2022-2023
学年福建省厦门市思明区双十中学八年级第一学期期
中数学试卷
一、选择题（本大题有
10
小题，每小题
4
分，共
40
分
.
每小题都有四个选项，其中有且只
有一个选项正确）
1
．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．计算
m3•
m2的结果，正确的是（）
A
．
m2B
．
m3C
．
m5D
．
m6
3
．如图，小华为估计水塘边
A
，
B
两点间的距离，在池塘同侧选取一点
O
，测出点
O
与点
A
间的距离为
15
米，点
O
与点
B
间的距离为
10
米，则
AB
长可能是（）
A
．
5
米
B
．
15
米
C
．
25
米
D
．
30
米
4
．一个
n
边形的内角和为
720
°，则
n
等于（）
A
．
4B
．
5C
．
6D
．
7
5
．如图，直线
m
∥
n
，点
A
在直线
m
上，点
B
、
C
在直线
n
上，
AB
＝
CB
，∠
2
＝
40
°，则
∠
1
等于（）
A
．
70
°
B
．
60
°
C
．
50
°
D
．
40
°
6
．（）2020×（﹣
3
）2021的计算结果是（）
A
．
3B
．﹣
3C
．
D
．﹣
7
．已知，△
ABC
，△
DEF
，△
XYZ
的相关数据如图所示，则（）
A
．△
ABC
≌△
XYZB
．△
DEF
≌△
XYZC
．∠
C
＝∠
ZD
．∠
F
＝
80
°
8
．如图，
D
为△
ABC
边
AB
上一点，连接
CD
，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不
符的是（）
A
．∵∠
A
＝∠
B
（已知）∴
BC
＝
AC
（等角对等边）
B
．∵
AC
＝
BC
，
AD
＝
BD
（已知）∴∠
ACD
＝∠
BCD
（等腰三角形三线合一）
C
．∵
AD
＝
BD
，∠
ACD
＝∠
BCD
（已知）∴
CD
⊥
AB
（等腰三角形三线合一）
D
．∵
AD
＝
BD
，
CD
⊥
AB
（已知）∴
AC
＝
BC
（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点
距离相等）
9
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，尺规作图：（
1
）分别以
B
，
C
为圆心，
BC
长为半径作弧，
两弧交于点
D
；（
2
）作射线
AD
，连接
BD
，
CD
．则下列结论中错误的是（）
A
．∠
BAD
＝∠
CADB
．△
BCD
是等边三角形
C
．
AD
垂直平分
BCD
．
S四边形
ABDC＝
AD
⋅
BC
10
．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三
角形”．现有如下
4
个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是
36
°、
72
°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的
2
倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的
3
倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
二、填空题（本大题有
6
小题，第
11
题每空
2
分，其余每题
4
分，共
26
分）
11
．化简：（
1
）﹣
a+a
＝；（
2
）（
x4）2＝；（
3
）（﹣
2a2b
）3＝．
12
．平面直角坐标系中，点
P
（
3
，
1
）关于
x
轴对称的点的坐标是．
13
．如图，在四边形
ABCD
中，∠
A
＝
90
°，
AD
＝
3
，对角线
BD
平分∠
ABC
，则点
D
到
BC
的距离为．
14
．在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
AB
＝
5
，则
AB
边上中线的长为．
15
．如图，点
F
在正五边形
ABCDE
的内部，△
ABF
为等边三角形，连接
EF
，则∠
AEF
的
度数为．
16
．如图，点
M
在等边△
ABC
的边
BC
上，
BM
＝
8
，射线
CD
⊥
BC
垂足为点
C
，点
P
是射
线
CD
上一动点，点
N
是线段
AB
上一动点，当
MP+NP
的值最小时，
BN
＝
9
，则
AC
的
长为．
三、解答题（本题有
9
小题，共
84
分）
17
．计算：
x4•
x2﹣（
3x3）2．
18
．如图，点
A
、
D
、
C
、
F
在同一条直线上，
BC
＝
EF
，
AD
＝
CF
，
AB
＝
DE
．求证：△
ABC
≌△
DEF
．
19
．如图，△
ABC
在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：
A
（﹣
3
，
1
），
B
（﹣
1
，﹣
2
），
C
（
1
，
3
）．
（
1
）作出△
ABC
关于
y
轴对称的图形△
A
1
B
1
C
1．其中
A
、
B
、
C
分别和
A
1、
B
1、
C
1对应，
则线段
AA
1的长度为：
（
2
）仅用直尺在
x
轴上确定点
P
的位置：使得点
P
到点
A
、点
C
的距离之和最小．
20
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，
AD
平分∠
BAC
交
BC
于点
D
．
（
1
）求证：点
D
在
AB
的垂直平分线上；
（
2
）若
CD
＝
2
，求
BD
的长．
21
．如图，在△
ABC
中，
AC
＝
2AB
．
（
1
）尺规作图：作∠
BAC
的平分线
AD
，交
BC
于点
E
；作线段
AC
的垂直平分线交
AC
于点
F
，交
AD
于点
G
；连接
BG
，
CG
（不写作法，保留作图痕迹）；
（
2
）在（
1
）的条件下，证明：
AB
⊥
BG
．
22
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
为
CA
延长线上一点，且
DE
⊥
BC
交
AB
于点
F
．
（
1
）求证：△
ADF
是等腰三角形；
（
2
）
EF
＝
4
，
F
为
AB
中点，求
DF
的长．
23
．在综合实践课上，老师以“含
30
°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展
如下数学活动；
在等腰三角形纸片
ABC
中，
CA
＝
CB
，∠
ACB
＝
120
°，将一块含
30
°角的足够大的直角
三角尺
PMN
（∠
M
＝
90
°，∠
MPN
＝
30
°）按如图所示放置，顶点
P
在线段
AB
上滑动
（点
P
不与
A
，
B
重合），三角尺的直角边
PM
始终经过点
C
，并与
CB
的夹角为α（∠
PCB
＝α），斜边
PN
交
AC
于点
D
．
（
1
）特例感知
当∠
BPC
＝
110
°时，α＝°，点
P
从
B
向
A
运动时，∠
ADP
逐渐变（填
“大”或“小”）；
（
2
）思维拓展
在点
P
的滑动过程中，△
PCD
的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大
小；若不可以，请说明理由．
24
．如图，在平面直角坐标系中，
A
（﹣
3
，
0
）、
C
（
7
，
0
），
B
为
y
轴正半轴上一点，
D
在第四象限．若
BC
⊥
CD
，
CA
平分∠
BCD
，∠
ABC+
∠
ADC
＝
180
°．
（
1
）直接写出
B
点坐标（，）；
（
2
）求证：
AB
＝
AD
；
（
3
）求四边形
ABCD
的面积．
25
．如图
1
，在等边△
ABC
中，
D
，
E
分别是边
AC
，
BC
上一点，且
AD
＝
CE
，
BD
与
AE
相
交于点
M
．
（
1
）求证：△
ABD
≌△
CAE
；
（
2
）求证：∠
AMD
＝
60
°；
（
3
）如图
2
，连接
CM
，当
BM
＝
2AM
时，求证：
CM
⊥
BM
．
参考答案
一、选择题（本大题有
10
小题，每小题
4
分，共
40
分
.
每小题都有四个选项，其中有且只
有一个选项正确）
1
．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：
A
、是轴对称图形，故本选项正确；
B
、不是轴对称图形，故本选项错误；
C
、不是轴对称图形，故本选项错误；
D
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：
A
．
2
．计算
m3•
m2的结果，正确的是（）
A
．
m2B
．
m3C
．
m5D
．
m6
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：
m3•
m2
＝
m3+2
＝
m5．
故选：
C
．
3
．如图，小华为估计水塘边
A
，
B
两点间的距离，在池塘同侧选取一点
O
，测出点
O
与点
A
间的距离为
15
米，点
O
与点
B
间的距离为
10
米，则
AB
长可能是（）
A
．
5
米
B
．
15
米
C
．
25
米
D
．
30
米
【分析】应用三角形三边的关系，两边之和大于第三边两边之差小于第三边，进行计算
即可得出答案．
解：根据题意可得，
15
﹣
10
＜
AB
＜
15+10
，
即：
5
＜
AB
＜
25
．
∴
AB
长可能是
15
米．
故选：
B
．
4
．一个
n
边形的内角和为
720
°，则
n
等于（）
A
．
4B
．
5C
．
6D
．
7
【分析】多边形的内角和可以表示成（
n
﹣
2
）•
180
°，依此列方程可求解．
解：依题意有：
（
n
﹣
2
）•
180
°＝
720
°，
解得
n
＝
6
．
故答案为：
C
．
5
．如图，直线
m
∥
n
，点
A
在直线
m
上，点
B
、
C
在直线
n
上，
AB
＝
CB
，∠
2
＝
40
°，则
∠
1
等于（）
A
．
70
°
B
．
60
°
C
．
50
°
D
．
40
°
【分析】根据平行线的性质求出∠
ABC
＝∠
2
＝
40
°，根据等腰三角形的性质得出∠
BCA
＝
70
°，根据平行线的性质即可得解．
解：∵
m
∥
n
，∠
2
＝
40
°，
∴∠
ABC
＝∠
2
＝
40
°，∠
1
＝∠
BCA
，
∵
AB
＝
CB
，
∴∠
BAC
＝∠
BCA
＝×（
180
°﹣∠
ABC
）＝
70
°，
∴∠
1
＝
70
°，
故选：
A
．
6
．（）2020×（﹣
3
）2021的计算结果是（）
A
．
3B
．﹣
3C
．
D
．﹣
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（）2020×（﹣
3
）2021
＝（）2020×（﹣
3
）2020×（﹣
3
）
＝（﹣）2020×（﹣
3
）
＝（﹣
1
）2020×（﹣
3
）
＝
1
×（﹣
3
）
＝﹣
3
．
故选：
B
．
7
．已知，△
ABC
，△
DEF
，△
XYZ
的相关数据如图所示，则（）
A
．△
ABC
≌△
XYZB
．△
DEF
≌△
XYZC
．∠
C
＝∠
ZD
．∠
F
＝
80
°
【分析】根据全等三角形的判定方法对
A
、
B
选项进行判断；根据三角形内角和定理对
C
、
D
选项进行判断．
解：∵∠
A
＝∠
X
，∠
B
＝∠
Y
，
而
AB
≠
XY
，
∴不能判断△
ABC
≌△
XYZ
；所以
A
选项不符合题意；
在△
XYZ
中，∠
Z
＝
180
°﹣∠
X
﹣∠
Y
＝
180
°﹣
70
°﹣
30
°＝
80
°，
∵∠
D
＝∠
Z
，
而
EF
≠
XY
，
∴不能判断△
DEF
≌△
XYZ
；所以
B
选项不符合题意；
在△
ABC
中，∠
C
＝
180
°﹣∠
A
﹣∠
B
＝
180
°﹣
70
°﹣
30
°＝
80
°，
∴∠
C
＝∠
Z
，所以
C
选项符合题意；
在△
DEF
中，∠
F
＝
180
°﹣∠
D
﹣∠
E
＝
180
°﹣
80
°﹣
30
°＝
70
°，所以
D
选项不符合
题意．
故选：
C
．
8
．如图，
D
为△
ABC
边
AB
上一点，连接
CD
，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不
符的是（）
A
．∵∠
A
＝∠
B
（已知）∴
BC
＝
AC
（等角对等边）
B
．∵
AC
＝
BC
，
AD
＝
BD
（已知）∴∠
ACD
＝∠
BCD
（等腰三角形三线合一）
C
．∵
AD
＝
BD
，∠
ACD
＝∠
BCD
（已知）∴
CD
⊥
AB
（等腰三角形三线合一）
D
．∵
AD
＝
BD
，
CD
⊥
AB
（已知）∴
AC
＝
BC
（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点
距离相等）
【分析】根据等角对等边以及等腰三角形的三线合一定理、线段垂直平分线的性质逐一
判断即可得到答案．
解：
A
．∵∠
A
＝∠
B
（已知），
∴
BC
＝
AC
（等角对等边），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
B
．∵
AC
＝
BC
，
AD
＝
BD
（已知），
∴∠
ACD
＝∠
BCD
（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
C
．∵
AD
＝
BD
，∠
ACD
＝∠
BCD
（已知），
∴
CD
⊥
AB
（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符，符合题意；
D
．∵
AD
＝
BD
，
CD
⊥
AB
（已知），
∴
AC
＝
BC
（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
因果关系与所填依据相符，不符合题意；
故选：
C
．
9
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，尺规作图：（
1
）分别以
B
，
C
为圆心，
BC
长为半径作弧，
两弧交于点
D
；（
2
）作射线
AD
，连接
BD
，
CD
．则下列结论中错误的是（）
A
．∠
BAD
＝∠
CADB
．△
BCD
是等边三角形
C
．
AD
垂直平分
BCD
．
S四边形
ABDC＝
AD
⋅
BC
【分析】根据作图方法可得
BC
＝
BD
＝
CD
，进而可得△
BCD
是等边三角形，再利用垂直
平分线的判定方法可得
AD
垂直平分
BC
，利用等腰三角形的性质可得∠
BAD
＝∠
CAD
，
利用面积公式可计算四边形
ABDC
的面积．
解：根据作图方法可得
BC
＝
BD
＝
CD
，
∵
BD
＝
CD
，
∴点
D
在
BC
的垂直平分线上，
∵
AB
＝
AC
，
∴点
A
在
BC
的垂直平分线上，
∴
AD
是
BC
的垂直平分线，故
C
结论正确；
∴
O
为
BC
中点，
∴
AO
是△
BAC
的中线，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
BAD
＝∠
CAD
，故
A
结论正确；
∵
BC
＝
BD
＝
CD
，
∴△
BCD
是等边三角形，故
B
结论正确；
∵四边形
ABDC
的面积＝
S
△
BCD
+S
△
ABC＝
BC
•
DO+BC
•
AO
＝
BC
•
AD
，故
D
选项错
误，
故选：
D
．
10
．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三
角形”．现有如下
4
个结论：
①若一个三角形的两个内角分别是
36
°、
72
°，则这个三角形是“双腰三角形”
②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”
⑧若一个三角形的一个内角是另一个内角的
2
倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
④若一个三角形的一个内角是另一个内角的
3
倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”
其中正确的个数为（）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
【分析】根据“双腰三角形”的定义，指出分割线即可．
解：①根据三角形内角和为
180
°，可以求出第三个角为
72
°，即为等腰三角形，
作一个底角的角平分线，该线把三角形分成两个等腰三角形，故结论①正确；
②连接直角顶点和斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即这条线段把
三角形分成两个等腰三角形．故结论②正确；
③如图，∠
C
＝α，∠
A
＝
2
α，
作∠
DBC
＝α，交
AC
于
D
，
∵∠
ADB
＝∠
C+
∠
DBC
＝
2
α＝∠
A
，
∴
BD
分成的两个三角形都是等腰三角形，故结论③正确；
④如图，设∠
C
＝α，∠
ABC
＝
3
α，
作
BC
的中垂线交
AC
于
D
，连接
BD
，则
BD
＝
DC
，
∴∠
DBC
＝∠
C
＝α，
由三角形外角的性质可知，∠
ADB
＝
2
α，
而∠
ABD
＝
3
α﹣α＝
2
α，
∴两个三角形都是等腰三角形，故结论④正确．
故选：
D
．
二、填空题（本大题有
6
小题，第
11
题每空
2
分，其余每题
4
分，共
26
分）
11
．化简：（
1
）﹣
a+a
＝
0
；（
2
）（
x4）2＝
x8；（
3
）（﹣
2a2b
）3＝﹣
8a6b3．
【分析】（
1
）利用合并同类项的法则运算即可；
（
2
）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（
3
）利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（
1
）﹣
a+a
＝（﹣
1+1
）
a
＝
0
；
故答案为：
0
；
（
2
）（
x4）2
＝
x4×2
＝
x8；
故答案为：
x8；
（
3
）（﹣
2a2b
）3
＝（﹣
2
）3×（
a2）3b3
＝﹣
8a6b3．
故答案为：﹣
8a6b3．
12
．平面直角坐标系中，点
P
（
3
，
1
）关于
x
轴对称的点的坐标是（
3
，﹣
1
）．
【分析】直接利用关于
x
轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解答即可．
解：平面直角坐标系中，点
P
（
3
，
1
）关于
x
轴对称的点的坐标是（
3
，﹣
1
）．
故答案为：（
3
，﹣
1
）．
13
．如图，在四边形
ABCD
中，∠
A
＝
90
°，
AD
＝
3
，对角线
BD
平分∠
ABC
，则点
D
到
BC
的距离为
3
．
【分析】由∠
A
＝
90
°，
AD
＝
3
可得点
D
到
AB
距离等于
3
，再由
BD
平分∠
ABC
及角平
分线的的性质求解．
解：∵
BD
为∠
ABC
的角平分线，
∴点
D
到
AB
，
BC
的距离相等，
∵∠
A
＝
90
°，
AD
＝
3
，
∴点
D
到
BC
的距离为
3
，
故答案为：
3
．
14
．在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
AB
＝
5
，则
AB
边上中线的长为．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出
AD
＝
DB
，进而利用等腰三角形的性质得出
CD
，
进而利用勾股定理解答即可．
解：如图：
CD
是
AB
边上中线，
∵∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
AB
＝
5
，
∴
AD
＝
BD
＝
AB
＝，
∵
CD
⊥
AB
，∠
ACD
＝∠
BCD
＝＝
45
°，
∴∠
A
＝∠
ACD
＝
45
°，
∴
AD
＝
CD
＝．
故答案为：．
15
．如图，点
F
在正五边形
ABCDE
的内部，△
ABF
为等边三角形，连接
EF
，则∠
AEF
的
度数为
66
°．
【分析】根据等边三角形的性质得到
AF
＝
BF
＝
AB
，∠
AFB
＝∠
ABF
＝
60
°，由正五边形
的性质得到
AB
＝
AE
，∠
BAE
＝
108
°，等量代换得到
AF
＝
AE
，∠
FAE
＝
48
°，根据三角
形的内角和即可得到结论．
解：∵△
ABF
是等边三角形，
∴
AF
＝
BF
＝
AB
，∠
AFB
＝∠
BAF
＝
60
°，
在正五边形
ABCDE
中，
AB
＝
AE
，∠
BAE
＝＝
108
°，
∴
AF
＝
AE
，∠
FAE
＝∠
BAE
﹣∠
BAF
＝
48
°，
∴∠
AEF
＝（
180
°﹣∠
FAE
）＝
66
°．
故答案为：
66
°．
16
．如图，点
M
在等边△
ABC
的边
BC
上，
BM
＝
8
，射线
CD
⊥
BC
垂足为点
C
，点
P
是射
线
CD
上一动点，点
N
是线段
AB
上一动点，当
MP+NP
的值最小时，
BN
＝
9
，则
AC
的
长为
13
．
【分析】根据等边三角形的性质得到
AC
＝
BC
，∠
B
＝
60
°，作点
M
关于直线
CD
的对称
点
G
，过
G
作
GN
⊥
AB
于
N
，交
CD
于
P
，则此时，
MP+PN
的值最小，根据直角三角形
的性质得到
BG
＝
2BN
＝
18
，求得
MG
＝
10
，于是得到结论．
解：∵△
ABC
是等边三角形，
∴
AC
＝
BC
，∠
B
＝
60
°，
作点
M
关于直线
CD
的对称点
G
，过
G
作
GN
⊥
AB
于
N
，交
CD
于
P
，
则此时，
MP+PN
的值最小，
∵∠
B
＝
60
°，∠
BNG
＝
90
°，
∴∠
G
＝
30
°，
∵
BN
＝
9
，
∴
BG
＝
2BN
＝
18
，
∴
MG
＝
10
，
∴
CM
＝
CG
＝
5
，
∴
AC
＝
BC
＝
13
，
故答案为：
13
．
三、解答题（本题有
9
小题，共
84
分）
17
．计算：
x4•
x2﹣（
3x3）2．
【分析】先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可．
解：
x4•
x2﹣（
3x3）2
＝
x6﹣
9x6
＝﹣
8x6．
18
．如图，点
A
、
D
、
C
、
F
在同一条直线上，
BC
＝
EF
，
AD
＝
CF
，
AB
＝
DE
．求证：△
ABC
≌△
DEF
．
【分析】由
AD
＝
CF
，根据等式性质得
AC
＝
DF
，再根据
SSS
定理得到结论．
【解答】证明：∵
AD
＝
CF
，
∴
AD+DC
＝
CF+DC
，
即
AC
＝
DF
，
在△
ABC
和△
DEF
中，
，
∴△
ABC
≌△
DEF
（
SSS
）．
19
．如图，△
ABC
在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：
A
（﹣
3
，
1
），
B
（﹣
1
，﹣
2
），
C
（
1
，
3
）．
（
1
）作出△
ABC
关于
y
轴对称的图形△
A
1
B
1
C
1．其中
A
、
B
、
C
分别和
A
1、
B
1、
C
1对应，
则线段
AA
1的长度为
6
：
（
2
）仅用直尺在
x
轴上确定点
P
的位置：使得点
P
到点
A
、点
C
的距离之和最小．
【分析】（
1
）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，根据图象直接得出
AA
1的长
度；
（
2
）作点
A
关于
x
轴的对称点
A'
，连接
A'C
交
x
轴于点
P
，则点
P
即为所求．
解：如图所示，△
A
1
B
1
C
1即为所求，线段
AA
1的长度为
6
，
故答案为：
6
；
（
2
）点
P
的位置如图所示．
20
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，
AD
平分∠
BAC
交
BC
于点
D
．
（
1
）求证：点
D
在
AB
的垂直平分线上；
（
2
）若
CD
＝
2
，求
BD
的长．
【分析】（
1
）根据题意和角平分线的定义，可以得到∠
B
和∠
BAD
的关系，然后即可得
到
BD
和
AD
的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立；
（
2
）根据
30
°角所对的直角边和斜边的关系，可以得到
BD
的长．
【解答】（
1
）证明：∵∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，
AD
平分∠
BAC
，
∴∠
BAC
＝
60
°，∠
DAB
＝
30
°，
∴∠
B
＝∠
BAD
，
∴
DB
＝
DA
，
∴点
D
在
AB
的垂直平分线上；
（
2
）解：∵∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，
AD
平分∠
BAC
，
∴∠
BAC
＝
60
°，∠
DAC
＝
30
°，
∵
CD
＝
2
，
∴
AD
＝
4
，
由（
1
）知：
BD
＝
AD
，
∴
BD
＝
4
．
21
．如图，在△
ABC
中，
AC
＝
2AB
．
（
1
）尺规作图：作∠
BAC
的平分线
AD
，交
BC
于点
E
；作线段
AC
的垂直平分线交
AC
于点
F
，交
AD
于点
G
；连接
BG
，
CG
（不写作法，保留作图痕迹）；
（
2
）在（
1
）的条件下，证明：
AB
⊥
BG
．
【分析】（
1
）根据要求作出图形即可；
（
2
）证明△
AGB
≌△
AGF
，可得结论．
【解答】（
1
）解：图形如图所示：
（
2
）证明：由作图可知
AF
＝
FC
，∠
AFG
＝
90
°，∠
BAG
＝∠
FAG
，
∵
AC
＝
2AB
，
∴
AB
＝
AF
，
在△
AGB
和△
AGF
中，
，
∴△
AGF
≌△
AGB
（
SAS
），
∴∠
AFG
＝∠
ABG
＝
90
°，
∴
AB
⊥
BG
．
22
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
为
CA
延长线上一点，且
DE
⊥
BC
交
AB
于点
F
．
（
1
）求证：△
ADF
是等腰三角形；
（
2
）
EF
＝
4
，
F
为
AB
中点，求
DF
的长．
【分析】（
1
）利用等腰三角形的性质可得∠
B
＝∠
C
，再利用等角的余角相等证明∠
D
＝
∠
AFD
即可解答；
（
2
）由（
1
）得△
ADF
是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点
A
作
AG
⊥
DE
，垂足为
G
，先在
Rt
△
BEF
中，利用勾股定理求出
EF
的长，然后证明△
AGF
≌△
BEF
即可解答．
【解答】（
1
）证明：∵
AB
＝
AC
，
∴∠
B
＝∠
C
，
∵
DE
⊥
BC
，
∴∠
DEC
＝∠
DEB
＝
90
°，
∴∠
B+
∠
BFE
＝
90
°，∠
C+
∠
D
＝
90
°，
∴∠
D
＝∠
BFE
，
∵∠
BFE
＝∠
AFD
，
∴∠
D
＝∠
AFD
，
∴
AD
＝
AF
，
∴△
ADF
是等腰三角形；
（
2
）过点
A
作
AG
⊥
DE
，垂足为
G
，
∵
AB
＝
AC
，
EF
＝
4
，
∴
BF2＝
BE2+EF2，
∵
F
为
AB
中点，
∴
AF
＝
BF
＝
AB
，
在
Rt
△
BFE
和△
AFG
中，
∵∠
AGF
＝∠
BEF
＝
90
°，∠
AFG
＝∠
BFE
，
∴△
AFG
≌△
BFE
（
AAS
），
∴
GF
＝
EF
＝
4
，
∵
AD
＝
AF
，
AG
⊥
DF
，
∴
DF
＝
2GF
＝
8
．
23
．在综合实践课上，老师以“含
30
°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展
如下数学活动；
在等腰三角形纸片
ABC
中，
CA
＝
CB
，∠
ACB
＝
120
°，将一块含
30
°角的足够大的直角
三角尺
PMN
（∠
M
＝
90
°，∠
MPN
＝
30
°）按如图所示放置，顶点
P
在线段
AB
上滑动
（点
P
不与
A
，
B
重合），三角尺的直角边
PM
始终经过点
C
，并与
CB
的夹角为α（∠
PCB
＝α），斜边
PN
交
AC
于点
D
．
（
1
）特例感知
当∠
BPC
＝
110
°时，α＝
40
°，点
P
从
B
向
A
运动时，∠
ADP
逐渐变小（填
“大”或“小”）；
（
2
）思维拓展
在点
P
的滑动过程中，△
PCD
的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大
小；若不可以，请说明理由．
【分析】（
1
）根据等腰三角形的性质可得∠
B
＝
30
°，进而可以解决问题；
（
2
）点
P
在滑动时，△
PCD
的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当
PC
＝
PD
；
PD
＝
CD
；
PC
＝
CD
，分别求出夹角α的大小即可．
解：（
1
）当∠
BPC
＝
110
°时，α＝
40
°，点
P
从
B
向
A
运动时，∠
ADP
逐渐变小．
理由如下：
∵
CA
＝
CB
，∠
ACB
＝
120
°，
∴∠
B
＝
30
°，
∴α＝
180
°﹣
110
°﹣
30
°＝
40
°；
故答案为：
40
，小；
（
2
）∵△
PCD
是等腰三角形，
∠
PCD
＝
120
°﹣α，∠
CPD
＝
30
°，
①当
PC
＝
PD
时，
∴∠
PCD
＝∠
PDC
＝（
180
°﹣
30
°）＝
75
°，
即
120
°﹣α＝
75
°，
∴∠α＝
45
°；
②当
PD
＝
CD
时，△
PCD
是等腰三角形，
∴∠
PCD
＝∠
CPD
＝
30
°，即
120
°﹣α＝
30
°，
∴α＝
90
°；
③当
PC
＝
CD
时，△
PCD
是等腰三角形，
∴∠
CDP
＝∠
CPD
＝
30
°，
∴∠
PCD
＝
180
°﹣
2
×
30
°＝
120
°，
即
120
°﹣α＝
120
°，
∴α＝
0
°，
此时点
P
与点
B
重合，点
D
和
A
重合，
∵点
P
不与
A
，
B
重合，
∴α＝
0
°，舍去，
综合所述：当△
PCD
是等腰三角形时，α＝
45
°或
90
°．
24
．如图，在平面直角坐标系中，
A
（﹣
3
，
0
）、
C
（
7
，
0
），
B
为
y
轴正半轴上一点，
D
在第四象限．若
BC
⊥
CD
，
CA
平分∠
BCD
，∠
ABC+
∠
ADC
＝
180
°．
（
1
）直接写出
B
点坐标（
0
，
7
）；
（
2
）求证：
AB
＝
AD
；
（
3
）求四边形
ABCD
的面积．
【分析】（
1
）证明△
OBC
是等腰直角三角形，可得结论；
（
2
）过点
A
作
AM
⊥
BC
于点
M
，
AN
⊥
CD
，交
CD
的延长线于点
N
．证明△
AMB
≌△
AND
（
AAS
），可得结论；
（
3
）证明四边形
AMCN
是正方形，再证明四边形
ABCD
的面积＝正方形
AMCN
的面积
即可．
【解答】（
1
）解：∵
C
（
7
，
0
），
∴
OC
＝
7
，
∵
BC
⊥
CD
，
∴∠
BCD
＝
90
°，
∵
AC
平分∠
BCD
，
∴∠
BCA
＝∠
ACD
＝
45
°，
∵∠
COB
＝
90
°，
∴∠
OBC
＝∠
OCB
＝
45
°，
∴
OB
＝
OC
＝
7
，
∴
B
（
0
，
7
），
故答案为：
0
，
7
；
（
2
）证明：过点
A
作
AM
⊥
BC
于点
M
，
AN
⊥
CD
，交
CD
的延长线于点
N
．
∵
AC
平分∠
BCD
，
∴
AM
＝
AN
，
∵∠
ABM+
∠
ADC
＝
180
°，∠
ADN+
∠
ADC
＝
180
°，
∴∠
ABM
＝∠
ADN
，
∵∠
AMB
＝∠
N
＝
90
°，
∴△
AMB
≌△
AND
（
AAS
），
∴
AB
＝
AD
；
（
3
）解：∵
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
7
，
0
），
∴
OA
＝
3
，
OC
＝
7
，
∴
AC
＝
10
，
∵
AM
⊥
CM
，∠
ACM
＝
45
°，
∴
AM
＝
CM
＝
5
，
∵△
AMB
≌△
AND
，
∴
S
△
AMB＝
S
△
AND，
∴
S
四边形
ABCD＝
S
四边形
AMCN，
∵∠
AMC
＝∠
MCN
＝∠
N
＝
90
°，
∴四边形
AMCN
是矩形，
∵
AM
＝
CM
，
∴四边形
AMCN
是正方形，
∴
S
四边形
ABCD＝
S
四边形
AMCN＝（
5
）2＝
50
．
25
．如图
1
，在等边△
ABC
中，
D
，
E
分别是边
AC
，
BC
上一点，且
AD
＝
CE
，
BD
与
AE
相
交于点
M
．
（
1
）求证：△
ABD
≌△
CAE
；
（
2
）求证：∠
AMD
＝
60
°；
（
3
）如图
2
，连接
CM
，当
BM
＝
2AM
时，求证：
CM
⊥
BM
．
【分析】（
1
）由
SAS
证明△
ABD
≌△
CAE
即可；
（
2
）由全等三角形的性质得得∠
ABD
＝∠
CAE
，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（
3
）延长
BD
到
F
，使
AM
＝
MF
，连接
AF
、
CF
，证△
BAM
≌△
CAF
（
SAS
），得
BM
＝
CF
，∠
AFC
＝∠
AMB
＝
120
°，则
CF
＝
2AM
＝
2AF
＝
2MF
，取
CF
的中点
N
，连接
MN
，
则
FN
＝
NC
＝
MF
，然后证△
FMN
是等边三角形，得
MN
＝
FN
＝
CN
，∠
FMN
＝
60
°，即
可解决问题．
【解答】证明：（
1
）∵△
ABC
是等边三角形，
∴
AB
＝
AC
＝
BC
，∠
BAC
＝∠
ACB
＝∠
ABC
＝
60
°，
在△
ABD
和△
CAE
中，
，
∴△
ABD
≌△
CAE
（
SAS
）；
（
2
）由（
1
）可知，△
ABD
≌△
CAE
，
∴∠
ABD
＝∠
CAE
，
∴∠
AMD
＝∠
ABD+
∠
BAE
＝∠
CAE+
∠
BAE
＝∠
BAC
＝
60
°；
（
3
）如图
2
，延长
BD
到
F
，使
AM
＝
MF
，连接
AF
、
CF
，
由（
1
）知：∠
AMF
＝
60
°，
∴△
AMF
是等边三角形，
∴
AM
＝
AF
，∠
AFM
＝∠
MAF
＝
60
°，
∵△
ABC
为等边三角形，
∴∠
BAC
＝
60
°，
AB
＝
AC
，
∴∠
BAM
＝∠
CAF
，
在△
BAM
和△
CAF
中，
，
∴△
BAM
≌△
CAF
（
SAS
），
∴
BM
＝
CF
，∠
AFC
＝∠
AMB
＝
180
°﹣∠
AMF
＝
120
°，
∵
BM
＝
2AM
，
∴
CF
＝
2AM
＝
2AF
＝
2MF
，
取
CF
的中点
N
，连接
MN
，则
FN
＝
NC
＝
MF
，
∵∠
AFM
＝
60
°，
∴∠
MFN
＝∠
AFC
﹣∠
AFM
＝
120
°﹣
60
°＝
60
°，
∴△
FMN
是等边三角形，
∴
MN
＝
FN
＝
CN
，∠
FMN
＝
60
°，
∴∠
NMC
＝∠
NCM
，
∵∠
FNM
＝∠
NMC+
∠
NCM
＝
60
°，
∴∠
NMC
＝
30
°，
∴∠
CMF
＝∠
FMN+
∠
NMC
＝
60
°
+30
＝
90
°，
∴
BM
⊥
CM
．
本文发布于:2022-12-28 22:41:50，感谢您对本站的认可！
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