2010江西高考数学

２０１１年第９期 中学数学研究 ３３

再谈竞赛数学的根在何处

——兼评２０１０年江西高考理科数学压轴题

华中师范大学教育信息技术工程研究中心 （４３００７９）；

江西师范大学数学与信息学院 （３３００２２） 徐章韬

１ 引言

竞赛数学是介于初等数学与高等数学之间的中

间数学，又是以问题解决为主要手段，以传播高等数

学的思想、方法为使命，从而为初等数学注入新鲜血

液的教育数学。在文［１］中我们阐述了这样的观点：

竞赛数学和课堂教学并不对立，竞赛数学可以扎根

在课堂教学中．从学理上讲竞赛数学能反哺课堂教

学，引领课堂教学．就象榕树一样，其根深深在扎在

大地中，枝桠纵横，故又能涵养水土，不致流失．故当

下的一些高考压轴题常由竞赛数学中的问题改编而

来．高考是为国家选拔人才的最重要考试之一，涉及

到“几家欢乐几家愁”，关系重大．高考试题的命制

是一个严肃而重大的问题．本文以理２０１０年江西高

考理科数学压轴题为例探讨竞赛数学反哺课堂教

学、引领课堂教学的路径．

２ 题例

２０１０江西高考理科数学压轴题

证明以下命题：（１）对任一正整数口，都存在正

整数６，ｃ（６＜ｃ），使得ｏ ，ｂ ，Ｃ 成等差数列；（２）存

在无穷多个互不相似的三角形△ ，其边长０ ，６ ，Ｃ

为正整数且口 ，ｂ ，ｃ 。成等差数列．

２．１ 参考解答

为了行文的方便，先把命题组的参考解答抄录

如下．（１）易知１ ，５ ，７ 成等差数列，则ｎ ，（５ａ） ，

（７ａ） 也等差数列，所以对任一正整数 ，都存在正

整数ｂ＝５ａ，ｃ＝７ａ，（ｂ＜ｃ），使得０ ，ｂ ，ｃ 成等差

数列．（２）若０ ，６：，Ｃ 成等差数列，则有６ 一ｏ：＝ｃ：

一ｂ：，且ｐ（ｂ 一０ ）（ｂ ＋口 ）＝（Ｃ 一６ ）（Ｃ ＋６ ）Ｑ ，

选取关于ｎ的一个多项式，例如４ｎ（ｎ 一１），使得它

可按两种方式分解，由于４ｎ（／／， 一１）＝（２ｎ一

２）（２ｎ ＋２ｎ）＝（２ｎ＋２）（２ｎ 一２ｎ），因此令

ｆ口 ＋６ ＝２ｎ 一２ｎ ｒｃ ＋ｂ ＝２ｎ ＋２凡

Ｉｂ 一ｎ ：２ ＋２’ｌｃｌ一６ ：２ 一２’

ｒ。ｎ＝ｎ 一２凡一１

得｛６ ＝凡 ＋１ ，（凡≥４）． Ｉ

ｃ ＝ｎ ＋２ｎ一１

易验证口 ，ｂ ，ｃ 满足①，因此０：，６ ，ｃ 成等差

数列，当ｎ ４时，有ｎ ＜ｂ ＜ｃ 且０ ＋６ 一ｃ ＝

ｎ 一４ｎ＋１＞０，因此以边长。 ，６ ，Ｃ 为边长可以构

成三角形，将此三角形记为Ａ （ｎ ４）．其次，任取

正整数ｍ，／／，（ｍ，ｎ ２ ４，且ｍ≠ｎ），假若三角形△ 与

△ 相似， 则有：

２ ，

据比例性质有：

ｎ ＋２ｎ一１’ 口 ｕ 。。‘ Ｈ

ｍ ＋１ ｍ ＋２ｍ一１

：± 二 二（ ：± ！ 一 ＿二 ：± 一

凡 ＋２凡一１一（ｎ。＋１） 一 一１’ ｎ ＋１ 一

：二 二 一 ：二 二 二（ ：± ）一

ｎ２

—２ｎ一１ 一 ｎ２—２凡一１一ｒ ｎ ＋１ 一ｎ＋１’

所以 ＝ ，由此可得ｍ＝ｎ，与假设ｍ≠ｎ

ｎ十上 ／７，一上

矛盾，即任两个三角形△ 与△ （７ｎ，，ｎ ４，且，ｎ≠ｎ）

互不相似，存在无穷多个互不相似的三角形△ ，其

边长口 ，ｂ ，ｃ 为正整数且口 ，６ ，ｃ 成等差数列．

２．２ 评析与解

第一问的解决并不困难，但需要考生在面对繁

难问题，不能有畏难情绪，要能沉着处理，能有序地

思考．依题意有２ｂ。＝ ＋ｃ ，ｎ＜６＜ｃ．试验法是数

学探索的一种重要方法，体现了数学有实验科学特

点的一面．由ｃ ＝２ｂ 一０ ，令。＝１，６＝２；ｃ。＝７；

０＝１，ｂ＝３，ｃ ＝１７；ｎ＝１，ｂ＝５，ｃ ＝４９，Ｃ：７．

故１ ，５ ，７ 成等差数列，则ｎ ，（５ａ）。，（７ｎ） 也等差

数列，所以对任一正整数口，都存在正整数ｂ＝５ａ，ｃ

＝７ａ，使得ｏ ，６ ，Ｃ 成等差数列．从方程的观点看Ｃ

＝２ｂ 一口 ，这是一个不定方程，一个方程只能解一

个未知数，故不妨选。为基本元，从而ｂ，ｃ能用。表

３４ 中学数学研究 ２０１１年第９期

示出来．故而问题的表述：对任一正整数０，都存在

正整数６，Ｃ（６＜ｃ），使得。 ，６ ，ｃ 成等差数列，其实

表达的是不定方程方程解的结构问题．不定方程是

初等数论中一个重要内容和课题．研究初等数论的

一个重要方法是实验探索法，先用试验猜想结论，然

后证明结论．这种做法在本题中也得到了鲜明的体

现．由于ｎ＜６＜ｃ，故可有序地进行试验：当ｎ＝１

时，依次令６：１，２，３，…，直到有合适的Ｃ为止．这

个过程可能有点冗长，需要考生有良好的个性心理

品质．

一种较为形式化的证法如下．令６＝ａｑ ＋ｒ．，Ｃ

＝ａｑ２＋ｒ２，０≤ｒＩ，ｒ２＜０，２ｂ ＝０ ＋Ｃ ，且ｐ是２（ａｑ１

＋ｒ１） ＝ｎ。＋（ａｑ２＋ｒ２） ，整理得（２ｑ 一ｑ 一１）０

＋（４ｇ ｒ 一２ｑ２ｒ ）０＋（２ｒ —ｒｉ）＝０，从方程的观点，

这是一个关于ｎ的一元二次方程，恒有解，故△＝

（４ｑ ｒ。一２ｑ ｒ ） 一４（２ｑ 一ｇ；一１）（２ 一ｒ；） ０，化

简得，２ｒ 一ｒｉ＋２（ｑ。ｒ 一ｑ２ｒ ）。 ０，一种特殊情形

是，２ｒ 一ｒ；＝０，ｑ ｒ 一ｇ ｒ。＝０同时成立．此时，有ｒ

＝ ＝０，２ｂ ＝ｎ ＋ｃ 就变成了２（ａｑ１） ：ｒ上 ＋

（ａｑ２） ，ｇ；＝２ｑ 一１，ｑ ＞ｑ ，不难定出一组解：ｇ。＝

５，ｑ２：７．这里之所以设６＝ａｑ１＋ｒ１，ｃ＝ａｑ２＋ｒ２，

其实是认为。是基本元，６，ｃ可用基本元表示，故而

用带余除法来揭示它们之间的关系．

第二问的解答真是“神来之笔”：何以能想到多

项式４ｎ（ｎ 一１），并按两种方式进行分解．令ｏ ＝

．厂（ｎ），ｂ ＝ｇ（ｎ），ｃ ＝ｈ（ｎ），多项式函数是最为简

单的一种函数，常用来逼近其它函数，故先设它们是

多项式函数．设０ ＝Ａ０ｎ＋Ａ１，６ ＝Ｂｏｎ＋Ｂ１，Ｃ ＝

ｎ＋Ｃ。，因。 ，ｂ：，ｃ 成等差数列，有（ 。ｎ＋４ ） ＋

（Ｃ０ｎ＋Ｃ ） ＝２（Ｂｏｎ＋Ｂ１） ，整理得，（Ａ ＋Ｃ ）ｎ ＋

（２ＡｏＡ１＋２ＣｏＣ１）ｎ＋（Ａ ＋Ｃ ）＝２Ｂ￣ｏｎ ＋４Ｂ０Ｂ１＋

２Ｂ ， 比较对应项的系数得，

ｒ

４ ＋ｃ ＝２Ｂ

｛２ＡｏＡ１＋２Ｃ０Ｃ１＝４ＢｏＢ ，有６个未知数，３个独立 【

＋ｃ ：２Ｂ

方程，只能解出３个未知数，故令Ａ。＝Ｂ。＝Ｃ。＝１．

从而解出Ａ，＝Ｂ ＝Ｃ，，不妨令其值为２，则。 ＝６

＝Ｃ ＝ｎ＋２，但此时三角形是等边三角形，彼此相

似，不合题意．若令Ａ ＝１，Ｂ。＝５，Ｃ。＝７，解出Ｂ

＝５Ａｌ，Ｃｌ＝７Ａｌ，不妨令Ａ１＝２，则Ｂｌ＝１０，Ｃ ＝

１４，止匕时，Ⅱ ：ｎ＋２，６ ＝５（凡＋２），ｃ ＝７（ｎ＋２），

此时还不能够构成三角形．这样取值充分利用了上

问的解答，但还是得不到结果，故要把多项式设为二

次多项式．

设０ ＝Ａ２ｎ ＋Ａ１ ＋Ａｏ，６ ＝Ｂ２ｎ ＋Ｂｌｎ＋Ｂ０，

ｃ ＝Ｃ：凡 ＋ｃ ｎ＋Ｃ。，因０ ，ｂ：，ｃ 成等差数列，

有（Ａ２凡 ＋Ａ１ｎ＋Ａ０） ＋（Ｃ２ｎ ＋Ｃ１ｎ＋Ｃ０） ＝

２（Ｂ２ｎ ＋Ｂ１ｎ＋Ｂｏ）。，整理得，（Ａｉ＋Ｃ；）ｎ ＋（２Ａ１Ａ２

＋２ＣｌＣ２）ｎ ＋（Ａ ＋２Ａ０ ２＋Ｃ ＋２Ｃ０Ｃ２）凡 ＋（２４０ 】

＋２ＣｏＣ１）ｎ＋（Ａ ＋Ｃ ）＝２Ｂｉｎ ＋４Ｂ１Ｂ２ｎ ＋（２Ｂ

＋４ＢｏＢ２）ｎ ＋４Ｂ。Ｂ 十２Ｂ ，比较对应项的系数，得

ｆＡ；＋ｃ２２＝２ ２２

Ｉ２ＡｌＡ２＋２ＣｌＣ２＝４Ｂ１Ｂ２

｛Ａ ＋２ＡｏＡ２＋Ｃ ＋２ＣｏＣ２＝２Ｂ ＋４Ｂ０Ｂ２，有９个

ｌ２Ａ０Ａ１＋２ＣｏＣ１＝４Ｂ０Ｂ１

Ａ ＋ ＝２Ｂ

未知数，５个独立方程，只能解５个独立方程，故不妨

令Ａ：＝Ｂ ＝Ｃ：＝１，则方程组简化为，

ｆＡ ＋ｃ・ ２ Ｉ

Ａ ＋２Ａ０＋Ｃ ＋２Ｃｏ＝２Ｂ ＋４ ｏ

Ｉ Ａｏ４ｌ＋ＣｏＣｌ＝２Ｂ０Ｂｌ

Ｌ ＋Ｃ ＝２Ｂ

令Ａ ＝一２，ＣＩ＝２，贝４ Ｂ．＝０，解出Ｂ ＝ｌ，Ａ０

＝Ｃｏ＝一１， 殳０ ：ｎ 一２ｎ一１，ｂ ＝ｎ ＋１，Ｃ ＝

ｎ

。＋２ｎ一１

．

这是一个不定方程，其解不唯一，比如还可以得

—组解：。 ＝ｎ ＋２ｎ＋ｌ，ｂ ＝／７， ＋ｎ＋１，ｃ ＝ｎ ．

还可以设ｏ ，６ ，Ｃ 是三次多项式，这要解一个

含１２个未知数，有７个独立方程的方程组．有可能找

到一组解，只不过运算量更大了．

３ 路径

待定系数法并不是什么高深的技法，其出色的

运用在于对数学知识的深刻理解．数列是一种定义

在正整数集上的函数，故记。 ＝．厂（ｎ），那么函数的

具体表达式该如何确定呢？多项式函数是最为简单

的函数，能“手工”地进行加、减、乘三种算术运算，

从而能算出任何一个精确值来．在数值逼近中，常用

多项式插值、多项式逼近的方法来“测量”未知函数

的值，以期尽可能地描述函数本身．因此常用多项式

函数来逼近三角函数、对数函数、指数函数等．多项

式函数并没有在初高中教材中出现，学生更不知道

多项式函数在数值逼近中的作用．这就要求教师有

比较高的数学素养，能把高等数学的观点、思想方法

２０１１年第９期 中学数学研究 ３５

以教育数学的形式悄无声息地渗透于课堂教学中．

当竞赛数学的问题进入教材后，竞赛数学的方

法就能反哺课堂教学了．如，待定系数法的“根”在

课堂中、在教材中，作为竞赛数学的方法之一的待定

系数法就能反哺课堂教学．直线Ｙ＝ｋｘ＋ｂ过定点

（０，ｂ）可以这样推导的：ｋｘ＋（Ｙ—ｂ）＝０对任意的

都成立，故必有｛ 二 ：０，故直线方程过定点（０， ＬＶ一，）＝ＩＪ

ｂ）．可见，其根在课堂教学中．求多元函数极值的拉

格朗日常数法，其实就是一种待定系数法．看一个已

进入课堂教学中的竞赛数学的例子．已知 ，Ｙ，ｚ∈

Ｒ＋，且２ ＋８ｙ＋ｚ：７２，求厂（ ，ｙ，ｚ）＝ ２＋ ４＋ ９

的最小值．可以这样悄无痕迹地使用拉格朗日常数

法．２

＋—

４

了＋

９

－＋Ａ（２ ＋８ｙ＋ｚ一７２）：（ ＋２Ａ ）

Ｙ ｚ

＋（ ＋４Ａｙ＋４Ａｙ）＋（ ＋Ａｚ）一７２Ａ ４ ＋１２

ｙ

＋６ 一７２Ａ，这里Ａ＞０，当且仅 ：√÷，），

＝√÷，ｚ＝√ 时等号成立，同时这些值也满足２

＋８ｙ＋ ＝７２，由此解出Ａ １，求出厂（ ，Ｙ，ｚ）

＋ ＋

９－的最小值为

．这里是用重要不等式的使

Ｙ ｚ ０

用要点“正”“定”“等”来确定Ａ．这样的方法虽根在

课堂教学中，但其高层次运用并不显而易见，常在竞

赛数学中出现．谙熟竞赛数学之道，就能实现竞赛数

学对课堂教学的反哺路径．

求数列的通项公式一直是高中数学教学的难

点，欧拉的多项式母函数法及待定系数是求解递推

数列公式的一个行之有效的方法．举一个例子．设

ａｏ＝１，ａ１＝一２，且ａ 一５口 一１＋６ａ 一２＝０，（ｎ＝２，

３，…），求口 ．不妨设 ）＝ ＋６／，１ ＋ａ２ｘ。＋…＋

ａｎＸ ＋…，（这里，（ ）就是一个多项式函数），从而

有一５ｘｆ（ ）＝一５ａ０ 一５ａ１ 一５ａ２ 一…一５ａ 一１

一…

，６ ＾（ ） ：６ａｏ ＋６ａ１ ＋…＋６０ ：２ …，以

上三式相加有，（１—５ ＋６ ） ）＝ａ。＋（ａ 一

５ａ０） ＋（ａ２—５０１＋６口０）ｘ ＋…＋（口 一５口 一１＋

６ａｎ

２

） ＋…，由已知条件有 ）

∞ ∞

： 一 ＝５∑（２ ） ４‘∑（ ３一ｘ） ＝ 一 ５ 圳一 ）

∑（５・２ 一４・３ ） ，比较两边对应项系数有，ａ ＝

ｎ

‘。一

＝Ｏ

５・２ 一４・３ ．从逼近的思想着眼，从待定系数法着

手，这样的方法也能适时进入课堂教学中．

对任何一门学科而言，存在相互联系的三种意

义：文本作者的原意；文本本身的意义；读者领悟的

意义．与此相对应的有三种人：知识的“生产者”，即

数学家；知识的“传播者”，即教师；知识的“接受

者”，即学生．学生能否领悟数学家的原意，取决于

传播者是否完全无误地再现了文本作者的原意，接

受者是否反复体味了文本作者的原意．文本本身

（这里特指各门学科知识本身）的意义既产生于特

定情境，又随历史变迁而发生变化．这可能与文本作

者的原意之间有些微妙的张力．因此，接受者接受的

意义与文本作者的原意有差别是必然的，正常的．正

是在三者的相互转化、相互建构中，彼此的“新意

义”被永无止境地建构出来．所以，在教学中，要强

调文本作者的原意（即观点、思想和方法），要强调

接受者的质疑、探究和批判，并由此产生自己的理解

和观点．文本作者原意的诞生，是一个历经艰难险的

过程，与此相对应的是，接受者不经过一番心智与情

意的砥砺，就想获取真知，有点不可能了．上述对待

定系数法的解读可能就是上述想法的一个具体案

例．

４ 余味

一年一度的高考已降下帷幕，留下余味无穷．高

考试题对课堂教学具有明显的导向作用，所以历来

备受人们关注．竞赛数学的思想、方法进入高考试题

已不是什么新鲜事了．但竞赛数学的方法何时能扎

根课堂教学，又反哺课堂教学，其路径如何，需要的

相关条件如何，还需要大力研究．竞赛数学扎根课堂

教学，并最终反哺课堂教学，促进学生最大程度地发

展的路径还很漫长．

参考文献

［１］赵锐，徐章韬．竞赛数学的根在何处［Ｊ］．数学通讯，２０１０，（６）．