无理数是什么

第二章实数

1.认识无理数（1）

一、学情与教材分析

1.学情分析

通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并

不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数

都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角

边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必

要性．

2.教材分析

《认识无理数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书新秋版八年级（上）

第二章《实数》的第一节，原标题为“数怎么又不够用了”，但在内容设置上除

了个别习题的增删，几乎没有其他改动（习题删掉一题，习题删改一题，新增一

题）．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步

建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算

器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学

生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性

和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．以及学生亲自动手做拼图活动，

培养学生的动手能力和探索精神．

二、教学目标

1.通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；

2.能判断三角形的某边长是否为无理数；

3.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解.

三、教学重难点

教学重点：①让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有

理数的数.②会判断一个数是否为有理数.

教学难点：①把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

②判断一个数是否为有理数.

四、教法建议

合作探究法

五、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

用两张颜色不同的纸做出如图的两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，

设法得到一个大的正方形，思考下列问题

1）大正方形的面积为________________平方分米.

2）设大正方形的边长是a分米，则a满足什么条件

3）想一下，a是整数么a是分数么

2.预习自测

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

A．非负数包括零和整数B．正整数包括自然数和零

C．零是最小的整数D．整数和分数统称为有理数

答案：D

解析：非负数包括零和正数，A错误；

正整数指大于0的整数，B错误；

没有最小的整数，C错误；

整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确．

故选D．

点拨：根据有理数的分类，利用排除法求解．

二、填空题

2.在数+，﹣4，﹣，﹣，0，90，﹣，﹣|﹣24|中，___________________________

不是整数．

答案：+，﹣，﹣，﹣

解析：+，﹣，﹣，﹣不是整数．

点拨：根据整数的概念进行判断即可．

3.下列说法正确的有__________．（填序号）

①﹣a是负数．

②0既不是正数，也不是负数

③一个有理数不是整数就是分数．

④0是最小的有理数．

⑤有理数的绝对值是正数．

⑥如果两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数．

答案：②③

解析：①﹣a可能是负数、零、正数，故①说法错误；

②零既不是正数也不是负数，故②说法正确；

③有理数包括整数和分数，故③说法正确；

④没有最小的有理数，故④说法错误；

⑤有理数的绝对值是非负数，故⑤说法错误；

⑥两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数，故⑥说法错误；

故答案为：②③．

点拨：根据小于零的数是负数，可判断①；根据零的意义，可判断②；根据有理

数的分类，可判断③；根据有理数的意义，可判断④；根据绝对值的意义，可判

断⑤；根据相反数的性质，可判断⑥．

（二）课堂设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；

第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．

第一环节：情境引入

问题情景：

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪

些数呢（在小学我们学过自然数、小数、分数，在初一我们还学过负数.）

对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从

小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范

围是否就能满足我们实际生活的需要呢下面我们就来共同研究这个问题.

意图：

通过情景引导学生思考学过哪些数，进而进行下一步的探究.

第二环节：探究发现

活动1：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认

真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.

（学生高兴地投入活动中）

经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示

一下.现在我们一起把大家的做法总结一下：

活动2：

再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什

么条件呢

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面

积公式可知22a.

［生丙］由22a可判断a应是1点几.

大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a

是整数吗a是分数吗请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：因为211，224，239，…整数的平方越来

越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

［生乙］因为

111224339

,,

224339224



，…两个相同因数的乘积都为分

数，所以a不可能是分数.

经过大家的讨论可知，在等式22a中，a既不是整数，也不是分数，所以

a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用

了.

做一做：

（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少

（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件

（3）b是有理数吗

请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，

即b2=5，则b是有理数吗请举手回答.

［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数---

无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数

学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整

数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希

伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表

示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，

他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了

希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习

这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远

停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献

身的精神.

第三环节：知识运用

1.如图,正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗可能是分数吗

解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3，h

不可能是整数，也不可能是分数.

2.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干

个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是

有理数的线段.

解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.

AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.

AE2=AB2+BE2=22+12=5.

AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

第四环节：随堂检测

一、选择题

1.在数下列各数：+3、+（﹣）、﹣、﹣π、0、﹣…、﹣|﹣9|中，负有理数有

（）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案：C

解析：在+3、+（﹣）、﹣、﹣π、0、﹣…、﹣|﹣9|中，负有理数有+（﹣）、﹣、

﹣|﹣9|，只有3个．故选C．

点拨：根据有理数的定义，在给定的数中找出负有理数，查出其个数，此题得解．

二、填空题

2.在，0，﹣30，，+20，π，﹣这7个数中，整数有________________，负分数

有________________．

答案：0，﹣30，+20；，﹣．

解析：在，0，﹣30，，+20，π，﹣这7个数中，整数有0，﹣30，+20，负分

数有，﹣．

点拨：有理数分为整数和分数，据此填空．

3.将下列各数填在相应的集合里

﹣，﹣10，10π，﹣|﹣|，4，0，﹣（﹣）

整数集合：____________________；

分数集合：____________________；

正数集合：____________________；

有理数集合：________________________________．

答案：见解析

解析：整数集合：﹣10，4，0；

分数集合，﹣|﹣|，﹣（﹣）；

正数集合：10π，4，﹣（﹣）；

有理数集合：﹣，﹣10，﹣|﹣|，4，0，﹣（﹣）；

点拨：可按照有理数的分类填写：有理数；有理数．

第五环节：课堂小结

教师提问：

通过这节课的学习，你有什么样的收获师生共同畅谈收获.

师生相互交流总结：

1.通过拼图活动，感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引

入的必要性.

2.能判断一个数是否为有理数.

布置作业：

1.课本习题T2

2．边长分别为2、3的长方形，它的对角线长可能是整数吗可能是分数吗若

边长分别为、2呢

解：①设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得2223213a，

a不可能是整数，也不可能是分数；②边长分别为、2时，根据勾股定理可知，

对角线长为，是分数，也是有理数.