2010年浙江高考

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绝密★考试结束前

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4

至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和

答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式

如果事件,AB互斥，那么

()()()PABPAPB

如果事件,AB相互独立，那么

()()()PABPAPB••

如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那

么

n

次独立重复试验中事件A恰好发生k次

的概率

()(1)(0,1,2,...,)kknk

nn

PkCppkn

台体的体积公式

1122

1

()

3

VhSSSS

其中

1

S,

2

S分别表示台体的上、下面积，h表

示台体的高

柱体体积公式VSh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体

的高

锥体的体积公式

1

3

VSh其中S表示

锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

24SR

球的体积公式

3

4

3

VR

其中R表示球的半径

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．设}4|{},4|{2xxQxxP

（A）QP（B）PQ

（C）QCP

R

（D）PCQ

R



2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为

（A）?4k（B）?5k

（C）?6k（D）?7k

3．设

n

S为等比数列}{

n

a的前n项和，08

52

aa，则

2

5

S

S

（A）11（B）5

（C）-8（D）-11

4．设

2

0



x，则“1sin2xx”是“1sinxx”的

（A）充分而不必不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

5．对任意复数iRyxyixz),,(为虚数单位，则下列结论正确的是

（A）yzz2||（B）222yxz（C）xzz2||（D）||||||yxz

6．设ml,是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

（A）若lmml则,,（B）若mmll则,//,

（C）若mlml//,,//则（D）若mlml//,//,//则

7．若实数yx,满足不等式组

















,01

,032

,033

myx

yx

yx

且yx的最大值为9，则实数m

（A）-2（B）-1（C）1（D）2

8．设F

1

，F

2

分别为双曲线)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P，满

足

||||

212

FFPF，且F

2

到直线PF

1

的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为

（A）043yx（B）053yx（C）034yx（D）045yx

9．设函数xxxf)12sin(4)(，则在下列区间中函数)(xf不

．

存在零点的是

（A）[-4，-2]（B）[-2，0]（C）[0，2]（D）[2，4]

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10．设函数的集合}1,0,1;1,

2

1

,0,

3

1

|)(log)({

2

babaxxfP，平面上点的集合

}1,0,1;1,

2

1

,0,

2

1

|),{(yxyxQ，则在同一直角坐标系中，P中函数)(xf的图象恰好

．．

经

过Q中两个点的函数的个数是

（A）4（B）6（C）8（D）10

非选择题部分（共100分）

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．函数xxxf2sin22)

4

2sin()(



的最小正周期是。

12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积

是cm3.

13．设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，点)2,0(A。若线段FA的

中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为。

14．设nnxxNnn)

3

1

3()

2

1

2(,,2=n

n

xaxaxaa2

210

，将

)0(nka

k

的最小值记

为

n

T，则,,,

3

1

2

1

,0,

3

1

2

1

,0

55

54

33

32n

TTTTT其



n

T

。

15．设da,

1

为实数，首项为

1

a，公差为d的等差数列

n

a

的前n项和为

n

S，满足015

65

SS则

d的取值范围是。

16．已知平面向量),0(,aaa满足aa与且,1的夹角为120°则a的取值范围是。

17．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”

五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下

午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种（用

数字作答）。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知.

4

1

2cosC

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（I）求Csin的值；

（II）当a=2，CAsinsin2时，求b及c的长.

19．（本题满分14分）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球

从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入

的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖.

（I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获得)3,2,1(kk

等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望.E

（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人

次，求P（2）.

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20．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=.4

3

2

FD

沿直线EF将AEF翻折成,'EFA使平面EFA'平面BEF.

（I）求二面角CFDA'的余弦值；

（II）点M，N分别在线段FD，BC上，

若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，

使C与'A重合，求线段FM的长.

21．（本题满分15分）已知1m，直线,0

2

:

2



m

myxl椭圆

21

2

2

2

,,1:FFy

m

x

C分别为椭

圆C的左、右焦点.

（I）当直线l过右焦点F

2

时，求直线l的方程；

（II）设直线l与椭圆C交于A，B两点，

21

FAF，

21

FBF的重心分别为G，H.若原点O在以线

段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

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22．（本题满分14分）已知a是给定的实常数，

设函数,,)()()(2Rbebxaxxfxax

是)(xf的一个极大值点.

（I）求b的取值范围;

（II）设

321

,,xxx是)(xf的3个极值点，问是否存在实数b，可找到Rx

4

，使得

4321

,,,xxxx的

某种排列

432

,,,

iiii

xxxx（其中}4,3,2,1{},,,{

4321

iiii）依次成等差数列？若存在，示所有

的b及相应的;

4

x若不存在，说明理由.

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数学（理科）试题参考答案

一．选择题.

题号

答案

BADBDBCCAB

二．填空题．

11.



12．14413．

3

2

4

14．

0,

11

,

23

n

n













当为偶数时

当为奇数时

15．2222dd或16．

23

(0,]

3

17．264

三、解答题.

18．本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。14分。

（Ⅰ）解：因为2

1

cos212sin

4

CC，及0C

所以

10

sin.

4

C

（Ⅱ）解：当2,2sinsinaAC时，由正弦定理

sinsin

ac

AC

，得4.c

由2

1

cos22cos1,

4

CC及0C得

6

cos.

4

C

由余弦定理2222coscababC，得26120bb

解得

626b或

，所以

6,26

44.

bb

cc















或

19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象

概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得的分布列为

50%70%90%

P3

16

3

8

7

16

则

3373

50%70%90%.

168164

E

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（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为

339

.

16816



由题意得

9

(3,)

16

B，则22

1

991701

(2)()(1).

16164096

PC

20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同时考查空间

想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH



因为AEAF



及H是EF的中点，所以AHEF





又因为平面AEF



平面BEF，及AH



平面.AEF



所以AH



平面BEF。

如图建立空间直角坐标系.Axyz

则(2,2,22),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD



故(2,2,22),(6,0,0)FNFD

设(,,)nxyz为平面AFD



的一个法向量

所以

22220

60

xyz

x















，取

2,(0,2,2)zn则

又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，故

3

cos,

3

||||

nm

nm

nm







所以二面角的余弦值为

3

.

3

（Ⅱ）解：设£¬(4,0,0)FMxMx则

因为翻折后，C与A重合，所以CM=AM



故222222(6)80(2)2(22)xx，得

21

4

x

经检验，此时点N在线段BG上，所以

21

.

4

FM

方法二：

（Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结AG



，NH，GH

因为AEAF



及H是EF的中点，所以A



H//EF。

又因为平面A



EF平面BEF，所以A



H`平面BEF，

又AF平面BEF，故AHAF



，

又因为G，H是AF，EF的中点，

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易知GH//AB，所以GHAF，

于是AF面A



GH

所以AGH



为二面角A



—DF—C的平面角，

在RtAGH



中，22,2,23AHGHAG





所以

3

cos.

3

AGH



故二面角A



—DF—C的余弦值为

3

3

。

（Ⅱ）解：设FMx，

因为翻折后，G与A



重合，所以CMAM



，

而222228(6)CMDCDMx

222222222(22)(2)2AMAHMHAHMGGHx



，得

21

4

x

经检验，此时点N在线段BC上，所以

21

.

4

FM

21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何

的基本思想方法和综合解题能力。满分15分

（Ⅰ）解：因为直线

2

:0

2

m

lxmy经过2

2

(1,0)Fm，所以

2

221,2

2

m

mm得

又因为1.m所以2.m故直线l的方程为

（Ⅱ）解：设

1122

(,),(,)AxyBxy，

由

2

2

2

2

,

2

1

m

xmy

x

y

m



















消去x得：

2

2210

4

m

ymy

则由

2

228(1)80

4

m

mm，知28m

且有

2

1212

1

,.

282

mm

yyyy

由于

12

(,0),(,0)FcFc故O为F

1

F

2

的中点，

由2,2AGGOBHHO，可知

2

112(,),(,)

3333

xyy

x

GH

22

2

1212

()()

||.

99

xxyy

GH





设M是GH的中点，则1212(,)

66

xxyy

M



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由题意可知，2||||MOGH

好

22

22

12121212

()()

4[()()]

6699

xxyyxxyy



即

1212



而

22

12121212

()()

22

mm

xxyymymyyy

2

2

1

(1)(),

82

m

m

所以

21

0.

82

m

即24.m

又因为10.m且所以12.m所以m的取值范围是（1，2）。

22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时考查推理论

证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14分。

（Ⅰ）解：22()()[(3)2]fxcxaxabxbaba





令2()(3)2gxxabxbaba

则22(3)4(2)(1)ab

于是可设

12

,xx是()0gx的两实根，且

12

,xx

（1）当

12

xaxa或时，则

xa

不是()fx的极值点，此时不合题意

（2）当

12

xaxa且时，由于

xa

是()fx的极大值点，

故

12

.xax即()0ga

即2(3)20aabababa，所以ba

所以b的取值范围是（-∞，a）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b及

b

x满足题意，则

（1）当

21

xaax时，则

4241

22xxaxxa或

于是

1

即

此时2

42

23(1)826xxaababaa

或2

41

23(1)baa

（2）当

21

xaax时，则

2122

2()()2()xaaxaxxa或

①若2

212

2(),

2

ax

xaaxx



则

于是

2

12

3(3)(1)8

32

2

abab

axx





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即2(1)83(3)abab

于是

913

1

2

ab





此时2

2

2(3)3(3)113

3.

242

ax

aabab

xba







②若1

122

2(),

2

ax

axxa



则x

于是

2

21

3(3)(1)8

32

2

abab

axx





即2(1)83(3)abab，于是

913

1.

2

ab





此时1

2

2(3)3(3)113

3.

242

ax

aabab

xba







综上所述，存在b满足题意

当

4

3,26baxa时

当

4

713113

,

22

baxa



时

当

4

713113

,.

22

baaa



时