1/27
2021-2022
学年安徽省马鞍山市雨花区中加双语学校八年级（下）
开学数学试卷
一、选择题（本大题共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1
．下列图形不是轴对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．若（
m
﹣
2
）
x2﹣
2x+3
＝
0
是关于
x
的一元二次方程，则
m
的取值范围是（）
A
．
m
＞
2B
．
m
≠
0C
．
m
≤
2D
．
m
≠
2
3
．若＝
2
﹣
x
成立，则
x
的取值范围是（）
A
．
x
≤
2B
．
x
≥
2C
．
0
≤
x
≤
2D
．任意实数
4
．如图，
AD
⊥
BD
于点
D
，
GC
⊥
BC
于点
C
，
CF
⊥
AB
于点
F
，下列关于高的说法中错误的
是（）
A
．△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高
B
．△
GBC
中，
CF
是
BG
边上的高
C
．△
ABC
中，
GC
是
BC
边上的高
D
．△
GBC
中，
GC
是
BC
边上的高
5
．如图，△
ABC
中，∠
BAC
＝
130
°，
AB
，
AC
的垂直平分线分别交
BC
于点
E
，
F
，与
AB
，
AC
分别交于点
D
，
G
，则∠
EAF
的度数为（）
A
．
65
°
B
．
60
°
C
．
70
°
D
．
80
°
2/27
6
．已知
a
∥
b
，一块含
30
°角的直角三角板如图所示放置，∠
2
＝
50
°，则∠
1
等于（）
A
．
140
°
B
．
150
°
C
．
160
°
D
．
170
°
7
．如图，有三块菜地△
ACD
，△
ABD
，△
BDE
分别种植三种蔬菜，点
D
为
AE
与
BC
的交
点，
AD
平分∠
BAC
，
AD
＝
DE
，
AB
＝
3AC
，菜地△
BDE
的面积为
96
，则菜地△
ACD
的
面积是（）
A
．
24B
．
27C
．
32D
．
36
8
．如图，∠
AOB
＝
150
°，
OP
平分∠
AOB
，
PD
⊥
OB
于点
D
，
PC
∥
OB
交
OA
于点
C
，若
PD
＝
3
，则
OC
的长为（）
A
．
3B
．
4C
．
5D
．
6
9
．如图，直线
y
＝﹣
x+4
与
x
轴交于点
B
，与
y
轴交于点
C
，点
E
（
1
，
0
），
D
为线段
BC
的中点，
P
为
y
轴上的一个动点，连接
PD
、
PE
，当△
PED
的周长最小时，点
P
的坐
标为（）
3/27
A
．（
0
，）
B
．（
0
，
1
）
C
．（
1
，
0
）
D
．（
0
，）
10
．如图，∠
BAC
与∠
CBE
的平分线相交于点
P
，
BE
＝
BC
，
PB
与
CE
交于点
H
，
PG
∥
AD
交
BC
于点
F
，交
AB
于点
G
．有下列结论：①
GA
＝
GP
；②
S
△
PAC：
S
△
PAB＝
AC
：
AB
；③
BP
垂直平分
CE
；④
FP
＝
FC
，其中正确的结论有（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）
11
．已知直线
y
＝﹣
2x+1
经过
P
1（π，
y
1）、
P
2（，
y
2）两点，则
y
1
y
2．（填“＞”
“＜”或“＝”）
12
．已知
a
＜
b
，化简二次根式结果是．
13
．如图，在△
ABC
中，
ED
∥
BC
，∠
ABC
和∠
ACB
的平分线分别交
ED
于点
G
、
F
，若
BE
＝
3
，
CD
＝
4
，
ED
＝
5
，则
FG
的长为．
14
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
50
°，∠
BAC
的平分线与
AB
的垂直平分线
OD
交于点
O
，点
E
在
BC
上，点
F
在
AC
上，连接
EF
．将∠
C
沿
EF
折叠，点
C
与点
O
恰
好重合时，则∠
OEC
的度数为°．
三、（本大题共
2
小题，每小题
8
分，满分
16
分）
15
．计算：
4/27
（
1
）﹣（
4
）；
（
2
）
|
﹣
|
﹣（
4
﹣π）0+
（）﹣1．
16
．解方程：
（
1
）
4x2+2x
﹣
1
＝
0
；
（
2
）
2y
（
y
﹣
2
）＝
y2﹣
2
．
四、（本大题共
2
小题，每小题
8
分，满分
16
分）
17
．已知直线
y
＝
kx+b
经过
M
（
0
，
2
），
N
（
1
，
3
）两点．
（
1
）求该直线的表达式；
（
2
）请判断点
P
（
2
，
4
）在不在该直线上．
18
．观察下列各式：
＝
2
，＝
3
，＝
4
．
（
1
）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（
2
）你能用字母
n
（
n
是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
五、（本大题共
2
小题，每小题
10
分，满分
20
分）
19
．如图，点
B
、
F
、
C
、
E
在同一直线上，
AC
、
DF
相交于点
G
，
AB
⊥
BE
于
B
，
DE
⊥
BE
于
E
，且
AB
＝
DE
，
BF
＝
CE
．
求证：（
1
）
GF
＝
GC
；
（
2
）△
AFG
≌△
DCG
．
20
．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买
1
盆三角梅和
2
盆水仙需要
14
元，购买
2
盆三角梅和
1
盆水仙需要
13
元．
（
1
）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（
2
）购买三角梅、水仙共
200
盆，且购买的三角梅不少于
60
盆，但不多于
80
盆：
①设购买三角梅
a
盆，总费用为
W
元，求
W
与
a
的关系式；
5/27
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
六、（本大题共
2
小题，每小题
12
分，满分
24
分）
21
．已知直线
y
＝
kx+b
经过点
A
（
5
，
0
），
B
（
1
，
4
），并与
y
轴交于点
D
．
（
1
）求直线
AB
的函数表达式；
（
2
）若直线
y
＝
2x
﹣
4
与直线
AB
相交于点
C
，求点
C
的坐标；
（
3
）直线
y
＝
2x
﹣
4
与
y
轴交于点
E
，在直线
AB
上是否存在点
P
，使得
S
△
DEC＝
3S
△
DEP，
若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，说明理由．
22
．在等边△
ABC
中，点
D
在
BC
边上，点
E
在
AC
边的延长线上，且
DA
＝
DE
．
（
1
）如图
1
，若点
D
为
BC
中点，
AB
＝
6
，求
CE
的长；
（
2
）如图
2
，若点
D
为线段
BC
上的任意一点，求证：
AC
＝
CE+CD
．
七、（本题满分
14
分）
23
．（
1
）模型建立，如图
1
，等腰直角三角形
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
CB
＝
CA
，直线
ED
经过点
C
，过
A
作
AD
⊥
ED
于
D
，过
B
作
BE
⊥
ED
于
E
．求证：△
BEC
≌△
CDA
；
（
2
）模型应用：
①已知直线
y
＝
x+3
与
y
轴交于
A
点，与
x
轴交于
B
点，将线段
AB
绕点
B
逆时针旋转
90
度，得到线段
BC
，过点
A
，
C
作直线，求直线
AC
的解析式；
6/27
②如图
3
，矩形
ABCO
，
O
为坐标原点，
B
的坐标为（
8
，
6
），
A
，
C
分别在坐标轴上，
P
是线段
BC
上动点，已知点
D
在第一象限，且是直线
y
＝
2x
﹣
5
上的一点，若△
APD
是不
以
A
为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点
D
的坐标．
7/27
参考答案
一、选择题（本大题共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1
．下列图形不是轴对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项
A
、
B
、
C
均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项
D
不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以不是轴对称图形，
故选：
D
．
2
．若（
m
﹣
2
）
x2﹣
2x+3
＝
0
是关于
x
的一元二次方程，则
m
的取值范围是（）
A
．
m
＞
2B
．
m
≠
0C
．
m
≤
2D
．
m
≠
2
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解：∵（
m
﹣
2
）
x2﹣
2x+3
＝
0
是关于
x
的一元二次方程，
∴
m
﹣
2
≠
0
，
解得
m
≠
2
．
故选：
D
．
3
．若＝
2
﹣
x
成立，则
x
的取值范围是（）
A
．
x
≤
2B
．
x
≥
2C
．
0
≤
x
≤
2D
．任意实数
【分析】根据二次根式的性质，利用＝
|a|
以及绝对值的意义进行解答即可．
解：∵＝
|x
﹣
2|
＝
2
﹣
x
，
8/27
∴
x
﹣
2
≤
0
，
∴
x
≤
2
，
故选：
A
．
4
．如图，
AD
⊥
BD
于点
D
，
GC
⊥
BC
于点
C
，
CF
⊥
AB
于点
F
，下列关于高的说法中错误的
是（）
A
．△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高
B
．△
GBC
中，
CF
是
BG
边上的高
C
．△
ABC
中，
GC
是
BC
边上的高
D
．△
GBC
中，
GC
是
BC
边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利
用排除法求解．
解：
A
、△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，正确；
B
、△
GBC
中，
CF
是
BG
边上的高，正确；
C
、△
ABC
中，
GC
是
BC
边上的高，错误；
D
、△
GBC
中，
GC
是
BC
边上的高，正确．
故选：
C
．
5
．如图，△
ABC
中，∠
BAC
＝
130
°，
AB
，
AC
的垂直平分线分别交
BC
于点
E
，
F
，与
AB
，
AC
分别交于点
D
，
G
，则∠
EAF
的度数为（）
A
．
65
°
B
．
60
°
C
．
70
°
D
．
80
°
【分析】由
DE
垂直平分
AB
，
FG
垂直平分
AC
，可得
EB
＝
EA
，
FA
＝
FC
，又由等腰三角
形的性质与三角形内角和定理，可求得∠
BAE+
∠
FAC
度数，继而求得答案．
解：∵
DE
垂直平分
AB
，
FG
垂直平分
AC
，
∴
EB
＝
EA
，
FA
＝
FC
，
9/27
∴∠
BAE
＝∠
B
，∠
FAC
＝∠
C
，
∵△
ABC
中，∠
BAC
＝
130
°，
∴∠
B+
∠
C
＝
50
°，
∴∠
BAE+
∠
FAC
＝
50
°，
∴∠
EAF
＝∠
BAC
﹣（∠
BAE+
∠
FAC
）＝
80
°；
故选：
D
．
6
．已知
a
∥
b
，一块含
30
°角的直角三角板如图所示放置，∠
2
＝
50
°，则∠
1
等于（）
A
．
140
°
B
．
150
°
C
．
160
°
D
．
170
°
【分析】延长
CA
交直线
a
于点
D
，
解：延长
CA
交直线
a
于点
D
，如图所示：
由题意可得∠
BAC
＝
60
°，
∵
a
∥
b
，∠
2
＝
50
°，
∴∠
EDC
＝∠
2
＝
50
°，
∵∠
BAC
是△
ADE
的外角，
∴∠
AED
＝∠
BAC
﹣∠
DEC
＝
10
°，
∴∠
1
＝
180
°﹣∠
AED
＝
170
°．
故选：
D
．
7
．如图，有三块菜地△
ACD
，△
ABD
，△
BDE
分别种植三种蔬菜，点
D
为
AE
与
BC
的交
点，
AD
平分∠
BAC
，
AD
＝
DE
，
AB
＝
3AC
，菜地△
BDE
的面积为
96
，则菜地△
ACD
的
面积是（）
10/27
A
．
24B
．
27C
．
32D
．
36
【分析】在
AB
上截取
AF
＝
AC
，根据角平分线的定义得到∠
CAD
＝∠
FAD
，根据全等三
角形的性质得到
S
△
ACD＝
S
△
AFD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：在
AB
上截取
AF
＝
AC
，
∵
AD
平分∠
BAC
，
∴∠
CAD
＝∠
FAD
，
在△
ACD
与△
AFD
中，
，
∴△
ACD
≌△
AFD
（
SAS
），
∴
S
△
ACD＝
S
△
AFD，
∵
AD
＝
DE
，地△
BDE
的面积为
96
，
∴
S
△
ABD＝
S
△
BDE＝
96
，
∵
AB
＝
3AC
，
∴
AB
＝
3AF
，
∴
S
△
ADF＝×
96
＝
32
，
∴菜地△
ACD
的面积是
32
，
故选：
C
．
8
．如图，∠
AOB
＝
150
°，
OP
平分∠
AOB
，
PD
⊥
OB
于点
D
，
PC
∥
OB
交
OA
于点
C
，若
PD
＝
3
，则
OC
的长为（）
11/27
A
．
3B
．
4C
．
5D
．
6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
解：∵∠
AOB
＝
150
°，
PC
∥
OB
交
OA
于点
C
，
∴∠
PCO
＝
30
°，
过
P
作
PE
⊥
OA
于
E
，
∵
PD
⊥
OB
，
OP
平分∠
AOB
∴
PE
＝
PD
＝
3
，∴∠
AOP
＝∠
POD
＝
75
°，
∴∠
CPD
＝
75
°，
∴
OC
＝
PC
＝
6
，
故选：
D
．
9
．如图，直线
y
＝﹣
x+4
与
x
轴交于点
B
，与
y
轴交于点
C
，点
E
（
1
，
0
），
D
为线段
BC
的中点，
P
为
y
轴上的一个动点，连接
PD
、
PE
，当△
PED
的周长最小时，点
P
的坐
标为（）
A
．（
0
，）
B
．（
0
，
1
）
C
．（
1
，
0
）
D
．（
0
，）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点
B
，
C
的坐标，结合点
D
为线段
BC
12/27
的中点可求出点
D
的坐标，作点
D
关于
y
轴的对称点
D
′，连接
D
′
E
，交
y
轴于点
P
，
此时△
PED
的周长最小，由点
D
，
D
′关于
y
轴对称可得出点
D
′的坐标，由点
D
′，
E
的坐标，利用待定系数法可求出直线
D
′
E
的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标
特征可求出点
P
的坐标．
解：当
x
＝
0
时，
y
＝﹣×
0+4
＝
4
，
∴点
C
的坐标为（
0
，
4
）；
当
y
＝
0
时，﹣
x+4
＝
0
，解得：
x
＝
3
，
∴点
B
的坐标为（
3
，
0
）．
又∵点
D
为线段
BC
的中点，
∴点
D
的坐标为（，
2
）．
作点
D
关于
y
轴的对称点
D
′，连接
D
′
E
，交
y
轴于点
P
，此时△
PED
的周长最小，如
图所示．
∵点
D
，
D
′关于
y
轴对称，
∴点
D
′的坐标为（﹣，
2
）．
设直线
D
′
E
的解析式为
y
＝
kx+b
（
k
≠
0
），
将
D
′（﹣，
2
），
E
（
1
，
0
）代入
y
＝
kx+b
得：，
解得：，
∴直线
D
′
E
的解析式为
y
＝﹣
x+
．
当
x
＝
0
时，
y
＝﹣×
0+
＝，
13/27
∴当△
PED
的周长最小时，点
P
的坐标为（
0
，）．
故选：
A
．
10
．如图，∠
BAC
与∠
CBE
的平分线相交于点
P
，
BE
＝
BC
，
PB
与
CE
交于点
H
，
PG
∥
AD
交
BC
于点
F
，交
AB
于点
G
．有下列结论：①
GA
＝
GP
；②
S
△
PAC：
S
△
PAB＝
AC
：
AB
；③
BP
垂直平分
CE
；④
FP
＝
FC
，其中正确的结论有（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
解：①∵
AP
平分∠
BAC
，
∴∠
CAP
＝∠
BAP
，
∵
PG
∥
AD
，
∴∠
APG
＝∠
CAP
，
∴∠
APG
＝∠
BAP
，
∴
GA
＝
GP
；
②∵
AP
平分∠
BAC
，
∴
P
到
AC
，
AB
的距离相等，
∴
S
△
PAC：
S
△
PAB＝
AC
：
AB
，
③∵
BE
＝
BC
，
BP
平分∠
CBE
，
14/27
∴
BP
垂直平分
CE
（三线合一），
④∵∠
BAC
与∠
CBE
的平分线相交于点
P
，可得点
P
也位于∠
BCD
的平分线上，
∴∠
DCP
＝∠
BCP
，
又∵
PG
∥
AD
，
∴∠
FPC
＝∠
DCP
，
∴
FP
＝
FC
，
故①②③④都正确．
故选：
D
．
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）
11
．已知直线
y
＝﹣
2x+1
经过
P
1（π，
y
1）、
P
2（，
y
2）两点，则
y
1＜
y
2．（填“＞”
“＜”或“＝”）
【分析】根据一次函数的性质，当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小解答即可．
解：∵一次函数
y
＝﹣
2x+1
中
k
＝﹣
2
＜
0
，
∴
y
随
x
的增大而减小，
∵π＞，
∴
y
1＜
y
2．
故答案为：＜．
12
．已知
a
＜
b
，化简二次根式结果是﹣
a
．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定
a
、
b
的取值范围，再进行化简即可．
解：因为有意义，
所以
a
、
b
异号，
又
a
＜
b
，
所以
a
＜
0
，
b
＞
0
，
所以＝
|a|
＝﹣
a
，
故答案为：﹣
a
．
13
．如图，在△
ABC
中，
ED
∥
BC
，∠
ABC
和∠
ACB
的平分线分别交
ED
于点
G
、
F
，若
BE
＝
3
，
CD
＝
4
，
ED
＝
5
，则
FG
的长为
2
．
15/27
【分析】根据平行线的性质得到∠
EGB
＝∠
GBC
，∠
DFC
＝∠
FCB
，由角平分线的定义
得到∠
GBC
＝∠
GBE
，∠
FCB
＝∠
FCD
，于是得到
BE
＝
EG
，
CD
＝
DF
，代入数据即可得
到结论．
解：∵
ED
∥
BC
，
∴∠
EGB
＝∠
GBC
，∠
DFC
＝∠
FCB
，
∵∠
ABC
和∠
ACB
的平分线分别交
ED
于点
G
、
F
，
∴∠
GBC
＝∠
GBE
，∠
FCB
＝∠
FCD
，
∴∠
EGB
＝∠
EBG
，∠
DCF
＝∠
DFC
，
∴
BE
＝
EG
，
CD
＝
DF
，
∵
BE
＝
3
，
CD
＝
4
，
ED
＝
5
，
∴
EB+CD
＝
EG+DF
＝
EF+FG+FG+DG
＝
ED+FG
，即
3+4
＝
5+FG
，
∴
FG
＝
2
，
故答案为
2
．
14
．如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
50
°，∠
BAC
的平分线与
AB
的垂直平分线
OD
交于点
O
，点
E
在
BC
上，点
F
在
AC
上，连接
EF
．将∠
C
沿
EF
折叠，点
C
与点
O
恰
好重合时，则∠
OEC
的度数为
100
°．
【分析】连接
OB
、
OC
，根据角平分线的定义求出∠
BAO
，根据等腰三角形两底角相等
求出∠
ABC
，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得
OA
＝
OB
，根
据等边对等角可得∠
ABO
＝∠
BAO
，再求出∠
OBC
，然后证明△
ABO
≌△
ACO
，可得
OB
16/27
＝
OC
，再根据等边对等角求出∠
OCB
＝∠
OBC
，根据翻折的性质可得
OE
＝
CE
，然后根
据等边对等角求出∠
COE
，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：分别连接
OB
，
OC
，如图所示，
∵∠
BAC
＝
50
°，
AO
为∠
BAC
的平分线，
∴∠
BAO
＝∠
BAC
＝×
50
°＝
25
°．
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
ABC
＝∠
ACB
＝（
180
°﹣
50
°）＝
65
°，
∵
DO
是
AB
的垂直平分线，
∴
OA
＝
OB
；
∴∠
ABO
＝∠
BAO
＝
25
°．
∴∠
OBC
＝∠
ABC
﹣∠
ABO
＝
65
°﹣
25
°＝
40
°．
在△
ABO
和△
ACO
中，
，
∴△
ABO
≌△
ACO
（
SAS
），
∴
BO
＝
CO
，
∴∠
OCB
＝∠
OBC
＝
40
°；
∵将∠
C
沿
EF
（
E
在
BC
上，
F
在
AC
上）折叠，点
C
与点
O
恰好重合，
∴
OE
＝
CE
．
∴∠
COE
＝∠
OCB
＝
40
°；
在△
OCE
中，
∠
OEC
＝
180
°﹣∠
COE
﹣∠
OCB
＝
180
°﹣
40
°﹣
40
°＝
100
°，
17/27
故答案为：
100
．
三、（本大题共
2
小题，每小题
8
分，满分
16
分）
15
．计算：
（
1
）﹣（
4
）；
（
2
）
|
﹣
|
﹣（
4
﹣π）0+
（）﹣1．
【分析】（
1
）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（
2
）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别
化简，进而合并得出答案．
解：（
1
）原式＝
2+4
﹣
+4
×
＝
2+4
﹣
+2
＝
7
；
（
2
）原式＝﹣
1
﹣
+4
＝
3
．
16
．解方程：
（
1
）
4x2+2x
﹣
1
＝
0
；
（
2
）
2y
（
y
﹣
2
）＝
y2﹣
2
．
【分析】（
1
）方程利用公式法求出解即可；
（
2
）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（
1
）
4x2+2x
﹣
1
＝
0
，
这里：
a
＝
4
，
b
＝
2
，
c
＝﹣
1
，
∵Δ＝
b2﹣
4ac
＝
22﹣
4
×
4
×（﹣
1
）＝
4+16
＝
20
＞
0
，
∴
x
＝＝＝，
解得：
x
1＝，
x
2＝；
18/27
（
2
）
2y
（
y
﹣
2
）＝
y2﹣
2
整理为
y2﹣
4y+2
＝
0
，
这里：
a
＝
1
，
b
＝﹣
4
，
c
＝
2
，
∵Δ＝
b2﹣
4ac
＝（﹣
4
）2﹣
4
×
1
×
2
＝
16
﹣
8
＝
8
＞
0
，
∴
y
＝＝＝
2
±，
解得：
y
1＝
2
﹣，
y
2＝
2+
．
四、（本大题共
2
小题，每小题
8
分，满分
16
分）
17
．已知直线
y
＝
kx+b
经过
M
（
0
，
2
），
N
（
1
，
3
）两点．
（
1
）求该直线的表达式；
（
2
）请判断点
P
（
2
，
4
）在不在该直线上．
【分析】（
1
）将点的坐标代入求出
k
和
b
的值，即可得出函数解析式，；
（
2
）把
x
＝
2
代入
y
＝
x+2
得到
y
＝
4+2
＝
4
，即可判断．
解：（
1
）∵直线
y
＝
kx+b
经过点（
0
，
2
）和点（
1
，
3
），
∴，
解得：，
则该直线的表达式为
y
＝
x+2
；
（
2
）把
x
＝
2
代入
y
＝
x+2
得，
y
＝
4+2
＝
4
，
∴点
P
（
2
，
4
）在该直线上．
18
．观察下列各式：
＝
2
，＝
3
，＝
4
．
（
1
）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（
2
）你能用字母
n
（
n
是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【分析】类比上述式子，即可写出几个同类型的式子，然后根据已知的几个式子即可用
含
n
的式子将规律表示出来，再证明即可求解．
解：（
1
）＝；
19/27
（
2
）规律＝
n
（
n
＞
1
），
证明：
＝
＝
n
（
n
＞
1
）．
五、（本大题共
2
小题，每小题
10
分，满分
20
分）
19
．如图，点
B
、
F
、
C
、
E
在同一直线上，
AC
、
DF
相交于点
G
，
AB
⊥
BE
于
B
，
DE
⊥
BE
于
E
，且
AB
＝
DE
，
BF
＝
CE
．
求证：（
1
）
GF
＝
GC
；
（
2
）△
AFG
≌△
DCG
．
【分析】（
1
）本题可通过证角相等来得出简单的边相等，关键是证得∠
ACB
＝∠
DCE
；
可通过证△
ABC
≌△
DEF
来实现，这两个三角形中，已知了
AB
＝
DE
，
BF
＝
CE
即
BC
＝
EF
，∠
B
＝∠
E
，即可根据
SAS
证得两三角形全等，由此可得证．
（
2
）由（
1
）可得出
AC
＝
DF
，
GF
＝
GC
，因此
AG
＝
GD
，两三角形中又有一组对顶角，
因此两三角形全等．
【解答】证明：（
1
）∵
BF
＝
CE
∴
BF+FC
＝
CE+FC
，即
BC
＝
EF
．
又∵
AB
⊥
BE
，
DE
⊥
BE
，
∴∠
B
＝∠
E
＝
90
°．
又∵
AB
＝
DE
，
∴△
ABC
≌△
DEF
（
SAS
）．
∴
AC
＝
DF
，∠
ACB
＝∠
DFE
．
∴△
GFC
是等腰三角形，
∴
GF
＝
GC
．
20/27
（
2
）∵
AG
＝
AC
﹣
CG
，
DG
＝
DF
﹣
FG
，
∴
AG
＝
DG
．
又∠
AGF
＝∠
CGD
，
∴△
AGF
≌△
CGD
．
20
．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买
1
盆三角梅和
2
盆水仙需要
14
元，购买
2
盆三角梅和
1
盆水仙需要
13
元．
（
1
）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（
2
）购买三角梅、水仙共
200
盆，且购买的三角梅不少于
60
盆，但不多于
80
盆：
①设购买三角梅
a
盆，总费用为
W
元，求
W
与
a
的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
【分析】（
1
）根据购买
1
盆三角梅和
2
盆水仙需要
14
元，购买
2
盆三角梅和
1
盆水仙
需要
13
元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各
为多少元；
（
2
）①根据题意，可以写出
W
与
a
的关系式；
②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求
出最少费用．
解：（
1
）设三角梅、水仙的单价分别为
x
元、
y
元，
根据题意得：，
解得，
答：三角梅、水仙的的单价分别为
4
元、
5
元；
（
2
）①由题意可得，
W
＝
4a+5
（
200
﹣
a
），
即
W
与
a
的关系式是
W
＝﹣
a+1000
（
60
≤
a
≤
80
）；
②∵
W
＝﹣
a+1000
，
∴
W
随
a
的增大而减小，
∵
60
≤
a
≤
80
，
∴当
a
＝
80
时，
W
取得最小值，
此时
W
＝
920
，
200
﹣
a
＝
200
﹣
80
＝
120
，
21/27
答：当购买三角梅
80
盆、水仙
120
盆时，总花费最少，最少费用为
920
元．
六、（本大题共
2
小题，每小题
12
分，满分
24
分）
21
．已知直线
y
＝
kx+b
经过点
A
（
5
，
0
），
B
（
1
，
4
），并与
y
轴交于点
D
．
（
1
）求直线
AB
的函数表达式；
（
2
）若直线
y
＝
2x
﹣
4
与直线
AB
相交于点
C
，求点
C
的坐标；
（
3
）直线
y
＝
2x
﹣
4
与
y
轴交于点
E
，在直线
AB
上是否存在点
P
，使得
S
△
DEC＝
3S
△
DEP，
若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（
1
）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（
2
）联立两直线解析式，解方程组得到点
C
的坐标；
（
3
）分别求出直线
y
＝
2x
﹣
4
与
y
＝﹣
x+5
分别与
y
轴的交点
E
和点
D
的坐标，然后根据
三角形的面积公式列式计算即可．
解：（
1
）∵直线
y
＝
kx+b
经过点
A
（
5
，
0
），
B
（
1
，
4
），
∴，解得，
∴直线
AB
的表达式为
y
＝﹣
x+5
；
（
2
）∵直线
y
＝
2x
﹣
4
与直线
AB
相交于点
C
，
∴，解得，
∴点
C
（
3
，
2
）．
（
3
）∵直线
y
＝
2x
﹣
4
与
y
＝﹣
x+5
分别交
y
轴于点
E
和点
D
，
∴
D
（
0
，
5
），
E
（
0
，﹣
4
），
22/27
∴
S
△
DEC＝
DE
•
|x
C
|
＝×
9
×
3
＝，
∵
S
△
DEC＝
3S
△
DEP，
∴
S
△
DEP＝
DE
•
|x
P
|
＝＝×，
∴
|x
P
|
＝
1
，
∴点
P
的坐标为（
1
，
4
）或（﹣
1
，
6
）．
22
．在等边△
ABC
中，点
D
在
BC
边上，点
E
在
AC
边的延长线上，且
DA
＝
DE
．
（
1
）如图
1
，若点
D
为
BC
中点，
AB
＝
6
，求
CE
的长；
（
2
）如图
2
，若点
D
为线段
BC
上的任意一点，求证：
AC
＝
CE+CD
．
【分析】（
1
）证明∠
CDE
＝∠
E
＝
30
°，可得结论；
（
2
）如图
2
中，在
CA
上取一点
T
，使得
CT
＝
CD
，连接
DT
，过点
D
作
DH
⊥
AC
于点
H
．证明
AT
＝
CE
，可得结论．
【解答】（
1
）解：如图
1
中，
∵△
ABC
是等边三角形，
∴
AB
＝
AC
＝
BC
＝
6
，∠
BAC
＝∠
ACB
＝
60
°
又∵
D
是
BC
中点，
23/27
∴，，
∵
DA
＝
DE
，
∴∠
DAC
＝∠
E
＝
30
°，
∴∠
CDE
＝∠
ACB
﹣∠
E
＝
30
°，
∴∠
CDE
＝∠
E
，
∴
CE
＝
CD
＝
3
，
答：
CE
的长为
3
．
（
2
）证明：如图
2
中，在
CA
上取一点
T
，使得
CT
＝
CD
，连接
DT
，过点
D
作
DH
⊥
AC
于点
H
．
∵
CD
＝
CT
，∠
DCT
＝
60
°，
∴△
DCT
是等边三角形，
∵
DH
⊥
CT
，
∴
HT
＝
HC
，
∵
DA
＝
DE
，
DH
⊥
AE
，
∴
AH
＝
EH
，
∴
AT
＝
CE
，
∴
AC
＝
CT+AT
＝
CD+EC
．
七、（本题满分
14
分）
23
．（
1
）模型建立，如图
1
，等腰直角三角形
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
CB
＝
CA
，直线
ED
经过点
C
，过
A
作
AD
⊥
ED
于
D
，过
B
作
BE
⊥
ED
于
E
．求证：△
BEC
≌△
CDA
；
（
2
）模型应用：
24/27
①已知直线
y
＝
x+3
与
y
轴交于
A
点，与
x
轴交于
B
点，将线段
AB
绕点
B
逆时针旋转
90
度，得到线段
BC
，过点
A
，
C
作直线，求直线
AC
的解析式；
②如图
3
，矩形
ABCO
，
O
为坐标原点，
B
的坐标为（
8
，
6
），
A
，
C
分别在坐标轴上，
P
是线段
BC
上动点，已知点
D
在第一象限，且是直线
y
＝
2x
﹣
5
上的一点，若△
APD
是不
以
A
为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点
D
的坐标．
【分析】（
1
）由条件可求得∠
EBC
＝∠
ACD
，利用
AAS
可证明△
BEC
≌△
CDA
；
（
2
）①过
C
作
CD
⊥
x
轴于点
D
，由直线解析式可求得
A
、
B
的坐标，利用模型结论可得
CD
＝
BO
，
BD
＝
AO
，从而可求得
C
点坐标，利用待定系数法可求得直线
AC
的解析式；
②分三种情况考虑：如图
2
所示，当∠
ADP
＝
90
°时，
AD
＝
PD
，分点
P
与点
B
重合，
点
P
与点
B
不重合，由全等三角形的性质可得
D
点坐标；如图
3
所示，当∠
APD
＝
90
°
时，
AP
＝
PD
，设点
P
的坐标为（
8
，
m
），表示出
D
点坐标为（
14
﹣
m
，
m+8
），列出关
于
m
的方程，求出
m
的值，即可确定出
D
点坐标；如图
4
所示，当∠
ADP
＝
90
°时，
AD
＝
PD
时，同理求出
D
的坐标．
【解答】证明：（
1
）∵∠
ACB
＝
90
°，
∴∠
EBC+
∠
BCE
＝∠
BCE+
∠
ACD
＝
90
°，
∴∠
EBC
＝∠
ACD
，
在△
BEC
和△
CDA
中，
∴△
BEC
≌△
CDA
（
AAS
）；
（
2
）①如图
1
，过
C
作
CD
⊥
x
轴于点
D
，
25/27
直线
y
＝
x+3
与
y
轴交于
A
点，与
x
轴交于
B
点，
令
y
＝
0
可求得
x
＝﹣
4
，令
x
＝
0
可求得
y
＝
3
，
∴
OA
＝
3
，
OB
＝
4
，
同（
1
）可证得△
CDB
≌△
BAO
，
∴
CD
＝
BO
＝
4
，
BD
＝
AO
＝
3
，
∴
OD
＝
4+3
＝
7
，
∴
C
（﹣
7
，
4
），且
A
（
0
，
3
），
设直线
AC
解析式为
y
＝
kx+3
，把
C
点坐标代入可得
4
＝﹣
7k+3
，解得
k
＝﹣
∴直线
AC
解析式为
y
＝﹣
x+3
，
（
3
）②∵
B
的坐标为（
8
，
6
），
∴
AB
＝
8
，
BC
＝
6
如图
2
，当∠
ADP
＝
90
°时，
AD
＝
PD
，
∴点
D
在
AB
的中垂线上，即点
D
横坐标为
4
∴
D
点坐标（
4
，
3
）
∵当
D
点坐标（
4
，
3
）时，∠
ADP
≠
90
°，
∴
D
点坐标（
4
，
3
）不合题意；
26/27
如图，当∠
ADP
＝
90
°时，
AD
＝
PD
，点
P
不与点
B
重合时，过点
D
作
EF
⊥
AO
，交
AO
于
E
，交
BC
于
F
，则
EF
⊥
BC
，
∵∠
ADE+
∠
DAE
＝
90
°，∠
ADE+
∠
＝
90
°，
∴∠
DAE
＝∠
，且∠
AED
＝∠
DFP
＝
90
°，
AD
＝
PD
，
∴△
ADE
≌△
DPF
（
AAS
）
∴
AE
＝
DF
，
PF
＝
DE
，
设点
D
（
x
，
2x
﹣
5
），
∴
DE
＝
x
，
DF
＝
AE
＝
8
﹣
x
，
∴
8
﹣
x+2x
﹣
5
＝
6
，
∴
x
＝
3
，
∴点
D
（
3
，
1
）；
如图
3
，当∠
APD
＝
90
°时，
AP
＝
PD
，
27/27
设点
P
的坐标为（
8
，
m
），则
D
点坐标为（
14
﹣
m
，
m+8
），由
m+8
＝
2
（
14
﹣
m
）﹣
5
，
得
m
＝
5
，
∴
D
点坐标（
9
，
13
）；
如图
4
，当∠
ADP
＝
90
°时，
AD
＝
PD
时，同理可求得
D
点坐标（，），
综上所述：点
D
坐标为：（
3
，
1
）（
9
，
13
），（，）．
本文发布于:2022-12-28 18:25:39，感谢您对本站的认可！
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