2019全国一卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1．已知集合42Mxx，260Nxxx

，则MN

A．43xxB．42xx

C．22xxD．23xx

2．设复数

z

满足1zi，

z

在复平面内对应的点为,xy

，则

A．2

211xyB．2

211xy

C．2

211xyD．2

211xy

3．已知

2

log0.2a，0.22b，0.30.2c，则

A．abcB．acbC．cabD．bca

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51

2



（

51

0.618

2



，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体

的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2



。若某人满足上述两个黄金分割比

例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm

5．函数

2

sin

cos

xx

fx

xx







在,的图象大致为

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的

6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦

中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．

5

16

B．

11

32

C．

21

32

D．

11

16

7．已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为（）

A．

6



B．

3



C．

2

3



D．

5

6



8．右图是求

1

1

2

1

2

2





的程序框图，图中空白框中应填入

A．

1

2

A

A





B．

1

2A

A



C．

1

12

A

A





D．

1

1

2

A

A



9．记

n

S为等差数列

n

a的前n项和，已知

4

=0S

，

5

5a

，则

A．

25

n

an

B．

310

n

an

C．228

n

SnnD．2

1

2

2n

Snn

10．已知椭圆C的焦点为

1

1,0F，

2

1,0F，过

2

F的直线与C交于A，B两点，若

22

2AFFB，

1

ABBF，则C的方程为

A．

2

21

2

x

yB．

22

1

32

xy

C．

22

1

43

xy

D．

22

1

54

xy



11．关于函数sinsinfxxx有下述四个结论：

①fx是偶函数②fx在区间,

2











单调递增

③fx在,有4个零点④fx的最大值为2

A．①②④B．②④C．①④D．①③

12．已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三

角形，E，F分别是PA，PB的中点，90CEF，则球O的体积为

A．86B．46C．26D．

6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线23xyxxe在点0,0处的切线方程为________．

14．记

n

S为等比数列

n

a的前n项和，若

1

1

3

a，2

46

aa，则

5

=S________．

15．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据

前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客

场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________．

16．已知双曲线C：

22

22

1

xy

ab

（0,0ab）的左右焦点分别为

1

F，

2

F，过

1

F的直线与C的两

条渐近线分别交于A，B两点，若

1

FAAB，

12

0FBFB，则C的离心率为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，设2

2sinsinsinsinsinBCABC

.

（1）求A；

（2）若

22abc

，求sinC.

18．（12分）

如图，直四棱柱

1111

ABCDABCD的底面是菱形，

1

4AA，

2AB，60BAD，E，M，N分别是BC，

1

BB，

1

AD

的中点．

（1）证明：MN∥平面

1

CDE

；

（2）求二面角

1

AMAN的正弦值．

19．（12分）

已知抛物线C：23yx的焦点F，斜率为

3

2

的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若4AFBF，求l的方程；

（2）若

3APPB

，求AB．

20．（12分）

已知函数sinln1fxxx

，fx



为fx的导数．证明：

（

1

）fx



在区间

1,

2











存在唯一极大值点；

（2）fx

有且仅有2个零点．

21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验

方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只

施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白

鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，

若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈

且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙

两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，

i

p（0,1,,8i）表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则

0

0p，

8

1p，

11iiii

papbpcp



（1,2,,7i）

其中1aPX，0bPX，1cPX.假设0.5，0.8.

（ⅰ）证明：

1ii

pp



（0,1,,7i）为等比数列；

（ⅱ）求

4

p，并根据

4

p的值解释这种试验方案的合理性.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

2

2

2

1

,

1

4

1

t

x

t

t

y

t

























（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110

．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足1abc，证明：

（1）222

111

abc

abc

；

（2）33324abbcca．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

1.答案：C

解答：由题意可知,

}32|{xxN

,又因为

}24|{xxM

,则

}22|{xxNM

，

故选C.

2.答案：C

解答：∵复数

z

在复平面内对应的点为

(,)xy

，

∴

zxyi

∴

1xyii

∴22(1)1xy

3.答案：B

解答：由对数函数的图像可知：

2

log0.20a

；再有指数函数的图像可知：0.221b，

0.300.21c，于是可得到：acb.

4.答案：B

解答：

方法一：

设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F，

tBD，



2

15

，

根据题意可知



BD

AB

,故tAB；又

tBDABAD)1(

，



DF

AD

，故

tDF



1



；

所以身高tDFADh



2)1(

，将618.0

2

15





代入可得th24.4.

根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF；

即26t，

105

1





t





，将618.0

2

15





代入可得4240t

所以08.1786.169h，故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为

头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

2

15

（618.0

2

15





称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉

的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的

长度之比是

2

15

可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相

加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选B.

5.答案：D

解答：∵



2

sin

()

cos

xx

fx

xx









2

sin

cos

xx

xx







()fx

，

∴

()fx

为奇函数，排除A，

又2

2

sin

42

22

()0

2

cos

22

f























，排除C，

2

2

sin

()0

1

cos

f

















，排除B，故选D.

6.答案：A

解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有3

6

C种，

所以

3

6

6

205

26416

C

P.

7.答案：B

解答：设a与b的夹角为，

∵()abb

∴

2()cosabbabb=0

∴

1

cos=

2



∴

=

3





.

8.答案：A

解答：

把选项代入模拟运行很容易得出结论

选项A代入运算可得

1

=

1

2+

1

2+

2

A

，满足条件，

选项B代入运算可得

1

=2+

1

2+

2

A

,不符合条件，

选项C代入运算可得

1

2

A

,不符合条件，

选项D代入运算可得

1

1+

4

A

,不符合条件.

9.答案：A

解析：

依题意有

41

51

460

45

Sad

aad











，可得1

3

2

a

d











，25

n

an，24

n

Snn.

10.答案：B

解答：由椭圆C的焦点为

)0,1(

1

F

，

)0,1(

2

F

可知1c，又



||2||

22

BFAF

，

||||

1

BFAB

，可设

mBF||

2

，则

mAF2||

2



，

mABBF3||||

1



，根据椭圆的定义可知

ammBFBF23||||

21



，

得

am

2

1



，所以

aBF

2

1

||

2



，

aAF||

2

，可知

),0(bA

，根据相似可得

)

2

1

,

2

3

(bB

代入椭圆的标准

方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

，得32a，2222cab，



椭圆C的方程为1

23

22



yx

.

11.答案：C

解答：因为

()sinsin()sinsin()fxxxxxfx

，所以

()fx

是偶函数，①正确，

因为

52

,(,)

632





，而

52

()()

63

ff





，所以②错误，

画出函数

()fx

在,

上的图像，很容易知道

()fx

有3零点，所以③错误，

结合函数图像，可知

()fx

的最大值为2，④正确，故答案选C.

12.答案：D

解答：设PAx，则

222222

2

-42

cos=

22

PAPCACxxx

PAC

PAPCxxx







∴2222cosCEPEPCPEPCPAC

222

2

2

2

22

424

xxxx

xx

x





∵90CEF，

1

,3

22

x

EFPBCF

∴222CEEFCF,即

22

23

44

xx

，解得2x，

∴2PAPBPC

又2ABBCAC

易知

,,PAPBPC

两两相互垂直，

故三棱锥PABC的外接球的半径为

6

2

，

∴三棱锥PABC的外接球的体积为

3

46

6

32













，故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.答案：

3yx

解答：∵23(21)3()xxyxexxe



23(31)xxxe，

∴结合导数的几何意义曲线在点

(0,0)

处的切线方程的斜率3k，

∴切线方程为

3yx

.

14.答案：

5

S

121

3

解答：

∵

1

1

3

a

，2

46

aa

设等比数列公比为

q

∴325

11

()aqaq

∴

3q

∴

5

S

121

3

15.答案：0.18

解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个

主场2个客场，于是分两种情况：

1221

22

0.60.40.50.60.60.50.50.60.18CC.

16.答案：2

解答：由

112

,0FAABFBFB知A是

1

BF

的中点，

12

FBFB，

又O是

12

,FF

的中点，所以OA为中位线且

1

OABF

，所以

1

OBOF

，

因此

1

FOABOA

，又根据两渐近线对称，

12

FOAFOB

，所

以

2

60FOB

，221()1tan602

b

e

a

.

三、解答题：共70分。第17-21题为必考题，第22,23为选考题，考生需要按照要求作答.

（一）必考题：共60分

17.解答：由2

2sinsinsinsinsinBCABC得222sinsinsinsinsinBCABC

结合正弦定理得222bcabc

∴

2221

cos=

22

bca

A

bc







又

(0,)A

，∴

=

3

A



.

（1）由22abc得2sinsin2sinABC,

∴2sinsin2sinAACC

∴

6

sin()2sin

23

CC



,

∴

312

sincos

222

CC

∴

2

sin()

62

C





又

2

0

3

C





∴

662

C





又

sin()0

6

C





∴

0

62

C





∴

2

cos

62

C











，

∴

sinsin()

66

CC







sincoscossin

6666

CC











62

4



.

18.解答：

（1）连结

,ME

和

1

,BC

，∵

,ME

分别是

1

BB

和BC的中点，∴

1

//MEBC

且

1

1

2

MEBC

，

又

N

是

1

AD

，∴//MEDN，且

MEDN

，

∴四边形

MNDE

是平行四边形，

∴//MNDE，又DE平面

1

CDE

，

MN

平面

1

CDE

，∴//MN平面

1

CDE

.

（2）以D为原点建立如图坐标系，由题

(0,0,0)D

，

(2,0,0)A

，

1

(2,0,4)A

，(1,3,2)M

1

(0,0,4)AA，

1

(1,3,2)AM，

1

(2,0,4)AD，设平面

1

AAM

的法向量为

1111

(,,)nxyz，

平面

1

DAM

的法向量为

2222

(,,)nxyz，

由

11

11

0

0

nAA

nAM















得

1

111

40

320

z

xyz















，令

1

3x得

1

(3,1,0)n，

由

21

21

0

0

nAD

nAM















得

22

222

240

320

xz

xyz















，令

2

2x

得

2

(2,0,1)n，

∴

12

12

12

15

cos,

5

nn

nn

nn







，

∴二面角

1

AMAN

的正弦值为

10

5

.

19.解答：

（1）设直线l的方程为

bxy

2

3

，设

),(

11

yxA

，

),(

22

yxB

，

联立直线l与抛物线的方程：















xy

bxy

3

2

3

2

消去

y

化简整理得

0)33(

4

9

22bxbx

，

0

4

9

4)33(22bb

，

2

1

b

，

9

)33(4

21

b

xx





，依题意

4||||BFAF

可知

4

2

3

21

xx

，即

2

5

21

xx

，故

2

5

9

)33(4



b

，得

8

7

b

，满足0，故直线l的方程为

8

7

2

3

xy

，即

07128xy

.

（2）联立方程组















xy

bxy

3

2

3

2

消去

x

化简整理得0222byy，084b，

2

1

b

，

2

21

yy

，

byy2

21



，



PBAP3，可知

21

3yy

，则

22

2

y

，得

1

2

y

，

3

1

y

，故可

知

2

3

b

满足0，



3

134

|13|

9

4

1||

1

1||

21

2

yy

k

AB.

20.解答：

(1)对

()fx

进行求导可得，

1

()cos

1

fxx

x







，

(1)

2

x





取

1

()cos

1

gxx

x





，则

2

1

()sin

(1)

gxx

x







,

在

(1,)

2

x





内

2

1

()sin

(1)

gxx

x







为单调递减函数，且

(0)1g

，

2

1

()10

2

(1)

2

g









所

以在

(0,1)x

内存在一个

0

x

，使得

()0gx





，所以在

0

(1,)xx

内

()0gx





，

()fx



为增函数；

在

0

(,)

2

xx





内

()0gx





，

()fx



为减函数，所以在

()fx



在区间

(1,)

2





存在唯一极大值点；

（2）由（1）可知当

(1,0)x

时，

()fx



单调增，且

(0)0f





，可得0'xf

则

()fx

在此区间单调减；

当

0

(0,)xx

时，

()fx



单调增，且

(0)0f





，

()0fx





则

()fx

在此区间单调增；又

(0)0f

则在

0

(1,)xx

上

()fx

有唯一零点0x.

当

0

(,)

2

xx





时，

()fx



单调减，且

0

()0,()0

2

fxf







，则存在唯一的

10

(,)

2

xx





，使得

1

()0fx





，

在

01

(,)xxx

时，

1

()0fx





，

()fx

单调增；当

1

(,)

2

xx





时，

()fx

单调减，且

()1ln(1)1ln0

22

fe





，所以在

0

(,)

2

xx





上

()fx

无零点；

当

(,)

2

x





时，

sinyx

单调减，

ln(1)yx

单调减，则

()fx

在

(,)

2

x





上单调减,

()0ln(1)0f

,所以在

(,)

2

x





上

()fx

存在一个零点.

当

(,)x

时，

()sinln(1)1ln(1)0fxxx

恒成立，则

()fx

在

(,)x

上无零

点.

综上可得，

()fx

有且仅有2个零点.

21．解答：

（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1、0．

得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则

(1)(1)PX

；

得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则

(1)(1)PX

；

得0分时是都治愈或都未治愈，则

(0)(1)(1)PX

．

则X的分布列为：

（2）（i）因为0.5，

0.8

，

则

(1)0.4aPX

，

(0)0.5bPX

，

(1)0.1cPX

．

可得

11

0.40.50.1

iiii

pppp





，则

11

0.50.40.1

iii

ppp





，

则

11

0.4()0.1()

iiii

pppp





，则1

1

4ii

ii

pp

pp











，

所以

1

{}(0,1,2,,7)

ii

ppi





为等比数列．

（ii）

1

{}(0,1,2,,7)

ii

ppi





的首项为

101

ppp

，那么可得：

7

871

4ppp，

6

761

4ppp，

………………

211

4ppp

，

以上7个式子相加，得到76

811

(444)ppp，

则

88

67

8111

1441

(1444)

143

pppp







，则

1

8

3

41

p



，

再把后面三个式子相加，得23

411

(444)ppp，

则

44

23

411

84

4141311

(1444)

334141257

ppp







．

4

p

表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，

0.8

，



，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情

况的概率是非常小的，而

4

1

257

p

的确非常小，说明这种实验方案是合理的．

（二）选考题：共10分，请在22、23题中选一题作答

22.解答：

(1)曲线C:由题意得

2

22

12

1

11

t

x

tt







即

2

2

1

1

x

t





，则

2(1)

y

t

x





，然后代入即可得到

2

21

4

y

x

而直线l：将

cos,sinxy

代入即可得到23110xy

（2）将曲线C化成参数方程形式为

则

4sin()11

2cos23sin11

6

77

d













所以当

3

62





时，最小值为7

23.解答：

（1）1abc，

111

bcacab

abc



.

由基本不等式可得：

222222

,,

222

bcacab

bcacab



，

于是得到

222222

222

111

222

bcacab

abc

abc



.

（2）由基本不等式得到：

3

3

22()8()abababab

，

3

3

22()8()bcbcbcbc

，

3

3

22()8()caaccaac

.

于是得到

333

333

222()()()8[()()()]abbccaabbcac

333

3

22283()()()24abbcca