高数复习资料

第一章，关于函数、极限、连续。

1、函数：就是记忆些概念性的内容了，从初中到高中，再到大学都接触这些，应

该知道集合、映射。（注意------1映射三要素：定义域、值域、对应法则。2像唯

一、原像不一定唯一。）映射分为满射(F(X)=Y)、单射(原像唯一)、双射（满射+单

射）。逆映射、复合映射了解一下就应该可以。

函数的表示方法有4种：（分段函数、隐式表示、参数表示、极坐标表示）。大

家自行记住一些基本初等函数和特殊函数…….

函数的性质：奇偶性、单调性、周期性没什么好说的，有界性理解一下就知道怎么

回事了。

反函数什么的很头疼、作为高中不学反函数的我，至今还在头疼….

2、极限：数列极限---------ε-N定义、几何意义为“从N项后的所有项都落在

（a-ε,a+ε）上，只有N项落在区间外”

函数极限---------（1）x---à∞时记住ε-X定义、几何意义为在（X,+∞）内，F(X)

全部落在（A-ε,A+ε）的带型区域内。

（2）x—>Xo时，记住ε-δ定义。

具体内容请自行翻到P49.习题1-4（A）5，记住这张表，没填的赶紧补上。

用定义求极限有可能会用到放缩，这得就具体情况考虑，遇到题目请注意。

3、无穷小与无穷大：注意几点：（1）无穷小量是一个变量（2）除0以外任何常

数都不是无穷小（3）无穷大必无界，反之不成立。（4）之间关系：F(X)为无穷小，

倒数为无穷大（0除外…）

4、极限运算法则：

无穷小运算法则：（1）有限个无穷小之和为无穷小（2）有界函数*无穷小=无穷小

（3）无限个无穷小之和不一定无穷小。

四则运算法则：局部保号性，limf(x)=a>limg(x)=b,则a>b。加减乘都是和普通的

相同的。除法要求下面的式子极限不为0。

复合函数极限运算法则：：这个不多说了，复合函数里层外层....注意自变量变化。

函数求极限的方法：（1）定义（最原始的了。）

（2）x—>Xo时，代入（对连续函数，可用因式分解或有理化消

除零因子。化简要消除误区----如果下面式子和上面可约，不用管是否等于0的情况）

（3）换元替代。

（4）对于连续函数中分段函数类型，左极限=右极限。

（5）等价无穷小（P73最上头有一些常用的），这个用时有3

个注意点：（1）等价无穷小的式子要与其他式子为乘除关系（2）等价无穷小针对

X->0。（3）x—>∞时，把式子看成整体—>0也行，例如1/x。x趋近无穷的时候

还原成无穷小。

(6)洛比达法则：针对“零比零”型、“无穷比无穷”型、“0*无穷”

型、“无穷-无穷”型、“零的零次方”型、“1的无穷次方”型、“无穷的0次方”型。（这

个放在后面说，比较麻烦）

（7）两个重要极限求极限：lim（X趋于0）sinx/x=1、lim（x

趋于无穷）（1+1/x）^x=e。。。。。。这个我一直以为是等价无穷小......翻书后

才知道两个重要极限是这两个。

（8）单调有界准则和夹逼准则。

（9）填空中小技巧：不同函数趋近于无穷的速度不同--分子分

母同除最高次幂。

a^x>x^a>ax>lnx

5、无穷小的比较：看着每年的题目...都会出现这个的。3分哦。limb/a=∞，b是a

的低阶无穷小；limb/a=0,b是a的高阶无穷小；limb/a=c≠0,b是a的同阶无穷小;K

阶无穷小貌似没见过....；等价无穷小b~a

6、连续性与间断点：连续性，出题看到的都是分段函数------利用左极限=右极限，

极限求法在上面。

间断点：（这个应该必出的吧）分为第一类和第二类，

第一类的分类要求是Xo处左右极限都存在，其中左极

限=右极限时为可去间断点，不等则为跳跃间断点.

第二类是至少有一个极限不存在，出现极限有无穷为无

穷间断点。振荡间断点我只在sin1/x这些复合三角函数中见过。（极限别求错就

OK，求法在上面。）

7、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界定理、零点定理、介值定理，后两个

在我看来，与微分中值定理有联系，或许能用得到。

第二章导数与微分

1、导数：定义什么的不讲了。常用基本初等函数导数公式详见P119,求导法则与反

函数求导法则同在（这些必须记住）。注：可导可以判断函数连续，反之不成立。

关于lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h这个式子，有可能会遇到括号中出现2h,3h

的情况，只需将底下凑配成2h,3h形式就行了。灵活运用上面式子加减某个式子，

具体题目可见白皮书02级填空3。

复合函数求导整体求导*内层求导（整体求导既将整个内层看做X）。幂指函

数求导换成e的f（x）lng(x)形式再求导。

2、高阶导数：可能会考到F(X)存在的最高阶数，这个结束就是一直求导知道剩下

只有常数时N-1次。莱布尼茨公式P130。

2阶导形式可以是这样lim(x->Xo)f(x)-f(Xo)/(x-Xo)^2的形式，填空

看见这个就要知道是2阶导，不知所云的可以看白皮书06级选择题4，出现这个形

式的，知道这形式就是2阶导就行。y''=d^2y/dx^2。

3、隐函数与参数方程求导：隐函数求导，把Y看做复合函数，两边同时对X求导，

Y也求导，把Y看作中间变量，最后整理y'

参数方程求导要注意关于X还是关于Y求导，通常DY/DX=Y

关于T的导数/x关于T的导数，二阶导就是（DY/DX）/x关于T的导数。高阶顺次。

4、微分：--这个就先求导然后后面+dx好了....泰勒公式最粗略的部分就是这个

f(x)≈f(Xo)+f'(Xo)*x

实际问题或许会出粗略值。

第三章微分中值定理和导数的应用

1、微分中值定理：Fermat定理只是作为一个引理，知道f'(x)=0的点为驻点应该即

可。

Rolle定理是比较重要的定理，用来证明在闭区间内f'(x)=0至少有

一个根。由这点可以看出，遇到证明f(0)=0至少有一个根的时候，往往去构造函数，

构造函数的导数为f(X)。Rolle定理经常与零点定理相结合使用，前面有所提到过。

拉格朗日中值定理(L-定理)是Rolle定理的推广，去掉了原先

f(a)=f(b)的条件。而这个式子是至少存在一点ξ∈（a,b），在x=ξ处，

f'(ξ)=f(b)-f(a)/b-a。从几何意义看出即（a，b）上存在一点，切线斜率与a，b连线

斜率相同。此定理用于证明等式，不等式，灵活运用变型形式和推论1：f„(x)≡0,x

∈I，则f(x)=常数C。以及推论2：f'(x)=g'(x),则f(x)=g(x)+C。这里也是考验构造

函数的能力。

例举几个形式，遇到证明不等式时，中间式子是由2个式子相减，

且形式相同时构造函数f(x)=其中一个式子的形式；只有一个式子，通常就直接将这

个式子先构造函数试试；不是所有式子都成立....只举这几个典型形式。通常构造函

数，利用L-定理式子f(x1)-f(x2)=f'(ξ)(x2-x1)，利用ξ∈（X1,X2）应该可以求证。

L-定理中我认为最难的，就是证明等式，通常较简单的为f'(ξ)=-f(ξ)

或f'(ξ)=f(ξ)等，这个与导数联系，有可能为乘除形式。

柯西中值定理则为L-定理的再推广，了解级别。同样构造函数。和

L-定理类似，导数变形很重要。

2、洛比达法则：前面提到过洛比达法则，用于直接求“零比零”型、“无穷比无穷”型

的函数极限。由柯西中值定理，利用分子分母分别求导，直到不再为0/0，∞/∞形

式，代入数值（左右极限定理仍适用），随时检验极限类型。

洛比达法则要结合等价无穷小的替代，并在每部中都注意能否化简，

化简可以大大减轻题目书写量，主要化简量为(1)恒等式(2)约去零因子(3)提出非零

因子(4)等价无穷小代换。

洛比达法则不是万能的，limf'(x)/g'(x)不存在且不为∞时，f(x)/g(x)

的极限仍然可能存在，例如x趋于无穷时，(x+sinx)/x的极限存在，但不能用洛比

达法则。

数列的极限不能用洛比达法则，但是能将n推广到R，然后用洛比达

法则。

其他不定型：∞-∞：f(x)-g(x)，同除f(x)g(x),再除以1/(f(x)g(x))转化

成0/0型。

0*∞：f(x)g(x)，将g(x)转化成1/g(x)形式放到分母上去

转化成0/0型。

0的0次方，1的∞次方，∞的0次方：f(x)^g(x),取自然

对数e^g(x)lnf(x)。

3、函数的单调性的与凸性的判别法：单调性利用一阶导数，在(x1,x2)上f'(x)的正

负判断，大于零递增，小于零递减。

单调性用于证明不等式，根的唯一性以及某些函数

的单调性。

凸性：(1)f(x)在区间I上连续，

f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2为凸（上凸），反之为凹（下凸）（2）f(x)在区间I

上有二阶导数，二阶导正凹负凸。

拐点：拐点可疑点为y''=0或y''不存在的点，判断

可疑点两侧正负，符号不同为拐点，否则不是拐点。

4、函数极值与最值：极值：注意3点：(1)极值的必要条件是：可导函数在X0处取

得极值时，F'(X0)=0.，反之不一定。即可导函数极值点必是驻点，驻点未必是极值

点。(2)f'(X0)=0时，两侧正负不同时为极值点，左正右负为极大值，左负右正为极

小值，不变号时不是极值。（3）极值可疑点为驻点或不可导点。

此外，判断极值为极大还是极小，可通过二阶导数

（f'(X0)=0,f''(X0)≠0），判断正负，正为极小(凹，看着字就知道....)，负为极大(同

前。)。

最值：最大值=MAX{极大值中最大值，端点值}，最小值=MIN{极

小值中最小的值，端点值}

5、函数图形的描绘：渐近线：水平渐近线：x趋于正负无穷,limf(x)=X0.

垂直(铅直)渐近线：x趋于X0时，limf(x)=±∞，垂直渐

近线为X=X0，

斜渐近线：渐近线斜率K=x趋于正无穷，limf(x)/x，b=

x趋于正无穷，lim(f(x)-kx)

图形描绘方法：P209-210（1）-（6）

6、导数在经济中的应用：边际函数(求导)，弹性函数f'(x)*x/y。

第四章不定积分

1、概念：不说了、已知导数求原函数。记得+c。

2、性质：加减照常用，非零因子可提出，常数提到前面。

3、换元积分法：凑微分法：对于∫g(x)dx,若g(x)可凑成g(x)=f(ψ(x))ψ'(x)形式，

∫f(u)du容易积出，则令u=ψ(x)。这里要熟悉三角函数运算，和差化积，降次，二

倍角等都要熟悉。比如c^2x=tan^2x+1,遇到三角函数奇数次方将奇数次方分为

1和n-1,1划到dx中去。

根式代换，遇到分母出现c±n次根号下x时，分子不同n

次根号下x时，记为l√x,m√x,取l,m最小公倍数n，令t=n√x。有时，整个根式换

元，根据题目考虑。

三角代换：通常为√x^2±a^2时，正号设x=asint（有时

候atant）,负号设x=act。最后换元时可能会出现反三角函数、

4、分部积分法：分部积分公式：fudv=uv-∫vdu。适用于被积函数是两类不同函数

乘积形式。

u、v选取原则(∫vdu)比∫udv易算。u的选取顺序“反，对，幂，三，

指”。

在∫x^m*e^axdx,∫x^mcosaxdx,∫x^msinaxdx，中令u=x^m，可

降低x^m幂次。

在∫x^mlnaxdx,∫x^marcsinaxdx,∫x^marccosaxdx,∫x^m

arctanaxdx中令u=lnax,arcsinax,arccosax,arctanax，可把原来含超越函数的被积函

数化为代数函数的不定积分。

在∫√x^2±a^2dx,∫e^axP(cosx)dx,∫e^axP(sinx)dx,∫c^3xdx

中经过几次分部积分后出现原来积分，移项，用再生法。

注：P（cosx）,p(sinx)为将cosxsinx作为变量的函数集。

积分部分主要靠导数功底。详记P237基本积分公式(1)-(15),P250

常用积分公式(16)-(24)。

·两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)

cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)

c(2α)=c^2α/(1-tan^2α)

csc(2α)=1/2*cα·cscα

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)

·n倍角公式：

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

c(α/2)=±√((2cα/(cα+1))

csc(α/2)=±√((2cα/(cα-1))

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）

·万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

·降幂公式

sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan

α)

·其它公式

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

csc(a)=1/sin(a)c(a)=1/cos(a)

cos30=sin60

sin30=cos60

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

csc(a)=1/sin(a)c(a)=1/cos(a)

cos30=sin60

sin30=cos60

·推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

高数解题的四种思维定势

●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十

一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用

积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或

f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三

七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

A.极限的求法（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求

（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.（等价小量与洛必达）

2.已知

（洛必达）

3.（重要极限）

4.已知a、b为正常数，

（变量替换）

5.

解：令

6.（变量替换）

7.已知在x=0连续，求a

解：令（连续性的概念）

三、补充习题（作业）

1.（洛必达）

2.（洛必达或Taylor）

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求

1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）

会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图

会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计

算

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.决定，求

2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1

3.决定，则

B.曲线切法线问

题

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

C.导数应用问题

6.已知，

，求点的性质。

解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。

解：，

D.幂级数展开问

题

10.求

解：

=

E.不等式的证明

11.设，

证：1）令

2）令

F.中值定理问题

12.设函数具有三阶连续导数，且，

，求证：在（-1，1）上存在一点

证：

其中

将x=1，x=-1代入有

两式相减：

13.，求证：

证：

令

令

（关键：构造函数）

三、补充习题（作业）

1.

2.曲线

3.

4.证明x>0时,

证：令