
，当
x=0
时，
y=1
，
∴点
C
的坐标为（
0
，
1
），
∵点
D
与点
C
关于
x
轴对称，
∴点
D
的坐标为（
0
，﹣
1
），
∴△
ABD
的面积
=
×
2
×
3=3
；
（
3
）对于
y=
﹣
x
+
1
，当
y=0
时，
x=1
，
∴直线
y=
﹣
x
+
1
与
x
轴的交点坐标为（
0
，
1
），
当点
P
在
x
轴上时，设点
P
的坐标为（
a
，
0
），
24/29
S△
PAB
=
×|
1
﹣
a
|×
2
+×|
1
﹣
a
|×
1=3
，
解得，
a=
﹣
1
或
3
，
当点
P
在
y
轴上时，设点
P
的坐标为（
0
，
b
），
S△
PAB=
×|
1
﹣
b
|×
2
+×|
1
﹣
b
|×
1=3
，
解得，
b=
﹣
1
或
3
，
∴
P
点坐标为（﹣
1
，
0
）或（
3
，
0
）或（
0
，﹣
1
）或（
0
，
3
）．
22
．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠
MON
（∠
MON=135°
）的
两边为边，用总长为
120m
的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区
域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形
OBDG
为直角梯
形．
（
1
）若①②③这块区域的面积相等，则
OB
的长度为
20m
；
（
2
）设
OB=x
，四边形
OBDG
的面积为
ym2，
①求
y
与
x
之的函数关系式，并注明自变量
x
的取值范围；
②设①②③这三块区域的面积分别为
S
1、
S
2、
S
3，若
S
1：
S
2：
S
3
=3
：
2
：
1
，求
GE
：
ED
：
DC
的值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的应用．
【分析】（
1
）首先证明
EG=EO=DB
，
DE=FC=OB
，设
OB=CF=DE=x
，则
GE=OE=BD==40
﹣
x
，由①②③这块区域的面积相等，得到（
40
﹣
x
）2=•x
（
40
﹣
x
），解方程即可．
（
2
）①根据直角梯形的面积公式计算即可．②由
S
1：
S
2：
S
3
=3
：
2
：
1
，肯定
（
40
﹣
x
）2=
（﹣
x2+
800
），推出
x=
或
40
（舍弃），求得
EG=40
﹣
=
，
ED=
，
DC=EG=
，由此即可解决问题．
25/29
【解答】解：（
1
）由题意可知，∠
MON=135°
，∠
EOB=
∠
D=
∠
DBO=90°
，
∴∠
EGO=
∠
EOG=45°
，
∴
EG=EO=DB
，
DE=FC=OB
，设
OB=CF=DE=x
，则
GE=OE=BD==40
﹣
x
，
∵①②③这块区域的面积相等，
∴（
40
﹣
x
）2=•x
（
40
﹣
x
），
∴
x=20
或
40
（舍弃），
∴
BC=20m
．
故答案为
20
．
（
2
）①
y=•
（
40
﹣
x
）
=
﹣
x2+
800
（
0
＜
x
＜
40
）．
②∵
S
1：
S
2：
S
3
=3
：
2
：
1
，
∴（
40
﹣
x
）2=
（﹣
x2+
800
），
∴
x=
或
40
（舍弃），
∴
EG=40
﹣
=
，
ED=
，
DC=EG=
，
∴
EG
：
DE
：
DC=
：：
=6
：
3
：
4
．
23
．某班
“
手拉手
”
数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻
边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（
1
）如图
1
，正方形
ABCD
中，
EF
⊥
GH
，
EF
分别交
AB
，
CD
于点
E
，
F
，
GH
分
别交
AD
，
BC
于点
G
，
H
，则
EF=GH
；（填
“
＞
”“=”
或
“
＜
”
）
（
2
）如图
2
，矩形
ABCD
中，
EF
⊥
GH
，
EF
分别交
AB
，
CD
于点
E
，
F
，
GH
分别
交
AD
，
BC
于点
G
，
H
，求证：
=
；
26/29
（
3
）如图
3
，四边形
ABCD
中，∠
ABC=
∠
ADC=90°
，
BC=3
，
CD=5
，
AD=7.5
，
AM
⊥
DN
，点
M
，
N
分别在边
BC
，
AB
上，求的值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（
1
）
EF=GH
．如图
1
中，过点
A
作
AP
∥
GH
，交
BC
于
P
，过点
B
作
BQ
∥
EF
，交
CD
于
Q
，交
BQ
于
T
．先证明四边形
AEFP
、四边形
BHGQ
都是平行
四边形，推出
AP=GH
，
EF=BQ
．再证明△
ABP
≌△
BCQ
，推出
AP=BQ
，即可解决
问题．
（
2
）过点
A
作
AP
∥
EF
，交
CD
于
P
，过点
B
作
BQ
∥
GH
，交
AD
于
Q
，如图
1
，
易证
AP=EF
，
GH=BQ
，△
PDA
∽△
QAB
，然后运用相似三角形的性质就可解决问
题；
（
3
）过点
D
作平行于
AB
的直线，交过点
A
平行于
BC
的直线于
R
，交
BC
的延
长线于
S
，如图
3
，易证四边形
ABSR
是矩形，由（
1
）中的结论可得
=
．设
SC=x
，则
AR=BS=3
+
x
，由△
ARD
∽△
DSC
，得
====
，
推出
DR=x
，
DS=
（
x
+
3
），在
Rt
△
ARD
中，根据
AD2=AR2+
DR2，可得
7.52=
（
x
+
3
）2+（
x
）2，求出
x
即可解决问题．
【解答】解：（
1
）如图
1
中，过点
A
作
AP
∥
GH
，交
BC
于
P
，过点
B
作
BQ
∥
EF
，交
CD
于
Q
，交
BQ
于
T
．
∵四边形
ABCD
是正方形，
27/29
∴
AB
∥
DC
，
AD
∥
BC
．
AB=BC
，∠
ABP=
∠
C=90°
∴四边形
AEFP
、四边形
BHGQ
都是平行四边形，
∴
AP=GH
，
EF=BQ
．
又∵
GH
⊥
EF
，
∴
AP
⊥
BQ
，
∴∠
PBT
+∠
ABT=90°
，∠
ABT
+∠
BAT=90°
，
∴∠
CBQ=
∠
BAT
，
在△
ABP
和△
BCQ
中，
，
∴△
ABP
≌△
BCQ
，
∴
AP=BQ
，
∴
EF=GH
，
故答案为
=
．
（
2
）过点
A
作
AP
∥
EF
，交
CD
于
P
，过点
B
作
BQ
∥
GH
，交
AD
于
Q
，如图
2
，
∵四边形
ABCD
是矩形，∴
AB
∥
DC
，
AD
∥
BC
．
∴四边形
AEFP
、四边形
BHGQ
都是平行四边形，
∴
AP=EF
，
GH=BQ
．
又∵
GH
⊥
EF
，∴
AP
⊥
BQ
，
∴∠
QAT
+∠
AQT=90°
．
∵四边形
ABCD
是矩形，∴∠
DAB=
∠
D=90°
，
∴∠
DAP
+∠
DPA=90°
，
∴∠
AQT=
∠
DPA
．
∴△
PDA
∽△
QAB
，
28/29
∴
=
，
∴
=
；
（
3
）过点
D
作平行于
AB
的直线，交过点
A
平行于
BC
的直线于
R
，交
BC
的延
长线于
S
，如图
3
，
则四边形
ABSR
是平行四边形．
∵∠
ABC=90°
，∴
▱ABSR
是矩形，
∴∠
R=
∠
S=90°
，
RS=AB=10
，
AR=BS
．
∵
AM
⊥
DN
，
∴由（
1
）中的结论可得
=
，
设
SC=x
，则
AR=BS=3
+
x
，
∵∠
ADC=
∠
R=
∠
S=90°
，
∴∠
ADR
+∠
RAD=90°
，∠
ADR
+∠
SDC=90°
，
∴∠
RAD=
∠
CDS
，
∴△
ARD
∽△
DSC
，
∴
====
，
∴
DR=x
，
DS=
（
x
+
3
），
在
Rt
△
ARD
中，∵
AD2=AR2+
DR2，
∴
7.52=
（
x
+
3
）2+（
x
）2，
整理得
13x2+
24x
﹣
189=0
，解得
x=3
或﹣，
∴
AR=6
，
AB=RS=
，
∴
==
．
29/29
2
月
25
日
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