2020年高考数学卷子

-1-

2020年数学试卷（理科）(全国卷Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则

U

(A∪B)＝

A.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}

2.若α为第四象限角，则

2α>2α<2α>2α<0

3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由

于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知

该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。志愿者每人

每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至

少需要志愿者

A.10名B.18名C.24名D.32名

4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为

天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一

环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中

层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为

A.

5

5

B.

25

5

C.

35

5

D.

45

5

6.数列{a

n

}中，a

1

＝2，a

m＋n

＝a

m

a

n

，若a

k＋1

＋a

k＋2

＋…＋a

k＋10

＝215－25，则k＝

-2-

A.2B.3C.4D.5

7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯

视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为

.H

8.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的两条渐近线分别交于

D，E两点。若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为

A.4B.8C.16D.32

9.设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1，则f(x)

A.是偶函数，且(

1

2

，＋∞)在单调递增B.是奇函数，且(－

1

2

，

1

2

)在单调递减

C.是偶函数，且(－∞，－

1

2

)在单调递增D.是奇函数，且(－∞，－

1

2

)在单调递减

10.己知△ABC是面积为

93

4

的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积

为16π，则O到平面ABC的距离为

A.

3

B.

3

2

C.1D.

3

2

11.若2x－2y<3－x－3－y，则

(y－x＋1)>(y－x＋1)<|x－y|>|x－y|<0

12.0－1周期序列在通信技术中有着重要应用。序列a

1

a

2

…a

n

…满足a

1

∈{0，1}(i＝1，2，…)，

且存在正整数m，使得a

i＋m

＝a

i

(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期数列，并称满足a

i＋m

＝a

i

(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0－1序列a

1

a

2

…a

n

…，

-3-

C(k)＝

1

1

(1,2,,1)

m

iik

i

aakm

m



是描述其性质的重要指标。下列周期为5的0－1序列中，

满足C(k)≤

1

5

(k＝1，2，3，4)的序列是

A.11010.B.11011C.10001D.11001

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝。

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1

名学生，则不同的安排方法有种。

15.设复数z

1

，z

2

满足|z

1

|＝|z

2

|＝2，z

1

＋z

2

＝3＋i，则|z

1

－z

2

|＝。

16.设有下列四个命题：

p

1

；两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。

p

2

：过空间中任意三点有且仅有一个平面。

p

3

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。

p

4

：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l。

则下列命题中所有真命题的序号是。

①p

1

∧p

4

②p

1

∧p

2

③p

2

∨p

3

④p

3

∨p

4

三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值。

18.(12分)

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种

野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽

-4-

取20个作为样区，调查得到样本数据(x

i

，y

i

)(i＝1，2，…，20)，其中x

i

和y

i

分别表示第i个

样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得

2020202020

22

11111

60,1200,()80,()9000,()()800

iiiii

iiiiii

xyxxyyxxyy





(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物

数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本(x

i

，y

i

)i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区

这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

附：相关系数：1

22

11

()()

,21.414

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy















19.(12分)

已知椭圆C

1

：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的右焦点F与抛物线C

2

的焦点重合。C

1

的中心与C

2

的

顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C

1

于A，B两点，交C

2

于C，D两点，且|CD|＝

4

3

|AB|。

(1)求C

1

的离心率；

(2)设M是C

1

与C

2

的公共点。若|MF|＝5，求C

1

与C

2

的标准方程。

20.(12分)

如图已知三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的底面是正三角形，侧面BB

1

C

1

C是矩形，M，N分别为

BC，B

1

C

1

的中点，P为AM上一点，过B

1

C

1

和P的平面交AB于E，交AC于F。

-5-

(1)证明：AA

1

//MN，且平面A

1

AMN⊥面EB

1

C

1

F；

(2)设O为△A

1

B

1

C

1

的中心，若AO//面EB

1

C

1

F，且AO＝AB，求直线B

1

E与平面A

1

AMN所

成角的正弦值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝sin2xsin2x。

(1)讨论f(x)在(0，π)上的单调性；

(2)证明：|f(x)|≤

33

8

；

(3)证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤

3

4

n

n

。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

-6-

己知C

1

，C

2

的参数方程分别为C

1

：

2

2

4cos

4sin

x

y



















(θ为参数)，C

2

：

1

1

xt

t

t

yt



















(t为参数)，

(1)将C

1

，C

2

的参数方程化为普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C

1

，C

2

的交点为P，求圆心在极

轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

f(x)＝|x－a2|＋|x＋2a－1|，

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集

(2)f(x)≥4，求a的取值范围。

-7-

答案

1A2D3B4C5B6C7A8B9D10C11A12C

13.

14.36

15.23

16.①③④

17.

18.

19.

-8-

21.

-9-

22.