2015年高考数学试题

2015年高考理科数学试卷全国卷1

1．设复数z满足

1

1

z

z





=i，则|z|=（）

（A）1（B）2（C）

3

（D）2

2．oooosin20cos10cos160sin10=（）

（A）

3

2

（B）

3

2

（C）

1

2

（D）

1

2

3．设命题p：2,2nnNn，则p为（）

（A）2,2nnNn（B）2,2nnNn

（C）2,2nnNn（D）2,=2nnNn

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中

的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

5．已知M（

00

,xy）是双曲线C：

2

21

2

x

y上的一点，

12

,FF是C上的两个焦点，若

12

0MFMF•

uuuuruuuur

，则

0

y的取值范围是（）

（A）（-

3

3

，

3

3

）（B）（-

3

6

，

3

6

）

（C）（

22

3

，

22

3

）（D）（

23

3

，

23

3

）

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依

垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如

图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部

的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已

知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

7．设D为ABC所在平面内一点3BCCD

uuuruuur

，则（）

（A）

14

33

ADABAC

uuuruuuruuur

（B）

14

33

ADABAC

uuuruuuruuur

（C）

41

33

ADABAC

uuuuur

uuuruuur

（D）

41

33

ADABAC

uuuuuuur

uuuruuur

8．函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）

（A）

13

(,),

44

kkkZ（B）

13

(2,2),

44

kkkZ

（C）

13

(,),

44

kkkZ（D）

13

(2,2),

44

kkkZ

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

10．25()xxy的展开式中，52xy的系数为（）

（A）10（B）20（C）30（D）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视

图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20



，则r=（）

（A）1（B）2（C）4（D）8

12．设函数()fx=

(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数

0

x，使得

0

()fx0，

则

a

的取值范围是（）

（A）[-

3

2e

，1）（B）[-

3

2e

，

3

4

）（C）[

3

2e

，

3

4

）（D）[

3

2e

，1）

13．若函数f（x）=2ln()xxax为偶函数，则a=

14．一个圆经过椭圆

22

1

164

xy

的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标

准方程为.

15．若,xy满足约束条件

10

0

40

x

xy

xy

















，则

y

x

的最大值为.

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

17．（本小题满分12分）

n

S为数列{

n

a}的前

n

项和.已知

n

a＞0，2

nn

aa=43

n

S.

（Ⅰ）求{

n

a}的通项公式；

（Ⅱ）设

1

1

n

nn

b

aa



,求数列{

n

b}的前

n

项和.

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥

平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）

对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费

i

x和

年销售量

i

y（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的

值.

x

r

y

ur

w

ur

8

2

1

()

i

i

xx



8

2

1

()

i

i

ww



8

1

()()

ii

i

xxyy



8

1

()()

ii

i

wwyy





46.656.36.8289.81.61469108.8

表中

ii

wx，w

ur

=

1

8

8

1

i

i

w





（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d

x

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下

列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据

11

(,)uv,

22

(,)uv，……，(,)

nn

uv,其回归线vu的斜率和截

距的最小二乘估计分别为：

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=

2

4

x

与直线ykxa（

a

＞

0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=3

1

,()ln

4

xaxgxx.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；

（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数

()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h（x）零点的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；

（Ⅱ）若

3OACE

，求∠ACB的大小.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线

1

C:

x

=2，圆

2

C：22121xy,以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求

1

C，

2

C的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线

3

C的极坐标方程为

4

R



，设

2

C与

3

C的交点为M,N,求

2

CMN的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

【答案解析】

1.【答案】A

【解析】由

1

1

z

i

z







得，

1

1

i

z

i







=

(1)(1)

(1)(1)

ii

ii





=i，故|z|=1，故选A.

考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.

2.【答案】D

【解析】原式=oooosin20cos10cos20sin10=osin30=

1

2

，故选D.

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

3.【答案】C

【解析】p:2,2nnNn，故选C.

考点：本题主要考查特称命题的否定

4.【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为

223

3

0.60.40.6C=0.648，故选A.

考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

5.【答案】A

【解析】由题知

12

(3,0),(3,0)FF，

2

2

0

0

1

2

x

y，所以

12

MFMF•

uuuuruuuur

=

0000

(3,)(3,)xyxy•=222

000

3310xyy，解得

0

33

33

y，

故选A.

考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

6.【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r，则

1

238

4

r=

16

3

r，所以米堆的体积为

2

1116

3()5

433

=

320

9

，故堆放的米约为

320

9

÷1.62≈22，故选B.

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

7.【答案】A

【解析】由题知

11

()

33

ADACCDACBCACACAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

=

14

33

ABAC

uuuruuur

，故选A.

考点：平面向量的线性运算

8.【答案】D

【解析】由五点作图知，

1

+

42

53

+

42



























，解得

=

，=

4



，所以()cos()

4

fxx



，

令22,

4

kxkkZ



，解得

1

2

4

k＜

x

＜

3

2

4

k，kZ，故单调减区

间为（

1

2

4

k，

3

2

4

k），kZ，故选D.

考点：三角函数图像与性质

9.【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=

1

2

=0.5,S=S-m=0.5,

2

m

m=0.25,n=1,S=0.5

＞t=0.01,是，循环，

执行第2次，S=S-m=0.25,

2

m

m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

执行第3次，S=S-m=0.125,

2

m

m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

执行第4次，S=S-m=0.0625,

2

m

m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

执行第5次，S=S-m=0.03125,

2

m

m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

执行第6次，S=S-m=0.015625,

2

m

m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

执行第7次，S=S-m=0.0078125,

2

m

m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，

输出n=7，故选C.

考点：本题注意考查程序框图

10.【答案】C

【解析】在25()xxy的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取

x

，

其余因式取y,故52xy的系数为212

532

CCC=30，故选C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档

题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如

何得到该项，再利用排列组知识求解.

11.【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球

的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

22

1

4222

2

rrrrrr=2254rr=16+20

，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

12.【答案】D

【解析】设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数

0

x，使得

0

()gx在

直线yaxa的下方.

因为()(21)xgxex



，所以当

1

2

x时，()gx



＜0，当

1

2

x时，()gx



＞0，所

以当

1

2

x时，

max

[()]gx=

1

2-2e

，

当0x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且

a

，故

(0)1ag，且1(1)3geaa，解得

3

2e

≤

a

＜1，故选D.

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

13.【答案】1

【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax

=22ln()ln0axxa，解得

a

=1.

考点：函数的奇偶性

14.【答案】22

325

()

24

xy

【解析】设圆心为（

a

，0），则半径为4a，则222(4)2aa，解得

3

2

a，故

圆的方程为22

325

()

24

xy.

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

15.【答案】3

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，

y

x

是可行域内一点与原

点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故

y

x

的最大值为3.

考点：线性规划解法

16.【答案】（62，6+2）

【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，

在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sinsin

BCBE

EC





，即

oo

2

sin30sin75

BE

，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与

AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sinsin

BFBC

FCBBFC





，即

oo

2

sin30sin75

BF

，解得BF=62，所以AB的取值

范围为（

62

，

6+2

）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

17.【答案】（Ⅰ）21n（Ⅱ）

11

646n





【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第

n

项与前

n

项和的关系求出数列{

n

a}的递推公式，可以判

断数列{

n

a}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{

n

a}的通项公式；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{

n

b}的通项公式，再用拆项消去法求其前

n

项和.

试题解析：（Ⅰ）当1n时，2

1111

2434+3aaSa，因为0

n

a，所以

1

a=3，

当2n时，22

11nnnn

aaaa



=

1

4343

nn

SS



=4

n

a，即

111

()()2()

nnnnnn

aaaaaa



，因为0

n

a，所以

1nn

aa



=2，

所以数列{

n

a}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以

n

a=21n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

n

b=

1111

()

(21)(23)22123nnnn





，

所以数列{

n

b}前n项和为

12n

bbbL=

1111111

[()()()]

235572123nn





L=

11

646n





.

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1

易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面

面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以,GBGC

uuuruuur

的方向

为

x

轴，y轴正方向，

||GB

uuur

为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求

出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，

由∠ABC=120°，可得AG=GC=

3

.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=

3

，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=

2

2

.

在Rt△FDG中，可得FG=

6

2

.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=

2

2

可得EF=

32

2

，

∴222EGFGEF，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,GBGC

uuuruuur

的方向为

x

轴，y轴正方向，||GB

uuur

为单

位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－

3

，0），E（1,0,2），

F（－1,0，

2

2

），C（0，

3

，0），∴AE

uuur

=（1，

3

，2），CF

uuur

=（-1，-

3

，

2

2

）.…

10分

故

3

cos,

3

||||

AECF

AECF

AECF





uuuruuur

uuuruuur

uuuruuur.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为

3

3

.

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

19.【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用

x

的回归方程类型；

（Ⅱ）

$

100.668yx（Ⅲ）46.24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令

wx

，先求出建立y关于

w

的线性回归方程，即可y关于

x

的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）

利用y关于

x

的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系

为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，

列出关于

x

的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费

用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，

ycdx

适合作为年销售y关于年宣传费用

x

的回归方

程类型.

（Ⅱ）令

wx

，先建立y关于

w

的线性回归方程，由于

$

8

1

8

2

1

()()

()

ii

i

i

i

wwyy

d

ww















=

108.8

=68

16

，

∴

$

cydw

$

=563-68×6.8=100.6.

∴y关于

w

的线性回归方程为

$

100.668yw，

∴y关于

x

的回归方程为

$

100.668yx.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当

x

=49时，年销售量y的预报值

$

100.66849y=576.6，

576.60.24966.32z

$

.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

0.2(100.668)13.620.12zxxxx

$

，

∴当

x

=

13.6

=6.8

2

，即46.24x时，z

$

取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

20.【答案】（Ⅰ）0axya或0axya（Ⅱ）存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用

设而不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于

x

的一元二次方程，设出M,N

的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用

a

表示出来，利

用直线PM，PN的斜率为0,即可求出,ab关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得

(2,)Maa

，

(22,)Na

，或

(22,)Ma

，

(2,)Naa

.

∵

1

2

yx



，故

2

4

x

y在

x

=22a处的到数值为

a

，C在(22,)aa处的切线方程为

(2)yaaxa，即0axya.

故

2

4

x

y在

x

=-22a处的到数值为-

a

，C在(22,)aa处的切线方程为

(2)yaaxa，即0axya.

故所求切线方程为

0axya

或

0axya

.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，

11

(,)Mxy，

22

(,)Nxy，直线PM，PN的斜率分别为

12

,kk.

将ykxa代入C得方程整理得2440xkxa.

∴

1212

4,4xxkxxa.

∴12

12

12

ybyb

kk

xx



=1212

12

2()()kxxabxx

xx



=

()kab

a



.

当ba时，有

12

kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以(0,)Pa符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

21..【答案】（Ⅰ）

3

4

a；（Ⅱ）当

3

4

a或

5

4

a时，()hx由一个零点；当

3

4

a

或

5

4

a时，()hx有两个零点；当

53

44

a时，()hx有三个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应

的

a

值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将

x

分为1,1,01xxx研究()hx的零

点个数，若零点不容易求解，则对

a

再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线()yfx与

x

轴相切于点

0

(,0)x，则

0

()0fx，

0

()0fx



，

即

3

00

2

0

1

0

4

30

xax

xa















，解得

0

13

,

24

xa.

因此，当

3

4

a时，

x

轴是曲线()yfx的切线.

（Ⅱ）当(1,)x时，()ln0gxx，从而()min{(),()}()0hxfxgxgx，

∴()hx在（1，+∞）无零点.

当

x

=1时，若

5

4

a，则

5

(1)0

4

fa，(1)min{(1),(1)}(1)0hfgg,故

x

=1

是()hx的零点；若

5

4

a，则

5

(1)0

4

fa，(1)min{(1),(1)}(1)0hfgf,

故

x

=1不是()hx的零点.

当(0,1)x时，()ln0gxx，所以只需考虑()fx在（0,1）的零点个数.

（ⅰ）若3a或0a，则2()3fxxa



在（0,1）无零点，故()fx在（0,1）单

调，而

1

(0)

4

f，

5

(1)

4

fa，所以当3a时，()fx在（0，1）有一个零点；当

a0时，()fx在（0，1）无零点.

（ⅱ）若30a，则()fx在（0，

3

a



）单调递减，在（

3

a



，1）单调递增，

故当

x

=

3

a



时，()fx取的最小值，最小值为()

3

a

f=

21

334

aa



.

①若()

3

a

f＞0，即

3

4

＜

a

＜0，()fx在（0,1）无零点.

②若()

3

a

f=0，即

3

4

a，则()fx在（0,1）有唯一零点；

③若()

3

a

f＜0，即

3

3

4

a，由于

1

(0)

4

f，

5

(1)

4

fa，所以当

53

44

a时，()fx在（0,1）有两个零点；当

5

3

4

a时，()fx在（0,1）

有一个零点.…10分

综上，当

3

4

a或

5

4

a时，()hx由一个零点；当

3

4

a或

5

4

a时，()hx有

两个零点；当

53

44

a时，()hx有三个零点.

考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中

线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以

DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由

3OACE

得，AB=

23

，设AE=

x

，由勾股定理

得212BEx，由直角三角形射影定理可得2AECEBE，列出关于

x

的方程，

解出

x

，即可求出∠ACB的大小.

试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，

在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连结OE，∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=

x

,由已知得AB=

23

，212BEx，

由射影定理可得，2AECEBE，

∴2212xx，解得

x

=3，∴∠ACB=60°.

考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理

23.【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）

1

2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得

1

C，

2

C的极坐标方程；（Ⅱ）

将将=

4



代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即

可求出

2

CMNV的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为cos,sinxy，

∴

1

C的极坐标方程为cos2，

2

C的极坐标方程为

22cos4sin40.……5分

（Ⅱ）将=

4



代入22cos4sin40，得

23240

，解得

1

=22，

2

=2，|MN|=

1

－

2

=2，

因为

2

C的半径为1，则

2

CMNV的面积o

1

21sin45

2

=

1

2

.

考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

24.【答案】（Ⅰ）

2

{|2}

3

xx（Ⅱ）（2，+∞）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）

将()fx化为分段函数，求出()fx与

x

轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面

积，根据题意列出关于

a

的不等式，即可解出

a

的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于

1

1221

x

xx











或

11

1221

x

xx











或

1

1221

x

xx











，解得

2

2

3

x，

所以不等式f（x）>1的解集为

2

{|2}

3

xx.

（Ⅱ）由题设可得，

12,1

()312,1

12,

xax

fxxaxa

xaxa

















，

所以函数()fx的图像与

x

轴围成的三角形的三个顶点分别为

21

(,0)

3

a

A



，

(21,0)Ba，(,+1)Caa，所以△ABC的面积为2

2

(1)

3

a.

由题设得2

2

(1)

3

a＞6，解得2a.

所以

a

的取值范围为（2，+∞）.

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法