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高一数学第四讲：集合

教学目的：1、使学生了解集合的概念、性质及表示方法

2、明确两集合之间的包含关系、等集的概念

3、理解交集与并集的运算

4、全集与补集

教学重点、难点：（1）集合的表示方法；

（2）子集及集合相等；

（3）交集与并集运算

教学过程

一、集合：

1、集合的描述：某些确定的对象的全体。

2、集合的元素：构成集合的每一个对象。（可代表任何事物）

如：人、物、数、图形、式子、集合。

3、字母标记：

（1）集合——大写字母；

（2）元素——小写字母。

4、元素与集合的关系

aA

，

bB

5、集合中元素具有的特性：

（1）确定性

（2）互异性

（3）无序性

6、常用数集的特定字母表示。

（1）自然数集（包含0，非负整数集）——N。5,2,0NNN

（2）正整数集——,NN



（3）整数集——Z；

（4）有理数集——Q；

（5）实数集——R(正实数集R



)

7、集合的分类：（分类标准——元素多少）

（1）有限集；（2）无限集；（3）空集：无元素集合。

特别地：单元素集，空集：

2

二、集合的表示法：

1、列举法：将集合中元素一一列出，用逗号隔开，写在大括号内的方法。

如{1,2}，{（0,0），（1,2）}等。

2、描述法：把集合中的元素的特征性质描述出来，写在大括号内表示集合的方

法。

描述法:{xx具有性质P}

区间：

{|23}(2,3)xx

，

{|23}[2,3]xx

，

{|23}[2,3)xx

，

{|23}(2,3]xx

，

{|3}(3,)xx

，

{|3}(,3]xx

，

(,)

等

3、文氏图法（维恩图）：用圆圈或封闭曲线表示集合。

注意：（1）如何选择集合的表示法；

（2）同一集合的不同表示法。

例1、用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集。

（1）到A、B两点距离相等的点的集合

（2）满足不等式21x的x的集合

（3）全体偶数

（4）被5除余1的数

（5）20以内的质数

（6）

{(,)|6,*,*}xyxyxNyN

（7）方程()0,xxaaR的解集

解：(6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)

(7)000,0aaa时，；时，

例2、下列集合是否有区别？

（1）1xyx

；

（2）1yyx

；

（3）(,)1xyyx

（4）(,)

yx

xy

yx



















；

3

（5）(,)xyyxyx或

解：（1）|1xx（2）|0yy（3）点集（4）(0,0)

（5）直线yx和yx上所有的点构成的点集

例3、已知集合2{|320,}AxaxxaR，若集合A中的元素至多有一个，

求a的取值范围。

解：当0a时，2320axx的解

2

3

x

，A中只有一个元素

2

3

；

当0a时，2320axx的解一定是两个相等的实根，故

9

980

8

aa

综上，0a或

9

8

a

三、集合与集合的关系

1、子集：

概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元

素都是集合B的元素，我们就说A包含于B，或B包含A，记作AB，

这时也说集合A是集合B的子集。用维恩图表示为右。

性质：1）自反性：AA

2）对称性：若BA，则AB

3）传递性：若AB，BC，则AC

规定：空集是任何集合的子集。即对于任何一个集合A，有φA。

例4、下列集合间是否有包含关系？

（1）A=1,2,3，B=1,2,3,4，C=2,3,4

（2）N、Z、Q、R

（3）A=31xx，B=41xx

解：（1）,ABCB(2)NZQR（3）

AB

2、集合的相等：若AB且BA，那么这两个集合相等。记作：A=B

思考：两个集合相等时其元素的特点？

3、真子集：若AB且AB，则集A叫集B的真子集。记作：AB

规定：空集是任何一个集合的子集。

A

B

4

真子集的另一种定义：AB，且B中至少有一个元素不属于A。

例5、写出集合

{1,2,3}A

的所有子集和真子集，猜测子集个数与集合A中元素

个数的关系。

解：子集：

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

真子集：

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}

例6、已知集合A=a,3,1，B=2a，并且B是A的真子集，求实数a的取值集合。

分析：BQA，2aA，则有：

（1）211aa，当1a时与元素的互异性不符，1a；

（2）233aa；

（3）20,1aaaa，舍去

1a

，则

0a

；

综上：1,3aa或0a

四、集合之间的运算

1、交集：由属于集合A且属于B的所有元素组成的集合叫作A与B的交集。记

作：AB=BxAxx且

2、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫作A与B的并

集。记作：AB=BxAxx或

3、全集与补集

设U是一个集合，A是U的一个子集（即AU），由U中所有不属于A的元

素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作

U

Að，即

{|,}

U

AxxUxA且ð

思考：1、若AB=B，则AB

2、若AB=B，则AB

3、card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)

例7、已知：2Mxx，220Pxxx

，求,MPMP。

解:220{2,1}Pxxx

，

{|21},{2}MPxxxMP或

例8、已知：A=23xyy，B=42xyy，则AB=，AB=。

5

解：A=23{|0}yyxyy，B=24{|4}yyxyy

则

[0,4],ABABR

例9、已知

aR

，集合21,1AxxBxax，若ABA，求a的值。

解：ABABA而1,1A

当0a时，

B

，符合题意；

当

1a

时，1B，符合题意；

当

1a

时，1B，符合题意。

故

0,1,1a

例10、已知：全集U=xxx23,3,123，A=12,1x，如果{0}

U

Að，则这样

的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由。

解：由于{0}

U

Að，可知

0,0UA

所以32320xxx，且210x解得

0,1,2x

当

0x

时，U=1,3,0，A=1,1舍去；

当

1x

时，U=1,3,0，A=1,3，符合题意；

当

2x

时，U=1,3,0，A=1,5舍去。

综上，1x

小结：1、注意集合中元素互异性的检验

2、判断两个集合关系时，先认清元素类型

3、做集合运算时，尽可能先化简集合

课后练习：

1、已知全集UN



，集合A=



Nnnxx,2，B=



Nnnxx,4，则一定成

6

立的是（C）

A、UABB、()

U

UABð

C、

U

UABðD、()()

UU

UAB痧

2、设集合

11

,,,

2442

kk

MxxkZNxxkZ









，则（B）

A、

MN

B、MNC、MND、

MN

3、A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（B）

A、ABI

I

ðB、II

ABI痧

C、

I

ABðD、III

ABB痧?

4、设U=

+

xxN且x10

，A=,xxUx为质数

，B=,xxUx为奇数

，则

()

U

ABð{4,6,8,10}；()()

UU

AB痧={4,6,8,10}。

5、已知集合A=27,121xxBxmxm

，且

,ABAB

，求

实数m的取值范围。2,4

6、已知全集A=42xx，B=axx。

（1）若AB，求实数a的取值范围；

（2）若ABA，求实数a的取值范围；

（3）若AB且ABA，求实数a的取值范围；

分析：（1）画数轴；（2）注意是否包含端点。

答案：（a<4;a2,

42a

）。