对数函数的运算

对数函数运算公式(总2页)

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3

1、bab

alog

2、bba

a

log

3、N

a

M

a

MN

a

logloglog

4、N

a

M

a

N

M

a

logloglog

5、M

a

M

a

nnloglog

6、M

a

M

annlog

1

log

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]=(M)*(N)

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

4、与（3）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

5、与（3）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

4

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]=(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]