2012年高考

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A，{(,)|,,}BxyxAyAxyA，则B中所含元素的个数为

（A）3（B）6（C）8（D）10

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1

名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（A）12种（B）10种（C）9种（D）8种

（3）下面是关于复数

2

1

z

i





的四个命题

1

p：||2z

2

p:22zi

3

p:z的共轭复数为1i

4

p：z的虚部为1

其中真命题为

(A)

2

p,

3

p（B）

1

p,

2

p（C）

2

p，

4

p（D）

3

p,

4

p

（4）设

12

,FF是椭圆

22

22

:1(0)

xy

Eab

ab

的左、右焦点，P为

直线

3

2

a

x上的一点，

21

FPF是底角为30的等腰三角形，则

E的离心率为

(A)

1

2

(B)

2

3

(C)

3

4

(D)

4

5

（5）已知

{}

n

a为等比数列，

47

2aa，

56

8aa，则

110

aa

(A)7(B)5(C)5(D)7

（6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)NN

和实数

12

,,...,

N

aaa输入,AB,则

(A)AB为

12

,,...,

N

aaa的和

（B）

2

AB

为

12

,,...,

N

aaa的算式平均数

（C）A和B分别是

12

,,...,

N

aaa中最大的数和最小的数

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（D）A和B分别是

12

,,...,

N

aaa中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某

几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6(B)9（C）12（D）18

（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在

x

轴上，C与抛物线216yx的准线交于,AB两点，

||43AB，则

C

的

实轴长为

（A）2（B）22（C）4（D）8

（9）已知

0

，函数()sin()

4

fxx



在,

2











单调递减，则的取值范围

(A)

15

[,]

24

(B)

13

[,]

24

(C)

1

(0,]

2

(D)(0,2]

（10）已知函数

1

()

ln(1)

fx

xx





，则()yfx的图像大致为

（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为O

的直径，且2SC，则此棱锥的体积为

(A)

2

6

(B)

3

6

(C)

2

3

(D)

2

2

（12）设点P在曲线

1

2

xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则||PQ的最小值为

(A)1ln2(B)2(1ln2)(C)1ln2(D)2(1ln2)

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第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22

题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,ab夹角为45°，且

||1,|2|10aab

，则b____________.

（14）设,xy满足约束条件

1,

3,

0,

0,

xy

xy

x

y























则2zxy的取值范围为__________.

（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布

2(1000,50)N，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的

概率为_________________.

(16)数列

n

a满足

1

(1)21n

nn

aan





，则

n

a的前60项和为________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，

cos3sin0aCaCbc

.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若2a，ABC的面积为

3

，求,bc.

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不

完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量

n

（单位：枝，nN）

的函数解析式;

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量

n

920

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频数10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及

方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱

111

ABCABC中，

1

1

2

ACBCAA，D是棱

1

AA的

中点，

1

DCBD。

（1）证明：

1

DCBC；

（2）求二面角

11

ABDC的大小.

（20）（本小题满分12分）

设抛物线22(0)Cxpyp：的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半

径的圆F交l于,BD两点.

（1）若90BFD，ABD的面积为

42

，求p的值及圆F的方程；

（2）若,,ABF三点在同一直线

m

上，直线

n

与

m

平行，且

n

与C之有一个公共点，求坐标原点到

,mn距离的比值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数()fx满足12

1

()(1)(0)

2

xfxfefxx.

（1）求()fx的解析式及单调区间；

（2）若2

1

()

2

fxxaxb，求(1)ab的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的

第一题计分。作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，,DE分别为ABC边,ABAC的中点，直线DE交ABC的

外接圆于,FG两点，若//CFAB，证明：

（Ⅰ）CDBC；

G

F

E

D

C

B

A

B

1

C

1

A

1

D

C

A

B

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（Ⅱ）BCDGBD∽

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线

1

C的参数方程式

2cos

3sin

x

y















（为参数），以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立

坐标系，曲线

2

C的极坐标方程式2.正方形ABCD的顶点都在

2

C上，且,,,ABCD依逆时针次序

排列，点Ａ的极坐标为2,

2









.

（Ⅰ）求点,,,ABCD的直角坐标；

（Ⅱ）设P为

1

C上任意一点，求2222||||||||PAPBPCPD的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数()|||2|fxxax

（Ⅰ）当3a时，求不等式()3fx的解集；

（2）若()|4|fxx的解集包含[1,2]求

a

的取值范围.

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理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

（1）【解析】选D

5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共10个

（2）【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：12

24

12CC种

（3）【解析】选C

22(1)

1

1(1)(1)

i

zi

iii







1

:2pz，2

2

:2pzi，

3

:pz的共轭复数为1i，

4

:pz的虚部为1

（4）【解析】选C



21

FPF是底角为30的等腰三角形

221

33

2()2

24

c

PFFFacce

a



（5）【解析】选D

47

2aa，

564747

84,2aaaaaa或

47

2,4aa

47110110

4,28,17aaaaaa

47101110

2,48,17aaaaaa

（6）【解析】选C

（7）【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3

此几何体的体积为

11

6339

32

V

（8）【解析】选C

设222:(0)Cxyaa交xy162的准线:4lx于(4,23)A(4,23)B

得：222(4)(23)4224aaa

（9）【解析】选A

59

2()[,]

444

x



不合题意排除()D

35

1()[,]

444

x



合题意排除()()BC

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另：()2

2



，

3

()[,][,]

424422

x





得：

315

,

2424224





（10）【解析】选B

()ln(1)()

1

()010,()00()(0)0

x

gxxxgx

x

gxxgxxgxg











得：0x或10x均有()0fx排除,,ACD

（11）【解析】选A

ABC的外接圆的半径

3

3

r，点O到面ABC的距离22

6

3

dRr

SC为球O的直径点S到面ABC的距离为

26

2

3

d

此棱锥的体积为

113262

2

33436ABC

VSd





另：

13

2

36ABC

VSR



排除,,BCD

（12）【解析】选A

函数

1

2

xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称

函数

1

2

xye上的点

1

(,)

2

xPxe到直线yx的距离为

1

2

2

xex

d





设函数

minmin

111ln2

()()1()1ln2

22

2

xxgxexgxegxd







由图象关于yx对称得：PQ最小值为

min

22(1ln2)d

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）【解析】_____b

32

2

2210(2)1044cos451032ababbbb

(14)【解析】2zxy的取值范围为[3,3]

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约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC

则2[3,3]zxy

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

3

8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

1

2

p

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2

1

3

1(1)

4

Pp

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

21

3

8

ppp

（16）【解析】{}

n

a的前60项和为1830

可证明：

42424

1616

nnnnnnnnnn

baaaaaaaab





1123415

1514

1

2

baaaaS





三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）【解析】（1）由正弦定理得：

cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC

sincos3sinsinsin()sin

1

3sincos1sin(30)

2

303060

ACACaCC

AAA

AA











（2）

1

sin34

2

SbcAbc

2222cos4abcbcAbc

解得：2bc（lfxlby）

18.【解析】（1）当16n时，16(105)80y

当15n时，55(16)1080ynnn

得：

1080(15)

()

80(16)

nn

ynN

n













（2）（i）X可取60，70，80

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(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7PXPXPX

X的分布列为

X

607080

P

0.10.20.7

600.1700.2800.776EX

222160.160.240.744DX

（ii）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y

76.476得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在RtDAC中，ADAC

得：45ADC

同理：

111

4590ADCCDC

得：

111

,DCDCDCBDDC面

1

BCDDCBC

（2）

11

,DCBCCCBCBC面

11

ACCABCAC

取

11

AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接

11

,COCH

1111111

ACBCCOAB，面

111

ABC面

1

ABD

1

CO面

1

ABD

1

OHBDCHBD得：点H与点D重合

且

1

CDO是二面角

11

CBDA的平面角

设ACa，则

1

2

2

a

CO，

111

2230CDaCOCDO

既二面角

11

CBDA的大小为30

（20）【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp

点

A

到准线

l

的距离

2dFAFBp

1

42422

2ABD

SBDdp





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圆F的方程为22(1)8xy

（2）由对称性设

2

0

00

(,)(0)

2

x

Axx

p

，则(0,)

2

p

F

点,AB关于点F对称得：

22

22

00

00

(,)3

222

xx

p

Bxppxp

pp



得：

3

(3,)

2

p

Ap，直线

3

3

22

:30

22

3

pp

pp

myxxy

p





2

2

33

2

233

xx

xpyyyxp

pp



切点

3

(,)

36

pp

P

直线

333

:()30

6336

pp

nyxxyp

坐标原点到,mn距离的比值为

33

:3

26

pp

。

（21）【解析】（1）121

1

()(1)(0)()(1)(0)

2

xxfxfefxxfxfefx



令1x得：(0)1f

121

1

()(1)(0)(1)1(1)

2

xfxfexxffefe



得：2

1

()()()1

2

xxfxexxgxfxex





()10()xgxeygx



在xR上单调递增

()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx





得：()fx的解析式为2

1

()

2

xfxexx

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且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)

（2）2

1

()()(1)0

2

xfxxaxbhxeaxb得()(1)xhxea





①当10a时，()0()hxyhx



在xR上单调递增

x时，()hx与()0hx矛盾

②当10a时，()0ln(1),()0ln(1)hxxahxxa





得：当ln(1)xa时，

min

()(1)(1)ln(1)0hxaaab

22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa

令22()ln(0)Fxxxxx；则()(12ln)Fxxx





()00,()0FxxeFxxe





当xe时，

max

()

2

e

Fx

当1,aebe时，(1)ab的最大值为

2

e

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（22）【解析】（1）//CFAB，//////DFBCCFBDADCDBF

//CFABAFBCBCCD

（2）//BCGFBGFCBD

//BCGFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

（23）【解析】（1）点,,,ABCD的极坐标为

5411

(2,),(2,),(2,),(2,)

3636



点,,,ABCD的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)

（2）设

00

(,)Pxy；则0

0

2cos

()

3sin

x

y

















为参数

2222

224440tPAPBPCPDxy

25620sin[56,76]（lfxlby）

（24）【解析】（1）当3a时，()3323fxxx

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2

323

x

xx













或

23

323

x

xx













或

3

323

x

xx













1x或4x

（2）原命题()4fxx在[1,2]上恒成立

24xaxx在[1,2]上恒成立

22xax在[1,2]上恒成立

30a