2014北京中考数学

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2021年北京市中考数学试卷

一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱

2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善

贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将0用科学记数法表示应

为（）

A．0.1692×1012B．1.692×1012

C．1.692×1011D．16.92×1010

3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

4．下列多边形中，内角和最大的是（）

A．B．

C．D．

5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A．a＞﹣2B．|a|＞bC．a+b＞0D．b﹣a＜0

6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

A．B．C．D．

2

7．已知432

＝1849，44

2

＝1936，45

2

＝2025，46

2

＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）

A．43B．44C．45D．46

8．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2

．当x

在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）

A．一次函数关系，二次函数关系

B．反比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，反比例函数关系

D．反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题(共16分，每题2分)

9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

10．分解因式：5x2

﹣5y

2

＝．

11．方程＝的解为．

12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m

的值为．

13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．

14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF

是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．

3

15．有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为s

甲

2

，s

乙

2

，则s

甲

2s乙

2

（填“＞”，“＜”或“＝”）．

16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）

小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分

配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与

分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又

给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配

到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题

5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0

．

18．解不等式组：．

19．已知a2+2b2

﹣1＝0，求代数式（a﹣b）

2+b（2a+b）的值．

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20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地

面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一

根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立

一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA

的中点D（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA

表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，

∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

21．已知关于x的一元二次方程x2

﹣4mx+3m

2

＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．

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22．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得

到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m

的取值范围．

24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．

（1）求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF

的长．

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25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮

政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信

息．

a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜

12，12≤x＜14，14≤x≤16）：

b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p

1

．在乙城市抽取

的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p

2

．比较p

1

，p

2

的大小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

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26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．

（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（﹣1，y

1

），（2，y

2

），（4，y

3

）在该抛物线上．若mn＜0，比较y

1

，y

2

，y

3

的大小，并说明理由．

27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD

顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．

（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．

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28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋

转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联

线段”．

（1）如图，点A，B

1

，C

1

，B

2

，C

2

，B

3

，C

3

的横、纵坐标都是整数．在线段B

1

C

1

，B

2

C

2

，B

3

C

3

中，⊙O的以点

A为中心的“关联线段”是；

（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，

求t的值；

（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最

大值，以及相应的BC长．