数学备课大师

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

第2章函数

2.2函数的简单性质

2.2.2函数的奇偶性

A级基础巩固

1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A．y＝－x2＋5(x∈R)B．y＝－x

C．y＝x3(x∈R)D．y＝－

1

x

(x∈R，x≠0)

解析：函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x

是减函数；y＝－

1

x

(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝

x3(x∈R)满足条件．

答案：C

2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，

则当x＜0时，f(x)的解析式为()

A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝－x－1

C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x－1

解析：设x＜0，则－x＞0.

所以f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．

所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1.

所以f(x)＝－x－1(x＜0)．

答案：B

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

3．若函数f(x)＝

x

（2x＋1）（x－a）

为奇函数，则a等于()

A.

1

2

B.

2

3

C.

3

4

D．1

解析：因为f(－x)＝－f(x)，

所以

－x

（－2x＋1）（－x－a）

＝－

x

（2x＋1）（x－a）

.

所以(2a－1)x＝0.

所以a＝

1

2

.故选A.

答案：A

4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a

＋b的值是()

A．－

1

3

B.

1

3

C.

1

2

D．－

1

2

解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，

所以f(－x)＝f(x)．所以b＝0.

又a－1＝－2a，所以a＝

1

3

.所以a＋b＝

1

3

.

答案：B

5．(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)

是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

则f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|.

所以y＝f(x)|g(x)|为奇函数．

答案：C

6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函

数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()

A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)

C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)

解析：因为f(x)是偶函数，

则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，

又当x≥0时，f(x)是增函数，

所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．

答案：A

7．如图所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值是

________．

解析：利用f(－2)＝－f(2)或作出函数y＝f(x)在区间[－2，0]上的

图象(关于原点中心对称)可知，f(－2)＝－

3

2

.

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

答案：－

3

2

8．已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)．则当x＜0时，

f(x)＝________.

解析：当x＜0时，－x＞0，

又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．

答案：x(1＋x)

9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单

调递增区间是________．

解析：因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，即k＝1，此

时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

10．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则

方程f(x)＝0的所有实根之和为________．

解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x

轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半

轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

答案：0

11．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1.且g(x)为R上的奇

函数，f(－1)＝8，求f(1)．

解：因为f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，所以g(－1)＝

7

2

.

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

又因为g(x)为奇函数，

所以g(－1)＝－g(1)．

所以g(1)＝－g(－1)＝－

7

2

.

所以f(1)＝2g(1)＋1＝2×













－

7

2

＋1＝－6.

12．判断函数f(x)＝









x3－3x2＋1，x＞0，

x3＋3x2－1，x＜0

的奇偶性．

解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

(1)当x＞0时，－x＜0，

则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝

－(x3－3x2＋1)＝－f(x)；

(2)当x＜0时，－x＞0，

则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝

－(x3＋3x2－1)＝－f(x)，

由(1)(2)知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

B级能力提升

13．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)

＋g(－1)＝4，则g(1)等于()

A．4B．3C．2D．1

解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

又g(x)是偶函数，

所以g(－1)＝g(1)．

因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①

又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②

由①②，得g(1)＝3.

答案：B

14．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，

且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则()

A．f(6)＞f(7)B．f(6)＞f(9)

C．f(7)＞f(9)D．f(7)＞f(10)

解析：因为函数y＝f(x＋8)为偶函数，其对称轴是y轴，所以y

＝f(x)的对称轴是直线x＝8.

所以f(7)＝f(9)，

又y＝f(x)在区间(8，＋∞)上是减函数．

所以f(9)＞f(10)，故f(7)＞f(10)．

答案：D

15．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．

解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，

所以f(－x)＝f(x)，

则(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|.

所以|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|.

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

所以a＝0.

答案：0

16．已知函数f(x)＝x2－2|x|.

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明．

解：(1)函数f(x)是偶函数，定义域为R.

因为f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数．

(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数．证明如下：

当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2－2|x|＝x2＋2x.

设－1＜x

1

＜x

2

＜0，

则x

1

－x

2

＜0，且x

1

＋x

2

＞－2，

即x

1

＋x

2

＋2＞0.

因为f(x

1

)－f(x

2

)＝(x2

1

－x2

2

)＋2(x

1

－x

2

)＝(x

1

－x

2

)(x

1

＋x

2

＋2)＜0，

所以f(x

1

)＜f(x

2

)．

故f(x)在区间(－1，0)上是增函数．

17．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且

f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求实数a的取值范围．

解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)

在(0，＋∞)上递减．

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

因为2a2＋a＋1＝2













a＋

1

4

2

＋

7

8

＞0，

2a2－2a＋3＝2













a－

1

2

2

＋

5

2

＞0，

且f(2a2＋a＋1)＜f(2a－2a＋3)，

所以2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞

2

3

.

故a的取值范围是











2

3

，＋∞

.

18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2

－2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数f(x)的图象．

解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；

②当x＜0时，－x＞0，

因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.

数学备课大师【全免费】

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/

综上：f(x)＝









x2－2x，x＞0，

0，x＝0，

－x2－2x，x＜0.

(2)图象如图所示．