uniqueness

多元ARMA模型的唯一性

第2l卷第4期

2007年l2月

山西师范大学(自然科学版)

JournalofShanxiNormalUniversity

NaturalScienceEdition

Vo1.21No.4

Dec.2007

文章编号:1009-4490(2-03

多元ARMA模型的唯一性

郝晓燕,乔建国,史建红

(山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾041004)

摘要:本文针对多元ARMA模型形式的不唯一性,给出了一个限制条件,使得多元

ARMA模型的形式

具有了唯一性.

关键词:多元ARMA模型;唯一性;时间序列

中图分类号:0211.61文献标识码:A?

1问题的提出

在实际问题中,一个时间序列往往和另一个时间序列相关,许多因素是互相关联互

相制约的,因此研

究动态过程时,只研究单变量是不够的.这不仅是应用中需要有多变量模型,在理

论上多变量随机过程也

有它独特的问题和兴趣.因而近年来多变量时间序列模型(简记为VARMA)引起

了人们极大的兴趣,然

而,VARMA模型的参数不可以由{X}唯一确定,这种不唯一性给VARMA模型参

数估计的研究带来了困

难,所以,研究VARMA形式的唯一性至关重要,目前,已有人们研究出

FinalEquation,EchelonForm¨和

ARMA(LC)[23等形式,本文将给出另一种限制条件,使VARMA形式具有唯一性.

本文总设r元零均值宽平稳序列

X=(l(t),2(t),…,(t)),t=±1,±2,…(1)

满足模型

Pq

∑Ax=∑k=0=0

(2)

其中{}是r元白噪声,E8=0,E8T=~n,m

E,E表示单位矩阵,A,都是r×r实方阵,AOE,BO正

定.

pq

记A(z)=∑A,(z)=∑,如果用B表示向后推移算子,则模型(2)可以改写成

A(B)x=B(B)(3)

设A(z),(z)是任何两个矩阵系数多项式,称它们没有左公因子,如果

A(z):c(z)A(z),(z)=

C(z)B(z)时,必有det(C(z))=常数.

如果{x}满足模型(3),其中

i)A(z),B(z)没有左公因子;

ii)det(A(z))≠0,当IzI≤1;det(B(z))≠0,当IzI≤1.

霎暑2郝00晓7燕-06(-2l9383一),女,山西平遥人,山西师范大学数学与计算机科

学学院2004级硕士研究生,主要从事概率作者简介:郝晓燕(1983一),女,山西平遥

人,山西师范大学数学与计算机科学学院级硕士研究生,主要从争1既翠

蓄器簧盘蓄囊城人,山西师范大学数学与计算机科学学院教授,硕士生导师,主要

从事概率乔建国(1948一),男,山西黎城人,山西师范大学数学与计算机科学学院教

搜,坝士生导帅,王妥从争慨翠

统计方面的研究.

山西师范大学(自然科学版)2007正

人们称{}满足ARMA模型,特别当g=0时,称{}满足AR模型,当P=0时,称{}满足

MA模型,

或分别称{}是ARMA,AR或MA.

当r=1时,ARMA模型(2)的参数{P,g,A.,A一,A,.,…,台}可以由它的平稳解{}的相关

函数

唯一确定,当r>1时,上述性质一般不成立.比如在ARMA模型(3)中,如果

det(A(z))=c,c≠0

那么A(z)仍然是一个矩阵系数多项式,且det(A(z))=c～,从(3)得到

X=(A(B)(B))=B.(B)t=±1,±2,…

其中B(z)=A(z)(z)是矩阵系数多项式,满足det(B(z))=c—det((z))≠0,IzI≤1这样同

一

个m维的平稳序列可以同时满足两个(或两个以上)m维ARMA(p,g)模型,由此看

来,ARMA(p,g)模型

的参数不可以由{}唯一确定,当然也不可以由{}的自协方差函数F(凡)唯一决定.

这种性质被称为

是多元ARMA的不确定性,反之,如果模型(2)的所有参数{P,g,A.,A一,A,.,…,}能够

由它的平稳

解{,}的相关函数唯一确定,就称这样的模型具有确定性或唯一性.

多元ARMA的不确定性给它的参数估计带来了许多困难,因而人们总是试图找

A(B)和(B)的限

制条件,使得ARMA模型具有唯一性,本文给出了一种限制,并证明了在此限制条

件下ARMA模型形式的

唯一性.

2ARMA模型的唯一性

定义如果零均值宽平稳时间序列

X=(1(t),2(t),…,(t)),t=±1,±2,…

满足模型A(B)X=M(B),其中:

(i){}是多元白噪声序列,E8=0,E8T=6…E;E表示单位矩阵;

PP

(ii)A(z)=口≠0,当IzI≤1;(z)=bJ≠0,当IzI≤1;=

0J=0

(iii)A(B)=Ot(B)lk=(Ot0+Ot1B+…+.B),^.

其中Ot(B)是一标量算子,Ot.,Ot一,Ot.中至少有一个为常数,就称{}满足VARMA

模型.

定理VARMA'模型具有确定性.

证明对于VARMA(p,q)模型A(B)X=M(B),当A(B)=Ot(B)lk=(Ot0+Ot1B+…+OtB),^

时,其中Ot,=1,2,…,P中有一个为常数(多个常数时证明相仿)时,设为Ot?,则其形式

为

(B)=(B)=(0+IB+…+B'+…+apBp)lk

由不唯一存在的原因知,只要A(B)与(B)的左,右公因子只有,^时,该VARMA(p,g)

模型的形式

是唯一的],因此,若我们能证明A(B)不可分解为某非单位阵和与A(B)具有相同结

构算子的乘积时,我

们就可证明这种形式的唯一性.

以下给出具体证明:

定义￡={具有A(B)这种形式的算子IA(B)=Ot(B)lk=(Ot.+OtB+…+B'+…+),^,

其中Ot?为常数}.

如果A(B)可分解为某个非单位矩阵和与A(B)具有相同结构算子的乘积,则必存

在(B)∈￡,多

项式矩阵D(B),使得(B)D(B)=A(B),即

D(B)(B)=(Ot0+Ot1B+…+0B'+…+OtB),^

(1)先证D(B)=D

若D(B)不等于D,即存在(D(B))(矩阵D(B)第i行第J.列元素),则有(D(B)(B))J的阶

高于

P,这与A(B)=(B)lk=(Ot.+OtIB+…+),^的任一元素的阶都小于等于p相矛盾,故

D(B)=D.

(2)再证D=lk

1)先证D非对角线元素为0.

第4期郝晓燕乔建国史建红:多元ARMA模型的唯一性?2l?

若存在D不等于0(当i≠时),则有(DB(B))≠0(当i≠时),这与(B)=D(B)B(B)=(Ol.

+OlB+…+B'+…+B)的所有非对角元全为零相矛盾.故D=0(当i≠J时).

2)下证所有对角线元素为I,用反证法.若存在I≤i≤m,使得D"≠I则有

(D曰(B))=Db0+D.b1B+…+DB'+…+DbB

因为D不为I,故D?不等于,这就产生了矛盾.故D=I.故D=唯一性得证.故结论得证.

A(B)不可分解为与A(B)具有相同结构算子和某非单位阵的乘积的证明与上述证

明过程相仿.

参考文献:

[I]何书元.多元ARMA模型的唯一性讨论[J].北京大学(自然科学

版),1988,24(1):57～64.

[2]何书元.应用时间序列分析[M].北京:北京大学出版社,2003.294～305.

[3]uctiontomultipletimeriesanalysis[M].NewYork:Springer-

Vedag,1991.241～283

UniquenessofMultipleARMAModel

HAOXiao-yan,QIAOjian-guo,SHIJian-hong

(SchoolofMathematicsandComputerScience,ShanxiNormalUniversity,Linfen041004,

Shanxi,China)

Abstract:TotheununiquenessofmultipleARMAmodel,inthepaperwegivearestrictionthat

makesmultipleARMAmodel

beunique.

Keywords:multipleARMAmodel;uniqueness;timeries