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浅论关于三角函数的几种解题技巧

本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解

题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：

一、关于)2sin(cossincossin或与的关系的推广应用：

1、由于

cossin21cossin2cossin)cos(sin222故知道

)cos(sin

，必可推出)2sin(cossin或，例如：

例1已知

33cossin,

3

3

cossin求。

分析：由于)coscossin)(sincos(sincossin2233

其中，cossin已知，只要求出cossin即可，此题是典型的知sin-cos，求

sincos的题型。

解：∵

cossin21)cos(sin2

故：

3

1

cossin

3

1

)

3

3

(cossin212

2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用：

由于tg+ctg=













cossin

1

cossin

cossin

sin

cos

cos

sin22







故：tg+ctg，cossin，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。

例2若sin+cos=m

2

，且tg+ctg=n，则m

2

n的关系为（）。

A．m2=nB．m2=

1

2



n

C．

n

m

2

2

D．

2

2

m

n

分析：观察sin+cos与sincos的关系：

sincos=

2

1

2

1)cos(sin22



m

而：

nctgtg





cossin

1

故：

1

21

2

1

2

2





n

m

n

m

，选B。

例3已知：tg



+ctg



=4，则sin2



的值为（）。

A．

2

1

B．

2

1

C．

4

1

D．

4

1



分析：tg



+ctg



=

4

1

cossin4

cossin

1





故：

2

1

2sincossin22sin。答案选A。

例4已知：tg



+ctg



=2，求

44cossin

分析：由上面例子已知，只要

44cossin能化出含sin



±cos



或sin



cos



的式子，

则即可根据已知tg



+ctg



进行计算。由于tg



+ctg



=

2

cossin

1



2

1

cossin，此题只要将44cossin化成含sin



cos



的式子即可：

解：

44cossin=44cossin+2sin2

cos2

-2sin2

cos2

=（sin2

+cos2

）-2sin2

cos2

=1-2(sin



cos



)2

=1-2)

2

1

(2

=

2

1

1

=

2

1

通过以上例子，可以得出以下结论：由于cossin，sin



cos



及tg



+ctg



三者之

间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但

有一点要注意的；如果通过已知sin



cos



，求含cossin的式子，必须讨论其象限才能

得出其结果的正、负号。这是由于（cossin）2=1±2sin



cos



，要进行开方运算才能

求出cossin

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg



（或

ctg



）与含sin



（或cos



）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”

法。方法如下：

例5已知：tg



=3，求





cossin2

cos3sin





的值。

分析：由于







cos

sin

tg

，带有分母cos



，因此，可把原式分子、分母各项除以cos



，

“造出”tg



，即托出底：cos



；

解：由于tg



=3

0cos

2





k

故，原式=

0

132

33

12

3

cos

cos

cos

sin

2

cos

cos

3

cos

sin







































tg

tg

例6已知：ctg



=-3，求sin



cos



-cos2

=?

分析：由于







sin

cos

ctg

，故必将式子化成含有





sin

cos

的形式，而此题与例4有所不同，

式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cossin22

及托底法托出其

分母，然后再分子、分母分别除以sin



，造出ctg



：

解：







22

2

222

cossin

coscossin

coscossin1cossin







例7（95年全国成人高考理、工科数学试卷）

设

2

0,

2

0



yx

，

)

6

sin()

3

sin(sinsinyxyx



且

求：)3)(

3

3

(ctgyctgx的值

分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，

由于

2

0,

2

0



yx

，故

0sin,0sinyx

，在等式两边同除以

yxsinsin

，托出分母

yxsinsin

为底，得：

解：由已知等式两边同除以

yxsinsin

得：

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于







cos

sin

tg

，







sin

cos

ctg

，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互

化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，

达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cossin22

，把

22cossin作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又

或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：xbxasincos的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式)sin(sincoscossinxAxAxA中得到启示：式子xbxasincos与上述公式

有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如xbxasincos的式子都可以

变成含)sin(xA的式子，由于-1≤)sin(xA≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成

cosA，如式子：xxsin4cos3中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA

≤1，可以如下处理式子：

由于

1)()(2

22

2

22







ba

b

ba

a

。

故可设：

22

sin

ba

a

A





，则AAsin1cos，即：

22

cos

ba

b

A





∴)sin()sincoscos(sinsincos2222xAbaxAxAbaxbxa

无论xA取何值，-1≤sin(A±x)≤1，

22ba≤)sin(22xAba≤22ba

即：22ba≤xbxasincos≤22ba

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：

例1（98年全国成人高考数学考试卷）

求：函数xxxycossincos32的最大值为（A）

A．

2

3

1B．13C．

2

3

1D．13

分析：

xxxx2sin

2

1

cossin2

2

1

cossin

，再想办法把x2cos变成含

xcso2

的式子：

2

12cos

cos1cos22cos22





x

xxx

于是：

x

x

y2sin

2

1

2

12cos

3





由于这里：

1)

2

1

()

2

3

(,

2

1

,

2

3

2222baba则

∴

2

3

)2sin

2

1

2cos

2

3

(1xxy

设：

2

1

cos,

2

3

1

2

3

sin

22





A

ba

a

A则

∴

2

3

2sincos2cossinxAxAy

无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故

2

3

1≤y≤

2

3

1

∴y的最大值为

2

3

1，即答案选A。

例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使

△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边

长。

分析：首先，由于222224)3(1ABCABC，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜

边，所对角∠C为直角，又由于

30,

2

1

sinA

AB

BC

A故

，则∠B=

90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列

出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=l，再想办法找

出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EC=l·cos

α，则BE=BC-EC=1-l·cosα。

而∠B+∠BDE+∠1=180°

∠α+∠DEF+∠1=180°∠BDE=∠α

∠B=60°，∠DEF=60°

∴在△BDE中，根据正弦定理：

在这里，要使

l

有最小值，必须分母：

sincos

2

3

有最大值，观察：

2

7

1)

2

3

(1,

2

3

,sincos

2

3

2222baba

∴)sin

7

72

cos

7

21

(

2

7

sincos

2

3



设：

7

21

sinA，则

7

72

cosA

故：)sincoscos(sin

2

7

sincos

2

3

AA

∴

sincos

2

3

的最大值为

2

7

。

即：l的最小值为：

7

21

2

7

2

3



而)sin(A取最大值为1时，

AkkA

2

2

2

2









∴

7

72

cos)

2

2sin(sinAAk





即：

7

72

sin

时，△DEF的边长最短，最短边长为

7

21

。

从以上例子可知，形如xbxasincos适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与

式子的加、减是无关，与22ba的最值有关；其中最大值为22ba，最小值为22ba。

在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如xbxasincos的关系式，即能根据题意，求

出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.

(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

α+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

α-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，

12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式

情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线

分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1sinα/cosα＝tanα＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/cαsin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝c2α

1＋cot2α＝csc2α