达姆弹

弹道导弹飞行过程受力分析

精仪系机16李志鹏

导弹武器是现代战场上必不可少的装备，也是决定和影响战争胜负的关键因

素，导弹工程是一门非常复杂的学科体系，本文旨在以洲际弹道导弹为例对弹道

导弹从发射到命中目标全过程中的受力情况作一简要分析，并结合现在人们在安

全方面比较关注的几个问题作一些科学的解释。

一、弹道概述

弹道导弹是无人控制的飞行器，其上装有动力系统和控制系统，保证导弹照

预先给定的轨道，即弹道飞行，将弹头投送到目标将其杀伤，整个弹道可分为有

动力段（通常称为主动段，图中AB）

和无动力段，其中无动力段又按所受空

气动力情况分为自由段（或称被动段图

中BC）和再入段（图中CD）。

主动段是指弹道离开发射台到导

弹发动机关机的时间，一般在几十秒到

几百秒的范围内，其工作过程如下：火

箭点火，当其推力大于重力时火剪开始

上升，垂直上升10秒后，离地约200

米，速度约为40m/s，此后导弹开始转

弯，按着预定的弹道向目标飞去，速度、

高度、距离逐渐增大，与发射处地平面

地的夹角逐渐减小，发动机在B点关机

时，其速度可达7000m/s，高度可达

200km。

随后导弹进入被动段，此时弹头与弹体已分开，故这段椭圆弹道就是弹头飞

行的弹道。若导弹上不装动力装置与制导装置，弹头将依靠在主动段末获得的能

量做惯性飞行，此段的运动情况相对简单，现在用来对付NMD系统的分导技术

就是采用在B点，给各分导弹头一个2—3m/s的径向速度差，便可在原标准弹道

落点周围形成一个10－20km的散布，或在弹头上加装动力与控制装置，每过一

段距离释放一个子弹头，分别瞄向不同的目标。

由于大气没有一个确定的边界，没有一个确定的再入点，在距地面70km处

大气密度约是地球表面的百万分之一，故通常人们把再入点选在70－80km的高

度，其最大速度可达20－25马赫，大气阻力对导弹进行阻碍，弹头急剧减速，

同时并被气动加热，此段中一般不对导弹进行控制，

二、受力分析

主动段：此过程中导弹受到地球的重力G，推力P，控

制力R,气动阻力F(由于F是分布力系，可认为他作用在

1

o

上)，还有其尾翼翼尖黑线加粗的部分还可以调整摆动方向

使火箭产生的力矩

1

M

使火箭绕轴线转动，其力矩在弹道平

面内；而火箭的的喷管的排气方向是可以控制的，当推力在控制下与轴线成一定

夹角时（如图中虚线所示）还可能会产生另外一个力矩M’，他垂直于弹道平面，

使导弹的迎角改变，按照预定的方向前进。

当推力与轴线平行时，有受力平衡

coscos

sin

r

n

PGma

Gma









力矩平衡212

1

cossinRooFooPooM

MJ









注：本文不考虑科氏力，重力梯度矩，光压矩等干扰力矩，和液体火箭内部

燃料的振动或火箭机械结构

的振动的影响。

这一阶段重要的是导弹

姿态及速度的控制，使导弹的

的运行轨迹与弹道最佳的重

合，并在主动段的末端是弹头

的速度精确的等于某由弹道

确定的一值。

姿态的控制由高精度陀

螺、加速度计、角速度传感器

等一系列精密的的传感器实

时的测量火箭所处姿态与要

求的偏差，并引导控制系统去

修正姿态，如此不断的循环，

完成其姿态的控制。之所以人

们说美国的NMD系统并不是

针对一些所谓的流氓国家，正

是因为这些国家的导弹做工很差，连基本的姿态控制都做不到，导弹常常是震动

这或摆动着向前飞，有时候甚至因为无法控制外力的转动力矩而打着滚向前飞，

这样的由于目标上各点的速度不同而引起的多普勒频移使目标在雷达屏幕上是

一个亮斑，而不是一个亮点，对于需要精确计算弹道的NMD系统来说拦截的难

度反而比拦截具有先进导弹技术国家的弹道导弹更难。

速度控制对导弹尤为重要，在助推段末2－3m/s的速度误差，可导致落点偏

离目标10－20km，对速度的精密控制，是靠火箭发动机的喷气方向及关机时间

的精确计算实现的,可调方向的发动机可以精确控制火箭的加力方向，得到由速

度控制系统根据加速度计的值积分而得到的速度值来调整加力大小，而弹道导弹

上的高速计算机足以实现这一系列控制过程；关机时间也是火箭的一项很重要的

参数，依照弹道导弹的精度的要求，关机时间应以ms计，为了达到如此地精度，

液体发动机常常采用突然停止供给燃料的办法，而固体发动机则采用加装反向喷

口的办法。美国和俄罗斯的洲际弹道导弹已经可以将加力时间减少到3－5min。

火箭的理想速度为

lnf

s

M

vu

M

即其速度决定于喷气速度u即质量比f

s

M

M

，人们常采用多

级火箭的技术来达到较高的末速度，对于多级火箭在考虑到重力的影响时有：

第一级：

1

101

1

ln1f

s

M

vvugt

M









；

第二级：

2

212

2

ln1f

r

s

M

vvugt

M









第三级：

3

323

3

ln1f

r

s

M

vvugt

M









。这样使

其末速度达到第一宇宙速度就很容易了。

接下来导弹就要进入被动段了，此时

可以加一个小动作，就是利用末速度对的细小差别可能带来落点的很大变化，而分别给各分

弹头一个沿径向的速度差，使弹头分别进入不同的轨

道，瞄向不同的目标，从而达到分导的目的，也就是

利用动量守恒来重新分配个分导弹头的末动量，这种

方法是较简单的突防措施，但对付NMD系统还显得有

些不够，因为他们的弹道在个分导弹头进入被动段后

运行一小段后还是可以很快被算出来的。

被动段：先介绍导弹在此段内无动力飞行时的情

况。由于火箭和弹头在助推段末要分离，此后的研究

对象就变成了弹头，它可以看成是一个定质量的物体

在地球的引力场中的运动，以不受科氏力的作用。此

阶段用极坐标来描述弹道，它在一个由速度矢量

v



和

径向矢量r



决定的平面内（如图），其运动方程为

2

2

2

20

R

rrg

r

rr













„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1

其轨道方程为

1cos

P

r







„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2

其中P，ε均是由v’,r’,α决定的常量，

2

2

2

2

cos

1(2)cos

''

Pkr

kk

vr

k

gR











v’是助推段末的速度，r’

是助推段末端的矢径，α是助推段末的弹道倾角。由方程1可知，此时物体运动的速度与其

质量无关，因而可在此时与弹头一同释放很多涂有金属镀层（可反射雷达波）的气球作为诱

饵，在重返大气之前这些气球是不会被认出的，将护送弹头直到大气顶部，这样目标数陡然

增加数十倍，将给对方的信息处理系统造成很大的压力，也给拦截带来很大难度；方程2

形式上是二次曲线的极坐标方程，分四种情况讨论：一、当ε＝0时解得0，即自由段

是近似圆弧的一部分，圆心为地球的质心，

2

2

''

1

vr

k

gR

，即

'/vgRRrgR第一宇宙速度，但R/r’接近1，它相当于发射的轨道卫星的时

的情形，清华一号小型卫星就是用俄罗斯削减下来的战略导弹用的火箭发射升空的，卫星轨

道是650km，圆形太阳同步轨道，轨道倾角约为97度，运行周期是98分钟，速度为7.5km/s。

由于弹头在太空中飞行的时间过长，若弹头上无动力装置，那弹头就会像卫星一样围绕地球

转下去，若有动力装置，则“卫星”可以加力落到地球上来，那将是十分危险的，如果核

国家以发射卫星为名部署了这样的天基核武器，这只是我的一种设想，是否又人那样做了我

还不得而知，但冷战时期又很多难以想象的事情都发生了，“沿轨正传”如果那样的话美

国的NMD的预警时间又大大的减少了，可以大致计算一下，洲际弹道导弹飞行时间按30min

计，助推段最多五分钟，而再入段经历的时间仅几分钟，中段有二十多分钟的飞行时间，这

么算来也就只有十几分钟的预警时间只有原来的50％还不到；

二、当ε＝1时，其轨迹方程是一条抛物线，无论α取何值，可知'2/'vgRRr，

因为'Rr,故'2vgR第二宇宙速度，由其弹道的对称性可知α在一定范围内时弹

头将会回到地球来，但这样作要求的v’较大，已接近第二宇宙速度，因而要消耗更多的能

量，再则，它将在太空中飞行很长一段时间，而且很可能飞得很远，容易受到其他星体的影

响，故多不采用；

三、当ε>1时，方程表示的是双曲线，由ε的表达式可知k>2，即v’>第二宇宙速度，

于是弹头将会飞向星际空间，要不是用军用火箭来发射外太空探空飞行器的话当然不可取；

四、当0<ε<1时，其轨道方程表示一椭圆，分三种情况：1>、当α在一定范围内，也

就是角度较小，v’第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，其轨道将是一个包围地球的椭圆，发

射近轨道人造地球卫星就可以应用这一原理弹道导弹如采用这样的轨道原因同“一”中的大

致相同，2>弹道倾角α很大，v’<第二宇宙速度，此时椭圆长轴很长，短轴很短，弹道顶点

将很高，但会落回到地球上来，3>α很小，v’<第一宇宙速度，椭圆也与地球相交，而且有

多种弹道可以选择，后两种人们用弹道导弹直接攻击的选择，如上图所示，左右两图分别表

示了从北朝鲜在冬季和春秋时用弹道导弹攻击美国本土时可能的弹道，左图表明纽约、芝加

哥、旧金山和夏威夷，而这些弹道又几乎全在地球的影子里，如红线下的灰线所示，连袭击

东海岸纽约的弹道将弹道倾角压到17度时都可使整个弹道都处在地球的影子里；右图表示

的是在春秋时从朝鲜到西海岸的旧金山喝到夏威夷的弹道，此时时当压低弹道也可以将弹道

全置于地球的影子中，下图中左右两图分别表示从朝鲜在夏天和从伊朗在春秋向美国发动导

弹进攻的可能弹道，北朝鲜仍有一条压到15度的到夏威夷的弹道可以藏在地球的影子中；

连伊朗在春秋时都有一条标准的23度弹道倾角的到华盛顿的弹道可以藏在地球的影子中。

之所以弹道处于黑暗中对攻击方有利，是因为这时弹头的红外特性可以被很好的掩饰，是探

测困难，加之朝鲜已经试射成功他们自己的洲际导弹，人们就不难理解为什么美国最近对朝

鲜开发核武器如此关注，因为一旦其制造出一件那怕是一件核武器，对美国都将是么大的威

胁，而面对急切渴望远程导弹和核技术的伊朗美国也是非常小心，于是朝鲜、伊朗、伊拉克

并称三大邪恶轴心。

为了使弹头在太空中不作无规则的运动，在与火箭分离时常常使弹头以一定的角速度绕

其对称轴旋转。通常为了减小雷达反射截面通常将弹头设计成底部为半球形的锥形。并有利

于稍后的再入段直至击中目标时的精度，另外还有一些其他的用处，如确保弹头冷却罩的正

常工作。如图，他使液氮

被限制在冷却罩的腔体的

底部，提高了冷却效率。

加装这种装置的弹头温度

约为77K，用红外探测器

是很难探测到的。

下面讨论弹头或其容

器有动力及制导装置时的

情形：

首先看一下多弹头分

导的原理，不同于上文所

介绍的简单的分导弹头的

原理，现代的载荷仓可一

再飞行过程中飞行一段后放出一个分导弹头，然后通过小动量火箭调整好位置后在放出一

个，如此反复数次，并用诱饵，会使敌方的反导系统不堪重负而当机。

另一种新技术是机动变轨技术，就是给弹头加上动力装置，达到指A打B的效果，使

对方对弹道的计算失误，很可能是在敌方算好大致的拦截点并已发射拦截器之后，这样留给

对方的拦截时间就又少了很多，距了解敌方雷达跟踪弹头并确定其弹道参数需在进入自由段

后30秒左右，也就是说计算一次需要至少30秒，于是可判断加上以上的各种突防措施弹头

被拦截的概率是很小的。

再入段：一般来说，弹头是以任意角度进入大气层的，分两种情况考虑：一、弹头无规

则的绕质心旋转，它进入大气层后轴线与速度方向不在同一直线上，这样会造成弹头翻滚，

这样的运动对有爆破作用的弹头影响不大，因为它主要是靠爆破来杀伤敌人的，但对一般枪

弹的弹头的杀伤力却有倍增的效果，如人们常说的达姆弹就是破坏弹头的平衡而使之在弹道

运动上附加上一个绕质心的运动，由于人体的密度比

空气大约1000倍，弹头进入人体后。不像一般非爆炸

弹头一样会惯穿人体，而是在体内与身体的组织作用

甚至爆炸并产生破片，留下巨大伤口。当年拉宾遇刺

后大约一分钟后被送医院，但此时他已经没有了血压

和脉搏，射入体内的达姆弹在体内爆炸，导致大出矢

血。但上述形式的弹头运动对弹道导弹的精度却有这

很大的影响，足以使非和战斗部的导弹偏离目标，或

使核战斗部的弹头无法杀伤硬目标。故在前一段的飞

行中，应如上文提到的那样使弹头绕轴线自转，使弹

头处于静稳定状态，于是在高空空气动力很小的情况

下，静稳定力矩就使弹头的轴线与速度方向相同，使

攻角即轴线与速度方向的夹角为零，弹头不再受到升

力的作用，此时可只考虑弹头的质心运动，因为此段的方向时间很短，甚至可以不考虑地球

的自转，地面也可认为是平面，导弹只受阻力R和重力G（此时G可以认为是恒定的）的

作用，其动力学方程为：

2

sin1

cos2

1

3

2

4

Mgh

RT

o

dv

mRmg

dt

dg

dtv

RvS

e



























设其质量为m（不考虑大气的烧蚀作用）其轴向最大横截面积为S，弹道与水平面的夹角为

θ，空气密度为ρ，地面附近大气密度为ρ。，视温度为恒定，忽略侧风等因素。1式为其

速度方向的受力，2式为垂直于速度方向的受力情况，3、4为大气阻力的变化。在几十千米

的高空由3、4式，其空气阻力还是非常小的，弹道在重力作用下加速，随后阻力逐渐增大，

逐渐使1式的右边等于零，这时达到速度的最大值，约在7－9km/s，由3、4能够达到重力

的几十倍，又开始急剧的减速运动，这时离达到目标只有几秒的时间。由2式得垂直于轴线

方向的仅由重力加速度的分量产生的速度相比于轴线方向的速度是很小的，故再入段的轨道

可近似认为是一条直线。下图是美国的和平保卫者多弹头洲际弹道导弹的再入段景象，可看

出末段几乎是一条直线。美丽的图线后面却是可怕的毁灭。

三、综述

以上只是用了一些最简单的方程做了一些关于弹道导弹的最简单的分析，而且只限于对

弹道的最简要的概述，但我们已经不难看出力学在其中的广泛应用。火箭技术、武器技术等

一些复杂问题并没有涉及到，其中的力学原理更是复杂。文中忽略的一些次要因素也许是很

多前辈们花毕生的是尖来研究的。我们的14位校友们在这方面为祖国作出了巨大的贡献，

从此他们为此付出了多少艰巨的劳动也可见一斑，他们为我们的国家安全确实功不可没。我

们有责任为新时期的国防建设尽自己的一份力。

机16班李志鹏010748