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2015-2016学年北京十五中九年级〔上〕期中数学试卷

一、选择题

1.二次函数y=﹣〔x+1〕2﹣2的最大值是〔〕

A．﹣2B．﹣1C．1D．2

2．

把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为〔〕

A．y=2〔x+3〕2+4B．y=2〔x+3〕2﹣4C．y=2〔x﹣3〕2﹣4D．y=2〔x﹣3〕2+4

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，假设BC=1，AB=，那么tanA的值为〔〕

A．B．C．D．2

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，假设∠ADE=120°，那么∠B等于〔〕

A．130°B．120°C．80°D．60°

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是〔〕

A．B．C．D．

6．确定二次函数y=2〔x+1〕〔x﹣a〕，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，那么a的值是〔〕

A．3B．5C．7D．不确定

7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为〔〕

A．2B．4C．4D．8

8．二次函数y=ax2+bx+c的局部图象如下列图，那么以下结论中正确的选项是〔〕

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A．a＞0

B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5

C．a﹣b+c＞0

D．当x＞2时，y随x的增大而增大

9．设二次函数y

1

=a〔x﹣x

1

〕〔x﹣x

2

〕〔a≠0，x

1

≠x

2

〕的图象与一次函数y

2

=dx+e〔d≠0〕的图象

交于点〔x

1

，0〕，假设函数y=y

1

+y

2

的图象与x轴仅有一个交点，那么〔〕

A．a〔x

1

﹣x

2

〕=dB．a〔x

2

﹣x

1

〕=dC．a〔x

1

﹣x

2

〕2=dD．a〔x

1

+x

2

〕2=d

10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积

为y，那么以下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕

A．B．

C．D．

二、填空题

11.比较大小：cos27°cos63°．

12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的

二次函数的表达式：．

13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是．

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14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，那么∠

ACB=．

15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔围着另一端画一圈就是一个

圆，于是我们定义：圆是由到必需点距离都等于定长的全部的点组成的图形．

下面是一种画椭圆的方法：

〔1〕在地平面上选两个点，钉上两个钉子；

〔2〕测量两个钉子间距离；

〔3〕选用大于两钉子间距离长度的绳子；

〔4〕将绳子两端分别系在钉子上；

〔5〕将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；

〔6〕将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！〔如下列图〕

依据这个过程请你给椭圆下一个定义：．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为〔1，1〕．B是以点B

为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA

1

为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA

2

为半径的

圆弧，A是以点A为圆心，AA

3

为半径的圆弧，接着以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线

AA

1

A

2

A

3

A

4

A

5

…称为“正方形的渐开线”，那么点A

5

的坐标是，点A

2015

的坐标是．

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三、解答题〔第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.此题共72分〕

17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．

18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．

19．确定二次函数y=x2﹣4x+3．

〔1〕该函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是；

〔2〕在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；

〔3〕依据图象答复：当0≤x＜3时，y的取值范围是．

20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件

利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；

质量档次12…x…10

日产量〔件〕9590…100﹣5x…50

单件利润〔万元〕68…2x+4…24

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为

y万元．

〔1〕求y关于x的函数关系式；

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〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．假设DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD

的长和tanA的值．

22．国家海洋局将中国钓鱼岛最顶峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进展常态化立体巡航．如图

1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保

持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高

度多少米．〔结果保存整数，参考数值：=1.732，=1.414〕

23．我们知道，确定圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个确定点A作圆，能作出多数

个．答复以下问题：

〔1〕经过两个确定点A，B作圆，能作出圆个，圆心分布在；

〔2〕如图，确定不共线的三点A，B，C，能作出圆个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能

的位置．〔要求保存作图痕迹，不写作法〕

24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，

延长AD交BM于点E．

〔1〕求证：△ACD是等边三角形；

〔2〕假设DE=1，求圆O的半径．

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25．设函数y=〔x﹣1〕[〔k﹣1〕x+〔k﹣3〕]〔k是常数〕．

〔1〕当k取1和2时的函数y

1

和y

2

的图象如下列图，请你在同始终角坐标系中画出当k取0时函

数的图象；

〔2〕依据图象，写出你觉察的一条结论．

26．阅读下面材料：

小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且

AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；

小乔觉察题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且

BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决〔如图

2〕．

请答复：∠APE的度数为．

参考小乔同学思索问题的方法，解决问题：

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如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE

与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．

27．确定在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴

相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于

点D．设点P的横坐标为m．

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕用含m的代数式表示线段CO的长；

〔3〕假设把A、B之间的抛物线〔包含A、B两点〕图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一

个公共点，求b的值．

28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A

〔1，0〕，B〔2，0〕，C〔2，1〕，D〔1，1〕，那么点O〔0，0〕到正方形ABCD的距离为1．

〔1〕假设⊙P是以〔3，4〕为圆心，1为半径的圆，那么点O〔0，0〕到⊙P的距离为；

〔2〕①求点M〔3，0〕到直线y=2x+1的距离；

②假设点N〔0，a〕到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；

〔3〕假设点G〔0，b〕到抛物线y=x2的距离为3，请干脆写出b的值．

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29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经

过点A和点C〔4，0〕．

〔1〕求该抛物线的表达式．

〔2〕连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判定点D是否在该抛物线上，并说明理由．

〔3〕在〔2〕的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，

①求圆心M的坐标；

②假设直线AP与⊙M相切，P为切点，干脆写出点P的坐标．

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2015-2016学年北京十五中九年级〔上〕期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.二次函数y=﹣〔x+1〕2﹣2的最大值是〔〕

A．﹣2B．﹣1C．1D．2

【考点】二次函数的最值．

【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是〔﹣1，﹣2〕，也就是当x=﹣1，函数

有最大值﹣2．

【解答】解：∵y=﹣〔x+1〕2﹣2，

∴此函数的顶点坐标是〔﹣1，﹣2〕，即当x=﹣1函数有最大值﹣2

应选：A．

【点评】此题考察了二次函数的最值，解题关键是驾驭二次函数顶点式，并会依据顶点式求最值．

2．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为〔〕

A．y=2〔x+3〕2+4B．y=2〔x+3〕2﹣4C．y=2〔x﹣3〕2﹣4D．y=2〔x﹣3〕2+4

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】计算题．

【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为〔0，0〕，那么把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，

所得抛物线的顶点坐标为〔﹣3，4〕，然后依据顶点式写出解析式．

【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式

为y=2〔x+3〕2+4．

应选A．

【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形态不变，故a不变，所以求

平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上随意两点平移后的坐标，利用待

定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，假设BC=1，AB=，那么tanA的值为〔〕

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A．B．C．D．2

【考点】解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．

【分析】首先依据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，假设BC=1，AB=，

∴AC==2；

∴tanA==；

应选C．

【点评】此题综合考察了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．驾驭相应的锐角三角函

数值的求法是解决此题的关键．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，假设∠ADE=120°，那么∠B等于〔〕

A．130°B．120°C．80°D．60°

【考点】圆内接四边形的性质．

【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠

B=∠ADE=120°．

【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADE=120°．

应选B．

【点评】此题考察了圆的内接多边形的性质．此题比较简洁，留意驾驭数形结合思想的应用．

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5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是〔〕

A．B．C．D．

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．

【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再依据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利

用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．

【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，

∴AB==13，．

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠A=∠BCD，

∴sin∠BCD=sinA==．

应选B．

【点评】此题主要考察了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．

6．确定二次函数y=2〔x+1〕〔x﹣a〕，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，那么a的值是〔〕

A．3B．5C．7D．不确定

【考点】二次函数的性质．

【分析】依据二次函数y=2〔x+1〕〔x﹣a〕，得出二次函数图象与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，

〔a，0〕，那么对称轴为x==2，进一步求得a的数值即可．

【解答】解：∵二次函数y=2〔x+1〕〔x﹣a〕与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔a，0〕，

∴对称轴x==2，

解得：x=5．

应选：B．

【点评】此题考察二次函数的性质，驾驭二次函数的对称性、求对称轴的方法以及求与x轴交点的

坐标是解决问题的关键．

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7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为〔〕

A．2B．4C．4D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】依据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，依据垂径定理得

CE=DE，且可判定△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进展计算．

【解答】解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=OC=2，

∴CD=2CE=4．

应选：C．

【点评】此题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半．也考察了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

8．二次函数y=ax2+bx+c的局部图象如下列图，那么以下结论中正确的选项是〔〕

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A．a＞0

B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5

C．a﹣b+c＞0

D．当x＞2时，y随x的增大而增大

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式〔组〕．

【分析】依据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，

再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．

【解答】解：A、图象开口方向向下，那么a＜0，故此选项错误；

B、∵图象对称轴为直线x=2，那么图象与x轴另一交点坐标为：〔﹣1，0〕，

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；

C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；

D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．

应选：B．

【点评】此题主要考察了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合

得出是解题关键．

9．设二次函数y

1

=a〔x﹣x

1

〕〔x﹣x

2

〕〔a≠0，x

1

≠x

2

〕的图象与一次函数y

2

=dx+e〔d≠0〕的图象

交于点〔x

1

，0〕，假设函数y=y

1

+y

2

的图象与x轴仅有一个交点，那么〔〕

A．a〔x

1

﹣x

2

〕=dB．a〔x

2

﹣x

1

〕=dC．a〔x

1

﹣x

2

〕2=dD．a〔x

1

+x

2

〕2=d

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】压轴题．

【分析】首先依据一次函数y

2

=dx+e〔d≠0〕的图象经过点〔x

1

，0〕，可得y

2

=d〔x﹣x

1

〕，y=y

1

+y

2

=ax2+

〔d﹣ax

2

﹣ax

1

〕x+ax

1

x

2

﹣dx

1

；然后依据函数y=y

1

+y

2

的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y

1

+y

2

与x轴的交点为〔x

1

，0〕，再结合对称轴公式求解．

【解答】解：∵一次函数y

2

=dx+e〔d≠0〕的图象经过点〔x

1

，0〕，

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∴dx

1

+e=0，

∴y

2

=d〔x﹣x

1

〕，

∴y=y

1

+y

2

=a〔x﹣x

1

〕〔x﹣x

2

〕+d〔x﹣x

1

〕

=ax2﹣axx

2

﹣ax

1

x+ax

1

x

2

+dx﹣dx

1

=ax2+〔d﹣ax

2

﹣ax

1

〕x+ax

1

x

2

﹣dx

1

∵当x=x

1

时，y

1

=0，y

2

=0，

∴当x=x

1

时，y=y

1

+y

2

=0，

∵y=ax2+〔d﹣ax

2

﹣ax

1

〕x+ax

1

x

2

﹣dx

1

与x轴仅有一个交点，

∴y=y

1

+y

2

的图象与x轴的交点为〔x

1

，0〕

∴=x

1

，

化简得：a〔x

2

﹣x

1

〕=d

应选：B．

【点评】此题主要考察了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要娴熟驾

驭，解答此题的关键是判定出：函数y=y

1

+y

2

与x轴的交点为〔x

1

，0〕．

10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积

为y，那么以下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕

A．B．C．

D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题．

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【分析】作OC⊥AP，依据垂径定理得AC=AP=x，再依据勾股定理可计算出OC=，然后

依据三角形面积公式得到y=x•〔0≤x≤2〕，再依据解析式对四个图形进展判定．

【解答】解：作OC⊥AP，如图，那么AC=AP=x，

在Rt△AOC中，OA=1，OC===，

所以y=OC•AP=x•〔0≤x≤2〕，

所以y与x的函数关系的图象为A选项．

应选：A．

解除法：

很明显，并非二次函数，解除B选项；

接受特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S

△PAO

=0；

当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S

△PAO

=0；

当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S

△PAO

=；

解除B、C、D选项，

应选：A．

【点评】此题考察了动点问题的函数图象：先依据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关

系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，留意自变量的取值范围．

二、填空题

11.比较大小：cos27°＞cos63°．

【考点】锐角三角函数的增减性．

【分析】依据余弦函数随锐角的增大而减小，可得答案．

【解答】解：由余弦函数随锐角的增大而减小，得

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cos27°＞cos63°，

故答案为＞．

【点评】此题考察了锐角三角函数的增加性，利用余弦函数随锐角的增大而减小是解题关键．

12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的

二次函数的表达式：y=x2﹣3x+1答案不唯一．

【考点】二次函数的性质．

【专题】开放型．

【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．

【解答】解：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，

∴k﹣2＞0，

解得：k＞2，

∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．

【点评】此题考察了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于

0．

13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是．

【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．

【专题】网格型．

【分析】依据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定

义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．

【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，

∴∠AED=∠ABC，

在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，

依据勾股定理得：BC=，

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那么cos∠AED=cos∠ABC==．

故答案为：

【点评】此题考察了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，娴熟驾驭圆周角定理是解此

题的关键．

14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，那么∠ACB=

90°．

【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．

【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，依据在同圆或

等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．

【解答】解：∵∠AOB=90°，

∴∠ACB=∠AOB=90°．

故答案为：90°．

【点评】此题考察了圆周角的性质．留意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔围着另一端画一圈就是一个

圆，于是我们定义：圆是由到必需点距离都等于定长的全部的点组成的图形．

下面是一种画椭圆的方法：

〔1〕在地平面上选两个点，钉上两个钉子；

〔2〕测量两个钉子间距离；

〔3〕选用大于两钉子间距离长度的绳子；

〔4〕将绳子两端分别系在钉子上；

〔5〕将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；

〔6〕将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！〔如下列图〕

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依据这个过程请你给椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数〔大于两定点的距

离〕的点的轨迹．

【考点】圆的相识．

【分析】依据椭圆的定义，可得答案．

【解答】解：椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数〔大于两定点的距离〕的点

的轨迹，

故答案为：平面内与两个定点的距离的和等于常数〔大于两定点的距离〕的点的轨迹．

【点评】此题考察了圆的相识，利用椭圆的画法获得有效信息是解题关键．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为〔1，1〕．B是以点B

为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA

1

为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA

2

为半径的

圆弧，A是以点A为圆心，AA

3

为半径的圆弧，接着以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线

AA

1

A

2

A

3

A

4

A

5

…称为“正方形的渐开线”，那么点A

5

的坐标是〔6，0〕，点A

2015

的坐标是〔﹣

2015，1〕．

【考点】规律型：点的坐标．

【分析】点A的坐标为〔1，1〕，那么BA

1

=1，A

1

坐标为〔2，0〕，依此类推，A

2

〔0，﹣2〕，A

3

〔﹣

3，1〕，A

4

〔1，5〕，A

5

是以B为圆心，BA

4

为半径的圆弧与x轴的交点，那么A

5

〔6，0〕，2015÷

4=503…3，A

2015

应与A

3

〔﹣3，1〕的坐标规律一样，故A

2015

〔﹣2015，1〕．

【解答】解：∵点A的坐标为〔1，1〕，四边形ABOC是正方形，

BA

1

=1，

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∴A

1

坐标为〔2，0〕，

∵O是以点O为圆心，OA

1

为半径的圆弧，

∴A

2

〔0，﹣2〕，

∵C是以点C为圆心，CA

2

为半径的圆弧，

∴A

3

〔﹣3，1〕，

∵A是以点A为圆心，AA

3

为半径的圆弧，

∴A

4

〔1，5〕，

依此类推，A

5

是以B为圆心，BA

4

为半径的圆弧与x轴的交点，

那么A

5

〔6，0〕，

A

5

〔6，0〕与A

1

〔2，0〕坐标规律一样，

∵2015÷4=503…3，

∴A

2015

应与A

3

〔﹣3，1〕的坐标规律一样，

故A

2015

〔﹣2015，1〕．

故答案为：〔6，0〕，〔﹣2015，1〕．

【点评】此题主要考察了点的坐标的变更规律和对“正方形的渐开线”的理解，觉察规律，理解

“正方形的渐开线”是解答此题的关键．

三、解答题〔第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.此题共72分〕

17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．

【解答】解：原式=×﹣4×〔〕2+×

=﹣3+

=．

【点评】此题考察了特殊角的三角函数值，属于根底题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们娴

熟记忆的内容．

18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．

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【考点】解直角三角形．

【分析】过点C作CD⊥AB，依据∠A=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，

∠B的正切即可得出答案．

【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，

∴∠A=120°，

∴∠DAC=60°，

∴cos60°=，sin60°=，

∵AB=12，AC=6，

∴AD=AC•cos60°=6×=3，

CD=AC•sin60°=6×=3，

在Rt△BCD中，tanB===．

【点评】此题考察了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三

角形中，假设不是直角三角形就要通过添加帮助线来完成．

19．确定二次函数y=x2﹣4x+3．

〔1〕该函数的顶点坐标是〔2，﹣1〕，与x轴的交点坐标是〔1，0〕，〔3，0〕；

〔2〕在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；

〔3〕依据图象答复：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．

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【考点】二次函数与不等式〔组〕；二次函数的图象；二次函数的性质．

【分析】〔1〕把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一

元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；

〔2〕依据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；

〔3〕依据函数图象写出y的取值范围即可．

【解答】解：〔1〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，

∴顶点坐标为〔2，﹣1〕，

令y=0，那么x2﹣4x+3=0，

解得x

1

=1，x

2

=3，

所以，与x轴的交点坐标是〔1，0〕，〔3，0〕；

〔2〕如下列图；

〔3〕0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．

故答案为：〔1〕〔2，﹣1〕，〔1，0〕，〔3，0〕；〔3〕﹣1≤y≤3．

【点评】此题考察了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，娴熟

驾驭二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．

20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件

利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；

质量档次12…x…10

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日产量〔件〕9590…100﹣5x…50

单件利润〔万元〕68…2x+4…24

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为

y万元．

〔1〕求y关于x的函数关系式；

〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

【考点】二次函数的应用．

【分析】〔1〕依据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；

〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：〔1〕由题意，得

y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，

y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；

答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；

〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，

∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210．

∵1≤x≤10的整数，

∴x=9时，y最大=1210．

答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．

【点评】此题考察了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，

解答时求出函数的解析式是关键．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．假设DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD

的长和tanA的值．

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，那么

AD即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．

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【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，

∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．

∴AD=CD=×4=2．

∵CB===2，

AC=AD+CD=2+4=6，

在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴tanA===．

【点评】此题考察了解直角三角形中三角函数的应用，要娴熟驾驭好边角之间的关系．

22．国家海洋局将中国钓鱼岛最顶峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进展常态化立体巡航．如图

1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保

持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高

度多少米．〔结果保存整数，参考数值：=1.732，=1.414〕

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后依据AC﹣

BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．

【解答】解：设CF=x，

在Rt△ACF和Rt△BCF中，

∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，

∴BC=CF=x，

=tan30°，

即AC=x，

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∵AC﹣BC=1200米，

∴x﹣x=1200，

解得：x=600〔+1〕，

那么DF=h﹣x=2001﹣600〔+1〕≈362〔米〕．

答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．

【点评】此题考察了解直角三角形的应用，解答此题的关键是依据俯角构造直角三角形求出AC、BC

的长度，难度一般．

23．我们知道，确定圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个确定点A作圆，能作出多数

个．答复以下问题：

〔1〕经过两个确定点A，B作圆，能作出圆多数个个，圆心分布在线段AB的垂直平分线

上；

〔2〕如图，确定不共线的三点A，B，C，能作出圆1个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可

能的位置．〔要求保存作图痕迹，不写作法〕

【考点】作图—应用与设计作图；圆的相识．

【分析】〔1〕依据圆的定义，垂直平分线的性质即可得到答案．

〔2〕画出线段AB、BC的垂直平分线的交点就是圆心点O．

【解答】解：〔1〕经过两个确定点A，B作圆，能作出多数个圆个，圆心在线段AB的垂直平分线上．

故答案分别为多数个、线段AB的垂直平分线上．

〔2〕过不在同始终线上的三点可以确定一个圆．

故答案为1．

作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，直线MN与直线EF的交点就是圆心点O的

位置．〔见以下列图〕

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【点评】此题考察圆的有关性质，确定圆有两个要素①圆心②半径，通过训练此题可以造就动手实

力．

24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，

延长AD交BM于点E．

〔1〕求证：△ACD是等边三角形；

〔2〕假设DE=1，求圆O的半径．

【考点】相像三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理．

【分析】〔1〕由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，依据垂径定理得到=，

于是得到AD=AC，然后依据确定DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；

〔2〕连接OE，过O作ON⊥AD于N，由〔1〕知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角

形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，那么ON=r，AN=DN=r，由于得到

EN=1+r，BE=AE=，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．

【解答】〔1〕证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，

∴AB⊥CD，

∵AB是⊙O的直径，

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∴=，

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等边三角形；

〔2〕解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由〔1〕知，△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°．

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

设⊙O的半径为r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=1+r，BE=AE=．

在Rt△ONE与Rt△BEO中，

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，

即〔r〕2+〔1+r〕2=r2+〔〕2，

解得r

1

=，r

2

=﹣〔不合题意舍去〕．

故圆O的半径为．

【点评】此题考察了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，

过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．

25．设函数y=〔x﹣1〕[〔k﹣1〕x+〔k﹣3〕]〔k是常数〕．

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〔1〕当k取1和2时的函数y

1

和y

2

的图象如下列图，请你在同始终角坐标系中画出当k取0时函

数的图象；

〔2〕依据图象，写出你觉察的一条结论函数图象都经过点〔1，0〕和〔﹣1，4〕〔答案不唯一〕．

【考点】二次函数与不等式〔组〕．

【分析】〔1〕把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，依据函数解析式作出图象；

〔2〕依据函数图象答复以下问题．

【解答】解：〔1〕当k=0时，y=﹣〔x﹣1〕〔x+3〕，所画函数图象如下列图：

〔2〕依据图象知，函数图象都经过点〔1，0〕和〔﹣1，4〕

故答案为：函数图象都经过点〔1，0〕和〔﹣1，4〕〔答案不唯一〕．

故答案为：函数图象都经过点〔1，0〕和〔﹣1，4〕〔答案不唯一〕．

【点评】此题考察的是二次函数与不等式，能依据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的

解集是解答此题的关键．

26．阅读下面材料：

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小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且

AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；

小乔觉察题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且

BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决〔如图

2〕．

请答复：∠APE的度数为45°．

参考小乔同学思索问题的方法，解决问题：

如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE

与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．

【考点】圆的综合题．

【分析】〔1〕利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE〔SAS〕，即可得

出：∠APE的度数；

〔2〕依据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE==，即可求出sin∠APE的值．

【解答】解：〔1〕如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，

∵BF∥AD且BF=AD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∴AF=BD，

在△AEF和△CBE中

∵，

∴△AEF≌△CBE〔SAS〕，

∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，

∴∠EBF=45°，

∵AD∥BF，

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∴∠APE=45°；

故答案为：45°；

〔2〕如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∠APE=∠FBE，AF=DB，

∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，

∴∠FAE=∠BCE=90°，

∵CE=2BD，BC=2AE，

∴CE=2AF，∴==2，

∴△AEF∽△CBE，

∴=，∠1=∠3，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90°，

在Rt△BEF中，∠FEB=90°，

∴tan∠FBE==，

又∵∠APE=∠FBE，

∴sin∠APE=．

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【点评】此题主要考察了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质和相像三角形的判

定与性质等学问，做出正确帮助线构造平行四边形是解题关键．

27．确定在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴

相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于

点D．设点P的横坐标为m．

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕用含m的代数式表示线段CO的长；

〔3〕假设把A、B之间的抛物线〔包含A、B两点〕图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一

个公共点，求b的值．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】〔1〕先依据y轴上点的坐标特征确定B〔0，﹣4〕，再利用勾股定理计算出OA=2，那么A

点坐标为〔﹣2，0〕，然后把A点坐标代入y=ax2﹣4求出a的值即可得到抛物线解析式；

〔2〕依据二次函数图象上点的坐标特征，设P〔m，m2﹣4〕〔m＞2〕，求出直线AP的解析式即可．

〔3〕探讨：当直线y=﹣x+b经过点A〔﹣2，0〕时，y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，当直线y=

﹣x+b经过点B〔0，﹣4〕时，y=﹣x+b与图象G，有2个公共点，由此可以得出b的取值范围；当

假设y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，利用方程﹣x+b=x2﹣4有等根，△=0即可．

【解答】解：如图，

〔1〕当x=0时，y=ax2﹣4=﹣4，那么B〔0，﹣4〕，所以OB=4，

在Rt△OAB中，OA===2，

∴A点坐标为〔﹣2，0〕，

把A〔﹣2，0〕代入y=ax2﹣4得4a﹣4=0，解得a=1，

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∴抛物线解析式为y=x2﹣4；

〔2〕设P〔m，m2﹣4〕〔m＞2〕，

设直线AP的解析式为y=kx+n，

把A〔﹣2，0〕，P〔m，m2﹣4〕代入得，

解得．

故直线AP的解析式为y=〔m﹣2〕x+2m﹣4，

当x=0时，y=〔m﹣2〕x+2m﹣4=2m﹣4，

∴C〔0，2m﹣4〕，

∴OC=2m﹣4；

〔3〕①当直线y=﹣x+b经过点A〔﹣2，0〕时直线与图象G只要一个交点，2+b=0，解得b=﹣2，当

直线y=﹣x+b经过点B〔0，﹣4〕时直线与图象G有两个交点，b=﹣4，

所以当﹣2≤b＜﹣4时，y=﹣x+b与图象G只有一个公共点；

②当方程组有一组解时，y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，那么方程﹣x+b=x2﹣4有等

根，

所以△=1﹣4〔﹣4﹣b〕=0，解得b=﹣，

综上所述：当﹣2≤b＜﹣4或b=﹣时，y=﹣x+b与图象G只有一个公共点．

【点评】此题考察了待定系数法求抛物线解析式、一次函数的性质、勾股定理等学问，理解题意是

解题的关键，第三个问题有点难度，通过特殊点，转化的思想解决．

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28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A

〔1，0〕，B〔2，0〕，C〔2，1〕，D〔1，1〕，那么点O〔0，0〕到正方形ABCD的距离为1．

〔1〕假设⊙P是以〔3，4〕为圆心，1为半径的圆，那么点O〔0，0〕到⊙P的距离为4；

〔2〕①求点M〔3，0〕到直线y=2x+1的距离；

②假设点N〔0，a〕到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是1±3；

〔3〕假设点G〔0，b〕到抛物线y=x2的距离为3，请干脆写出b的值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】〔1〕依据勾股定理可得点O〔0，0〕到⊙P的距离；

〔2〕①过点M作MH⊥l，垂足为点H，通过证明△EOF∽△MHE，由相像三角形的性质可得，

从而得到点M到直线y=2x+1的距离；

②分两种状况：N在F点的上边；N在F点的下边；进展探讨先得到EN的长，进一步即可得到a的

值；

〔3〕分两种状况：①点G在原点下面；②点G在原点上面；进展探讨即可得到b的值．

【解答】解：〔1〕OP==5，

点O〔0，0〕到⊙P的距离为5﹣1=4；

〔2〕①直线y=2x+1记为l，如图1，过点M作MH⊥l，垂足为点H，

设l与x，y轴的交点分别为E，F，那么．

∴．

∵△EOF∽△EHM，

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∴，即．

∴．

∴点M到直线y=2x+1的距离为．

②N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，

∵△EOF∽△NGF，

∴=，即=，

∴a=1+3；

N在F点的下边，

同理可得a=1﹣3；

故．

〔3〕①点G在原点下面，b=﹣3；

②点G在原点上面，=3，

x4+〔1﹣2b〕x2+b2﹣9=0，

△=〔1﹣2b〕2﹣4〔b2﹣9〕=﹣4b+37=0，

解得．

故b的值是﹣3或．

故答案为：4；1±3．

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【点评】考察了二次函数综合题，涉及的学问点有：勾股定理，相像三角形的判定和性质，根与判

别式的关系，两点间的距离公式，方程思想，分类思想，综合性较强，有必需的难度．

29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经

过点A和点C〔4，0〕．

〔1〕求该抛物线的表达式．

〔2〕连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判定点D是否在该抛物线上，并说明理由．

〔3〕在〔2〕的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，

①求圆心M的坐标；

②假设直线AP与⊙M相切，P为切点，干脆写出点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】〔1〕依据题意可知A〔﹣1，0〕，B〔0，2〕，待定系数法求出a和b的值，进而求出抛

物线的解析式；

〔2〕过点D作DF垂直x轴于点F，利用三角形相像求出D点坐标，进而作出判定；

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〔3〕①设DE与y轴的交点为M′，证明M′和M重合，进而求出M点的坐标；②分别设出圆的方程

以及切线的方程，联立方程组求出k的值，进而求出点P的坐标．

【解答】解：〔1〕依题意，可知A〔﹣1，0〕，B〔0，2〕．

∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A，C〔4，0〕，

∴，

解得，

∴y=x2﹣x﹣；

〔2〕点D在该抛物线上．

依题意，可得BO=2，CO=4．

过点D作DF垂直x轴于点F，如图1，

∴△CDF∽△CBO．

∴．

∴DF=4，OF=CF﹣OC=4．

∴D〔﹣4，4〕．

∵×〔﹣4〕2﹣×〔﹣4〕﹣=4，

∴点D在该抛物线上．

〔3〕①由题意可知E〔4，10〕．

设DE与y轴的交点为M′，

∵M′B∥EC，

∴．

∴DM′=EM′．

∴M′即⊙M的圆心M．

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∴BM=EC=5．

∴M〔0，7〕．

②如图2，设圆的方程为x2+〔y﹣7〕2=25，切线方程为ky=x+1，

联立两方程得到：〔ky﹣1〕2+〔y﹣7〕2=25，

即〔k2+1〕y2﹣〔2k+14〕y+25=0，

△=12k2﹣7k﹣12=0，

解得k=或k=﹣，

当k=﹣时，解得y=4，

当x=4时，x=﹣4，

即切点坐标为〔﹣4，4〕；

当k=时，联立方程组解得y=3，

当y=3时，x=3，

此时的切点坐标为〔3，3〕；

综上：点P的坐标是〔﹣4，4〕或〔3，3〕．

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【点评】此题考察了二次函数综合题的学问，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式，相像三角

形的判定与性质、圆的学问，解答〔2〕问关键是求出点D的坐标，解答〔3〕问关键是正确地画出

图形．