模拟试题

数学中考综合模拟检测试题

学校________班级________姓名________成绩________

（满分120分，考试用时120分钟）

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（2020•盱眙县校级模拟）若m与﹣2互为相反数，则m的值为．

2．（2021•东港市模拟）在式子中，x的取值范围是．

3．（2021•成都模拟）已知x

1

，x

2

是关于x的一元二次方程x2

﹣3x+a＝0的两个实数根，且x

1

2+x

2

2

＝5，则a

＝．

4．（2021•山西模拟）已知，A（﹣3，n），C（3n﹣6，2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，则反

比例函数的解析式为．

5．（2021春•长白县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4

与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（填序号）．

6．（2021•和平区一模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，

点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG＝时，则线段AC的长为．

二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题正确的选项只用一个）

7．（2021•裕华区模拟）全国已有29个省份在政府工作报告中设定：2021年GDP增速目标不低于6%．已

知河北省2020年GDP总量为36206.9亿元，若今年比上年增长6%，则河北省2021年GDP总量用科学

记数法（精确到百亿位）表示为（）

A．5.8×1011

元B．3.41×10

12

元

C．3.83×1012

元D．3.84×10

12

元

8．（2021•南关区一模）如图是由4个相同的小长方体组成的立体图形和它的主视图，则它的左视图为（）

A．B．

C．D．

9．（2021•山西模拟）下列运算正确的是（）

A．a2

•a

3

＝a

6B．（3a2

）

3

＝9a

6

C．2﹣3

÷2﹣5

＝D．（﹣ab

2

）

3

＝﹣a

3b6

10．（2021•赣州模拟）本学期某校举行了四次数学测试，李娜同学四次的成绩（单位：分）分别为80，70，

90，70，王玥同学四次的成绩分别为80，a（a≥70），70，90，且李娜同学四次成绩的中位数比王玥同

学四次成绩的中位数少5分，则下列说法正确的是（）

A．a的值为70

B．两位同学成绩的平均数相同

C．李娜同学成绩的众数比王玥同学成绩的众数大

D．王玥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定

11．（2021•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，

点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（）

A．2B．3C．4D．5

12．（2021•武汉模拟）如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆

盖方法有（）

A．3种B．5种C．8种D．13种

13．（2021•莱州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，延长弦AF，DC交于点E．若∠DFC＝48°，

则∠CFE的度数为（）

A．60°B．66°C．68°D．72°

14．（2021•长清区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以点A为圆心、AC的长为半

径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（）

A．π一2B．2π﹣4C．4π﹣8D．2π﹣2

三、解答题（本大题共9小题，共70分）

15．（本小题满分6分）（2021•铁西区二模）计算：（﹣2）2+2×（tan60°﹣20210

）﹣|﹣2|．

16．（本小题满分6分）（2021•常州一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E是BC边上不重合的两点，

BD＝CE．

（1）求证：AD＝AE；

（2）若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．

17．（本小题满分8分）（2021•南通一模）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛

结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和答案．下面给

出了部分信息．

信息一：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表：

成绩班级50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100

甲41113102

乙6315122

（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）

信息二：甲班成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78

信息三：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数：

班级平均分中位数众数

甲74.2n85

乙73.57384

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中n的值．

（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是

班的学生（填“甲”或“乙”），给出理由．

（3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．

18．（本小题满分6分）（2021•广东模拟）为提升青少年的身体素质，在全市中小学推行“阳光体育”活动，

某学校为满足学生的需求，准备购买一些键球和跳绳．已知用720元购买键球的个数比购买跳绳的条数

多24，键球单价为跳绳单价的．

（1）求键球、跳绳的单价分别为多少元？

（2）如果计划用不多于2700元购买键球、跳绳共100个，那么最多可以购买多少条跳绳？

19．（本小题满分7分）（2021•前郭县三模）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．2020

年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！

小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次

制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为；

（2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或

画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．

20．（本小题满分8分）（2021•余姚市一模）如图，已知二次函数y＝x2

﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．

（1）求该二次函数的表达式．

（2）求该二次函数图象的顶点坐标．

（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范

围．

21．（本小题满分8分）（2021•宁波模拟）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD

上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．

（1）求证：四边形HCGP是菱形．

（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．

22．（本小题满分9分）（2021•台安县模拟）某商店购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进

行了为期4周的试营销，试营销的情况如下表所示：

第1周第2周第3周第4周

售价/（元/台）50456055

销售/台36

已知该款小电器的进价每台40元，设该款小电器每台的售价为x元，每周的销售量为y台．

（1）观察表中的数据，推断y与x满足什么函数关系，并求出这个函数关系式；

（2）若想每周的销售利润为6000元，则其售价应定为多少元？

（3）若每台小电器的售价不低于45元，但又不能高于进价的1.5倍，则如何定价才能使每周的销售利

润最大？

23．（本小题满分12分）（2021•泉州模拟）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC

的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．

（1）求证：OD⊥BC；

（2）连接DB，求证：DB＝DI；

（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，

求DG的长．

参考答案

四、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（2020•盱眙县校级模拟）若m与﹣2互为相反数，则m的值为．

【答案】2．

【解析】解：∵﹣2的相反数是2，

∴m＝2．

故答案为：2．

2．（2021•东港市模拟）在式子中，x的取值范围是．

【答案】x＞﹣1．

【解析】解：由题意得，x+1＞0，

解得，x＞﹣1，

故答案为：x＞﹣1．

3．（2021•成都模拟）已知x

1

，x

2

是关于x的一元二次方程x2

﹣3x+a＝0的两个实数根，且x

1

2+x

2

2

＝5，则a

＝．

【答案】2．

【解析】解：根据题意得：

△＝9﹣4a≥0，

解得：a，

x

1

+x

2

＝3，x

1

x

2

＝a，

x

1

2+x

2

2

＝﹣2x

1

x

2

＝9﹣2a

＝5，

解得：a＝2（符合题意），

故答案为：2．

4．（2021•山西模拟）已知，A（﹣3，n），C（3n﹣6，2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，则反

比例函数的解析式为．

【答案】：y＝﹣．．

【解析】解：∵A（﹣3，n），C（3n﹣6，2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，

∴n＝，2＝，即m＝﹣3n，m＝2（3n﹣6），

消去m得：﹣3n＝2（3n﹣6），

解得：n＝，

把n＝代入得：m＝﹣4，

则反比例函数解析式为y＝﹣．

故答案为：y＝﹣．

5．（2021春•长白县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4

与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（填序号）．

【答案】①②③．

【解析】解：①∠A与∠1是同位角，此结论正确；

②∠A与∠B是同旁内角，此结论正确；

③∠4与∠1是内错角，此结论正确；

④∠1与∠3不是同位角，原来的结论错误；

故答案为：①②③．

6．（2021•和平区一模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，对角线AC与BD相交于点E，

点F，G分别是AC，BD的中点，当∠CBD＝15°，EG＝EC，FG＝时，则线段AC的长为．

【答案】6．

【解析】解：如图所示，连接AG，CG，

由题意，△ABD与△BCD均是BD为斜边的直角三角形，

∴AG＝BD，CG＝BD，

即：AG＝CG，

∴△ACG为等腰三角形，

∵∠CBD＝15°，CG＝BG，

∴∠CGE＝2∠CBD＝30°，

∵EC＝EG，

∴∠ECD＝∠CGE＝30°，

又∵F为AC的中点，

∴GF为△ACG的中线，AF＝CF，

∴由“三线合一“知，GF⊥AC，∠GFC＝90°，

∵FG＝，

∴CF＝FG＝3，

∴AC＝2FC＝6，

故答案为：6．

五、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题正确的选项只用一个）

7．（2021•裕华区模拟）全国已有29个省份在政府工作报告中设定：2021年GDP增速目标不低于6%．已

知河北省2020年GDP总量为36206.9亿元，若今年比上年增长6%，则河北省2021年GDP总量用科学

记数法（精确到百亿位）表示为（）

A．5.8×1011

元B．3.41×10

12

元

C．3.83×1012

元D．3.84×10

12

元

【答案】D．

【解析】解：36206.9×（1+6%）＝38379.314亿元≈38400亿元＝384元＝3.84×10

12

元．

故选：D．

8．（2021•南关区一模）如图是由4个相同的小长方体组成的立体图形和它的主视图，则它的左视图为（）

A．B．

C．D．

【答案】B．

【解析】解：立体图形的左视图是

．

故选：B．

9．（2021•山西模拟）下列运算正确的是（）

A．a2

•a

3

＝a

6B．（3a2

）

3

＝9a

6

C．2﹣3

÷2﹣5

＝D．（﹣ab

2

）

3

＝﹣a

3b6

【答案】D．

【解析】解：A．a

2

•a

3

＝a

2+3

＝a

5

，故A运算不符合题意，

B．（3a2

）

3

＝3

3

•（a

2

）

3

＝27a

6

，故B运算不符合题意，

C.2﹣3

÷2﹣5

＝2﹣3﹣（﹣5）＝2

2

，故C运算不符合题意，

D．（﹣ab2

）

3

＝﹣a

3b2×3

＝﹣a

3b6

，故D运算符合题意，

故选：D．

10．（2021•赣州模拟）本学期某校举行了四次数学测试，李娜同学四次的成绩（单位：分）分别为80，70，

90，70，王玥同学四次的成绩分别为80，a（a≥70），70，90，且李娜同学四次成绩的中位数比王玥同

学四次成绩的中位数少5分，则下列说法正确的是（）

A．a的值为70

B．两位同学成绩的平均数相同

C．李娜同学成绩的众数比王玥同学成绩的众数大

D．王玥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定

【答案】D．

【解析】解：∵李娜同学四次的成绩的中位数为＝75（分），

∴由题意知王玥同学四次的成绩的中位数为80分，

则a＝80分，故A选项错误；

李娜成绩的平均数为＝77.5（分），王玥成绩的平均数为＝80（分），故B

选项错误；

李娜同学成绩的众数为70分，王玥同学成绩的众数为80分，故C选项错误；

王玥同学的成绩的方差为×[（70﹣80）

2+2×（80﹣80）2+（90﹣80）2]＝50，

李娜同学的成绩的方差为×[2×（70﹣77.5）

2+（80﹣77.5）2+（90﹣77.5）2]＝68.75，

∴王玥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定，故D选项正确；

故选：D．

11．（2021•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，

点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∵BC＝16，

∴DE＝BC＝8．

∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，

∴DF＝AB＝5，

∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．

故选：B．

【解析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF

＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．

12．（2021•武汉模拟）如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆

盖方法有（）

A．3种B．5种C．8种D．13种

【答案】C．

【解析】解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：

1+4+3＝8（种）．

答：不同的覆盖方法有8种．

故选：C．

13．（2021•莱州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，延长弦AF，DC交于点E．若∠DFC＝48°，

则∠CFE的度数为（）

A．60°B．66°C．68°D．72°

【答案】B．

【解析】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴＝，

∴∠DAB＝∠DFC＝×48°＝24°，

∴∠ADC＝90°﹣∠DAB＝90°﹣24°＝66°，

∵四边形ADCF内接与⊙O，

∴∠CFE＝∠ADC＝66°，

故选：B．

14．（2021•长清区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以点A为圆心、AC的长为半

径作交AB于点E，以点B为圆心、BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为（）

A．π一2B．2π﹣4C．4π﹣8D．2π﹣2

【答案】C．

【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴S

△ABC

＝×4×4＝8，

S扇形BCD

＝＝2π，

S空白

＝2×（8﹣2π）＝16﹣4π，

S阴影

＝S

△ABC

﹣S

空白

＝8﹣16+4π＝4π﹣8，

故选：C．

六、解答题（本大题共9小题，共70分）

15．（本小题满分6分）（2021•铁西区二模）计算：（﹣2）2+2×（tan60°﹣20210

）﹣|﹣2|．

【答案】

解：原式＝4+2×（﹣1）﹣2

＝4+2﹣2﹣2

＝2．

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别计算得出答案．

16．（本小题满分6分）（2021•常州一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E是BC边上不重合的两点，

BD＝CE．

（1）求证：AD＝AE；

（2）若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小．

【答案】．

证明：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE；

（2）∵∠C＝∠B＝26°，

∴∠BAC＝180°﹣（26°+26°）＝128°，

∵∠BAC＝128°，∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝128°﹣90°＝38°，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD＝38°÷2＝19°．

【解析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE；

（2）由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可求解

17．（本小题满分8分）（2021•南通一模）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛

结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和答案．下面给

出了部分信息．

信息一：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表：

成绩班级50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100

甲41113102

乙6315122

（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）

信息二：甲班成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78

信息三：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数：

班级平均分中位数众数

甲74.2n85

乙73.57384

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中n的值．

（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是

班的学生（填“甲”或“乙”），给出理由．

（3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．

【答案】

解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝74.5，

故答案为：74.5；

（2）这名学生的成绩为74分，小于甲班样本数据的中位数74.5分，大于乙班样本数据的中位数73分，

说明这名学生是乙班的学生，

故答案为：乙，这名学生的成绩为74分，小于甲班样本数据的中位数74.5分，大于乙班样本数据的中

位数73分，说明这名学生是乙班的学生；

（3）1200×＝390（人），

答：学校1200名学生中成绩优秀的大约有390人．

【解析】（1）根据中位数的定义求解可得；

（2）根据这名学生的成绩为74分，大于甲班样本数据的中位数72.5分，小于乙班样本数据的中位数76

分可得；

（3）利用样本估计总体思想求解可得．

18．（本小题满分6分）（2021•广东模拟）为提升青少年的身体素质，在全市中小学推行“阳光体育”活动，

某学校为满足学生的需求，准备购买一些键球和跳绳．已知用720元购买键球的个数比购买跳绳的条数

多24，键球单价为跳绳单价的．

（1）求键球、跳绳的单价分别为多少元？

（2）如果计划用不多于2700元购买键球、跳绳共100个，那么最多可以购买多少条跳绳？

【答案】

解：（1）设跳绳的单价为x元，则键球的单价为x元，

依题意得：﹣＝24，

解得：x＝45，

经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，

∴x＝18（元）．

答：键球的单价为18元，跳绳的单价为45元．

（2）设可以购买m条跳绳，则购买（100﹣m）条跳绳，

依题意得：45m+18（100﹣m）≤2700，

解得：m≤．

又∵m为正整数，

∴m的最大值为33．

答：最多可以购买33条跳绳．

【解析】（1）设跳绳的单价为x元，则键球的单价为x元，根据数量＝总价÷单价，结合用720元购买

键球的个数比购买跳绳的条数多24，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设可以购买m条跳绳，则购买（100﹣m）条跳绳，根据总价＝单价×数量，结合总价不多于2700

元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出

结论．

19．（本小题满分7分）（2021•前郭县三模）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．2020

年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！

小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次

制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为；

（2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或

画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．

【答案】

解：（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的情况，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的有2种

情况，

∴抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率为＝．

【解析】（1）根据概率公式直接得出答案；

（2）先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的结

果数为2种，再根据概率公式求解可得．

20．（本小题满分8分）（2021•余姚市一模）如图，已知二次函数y＝x2

﹣x+c的图象经过点P（﹣3，6）．

（1）求该二次函数的表达式．

（2）求该二次函数图象的顶点坐标．

（3）点Q（m，n）在该二次函数图象上，若点Q到y轴的距离小于3．请根据图象直接写出n的取值范

围．

【答案】

解：（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x

2

﹣x+c中，

得：6＝×（﹣3）

2

﹣（﹣3）+c，

解得：c＝﹣，

∴该二次函数的表达式为y＝x

2

﹣x﹣；

（2）y＝x

2

﹣x﹣＝（x﹣1）

2

﹣2，

∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）；

（3）∵点Q到y轴的距离小于3，

∴|m|＜3，

∴﹣3＜m＜3，

∵x＝﹣3时，y＝x

2

﹣x﹣＝×（﹣3）

2

﹣（﹣3）﹣＝6，

x＝3时，y＝x2

﹣x﹣＝×3

2

﹣3﹣＝0，

又∵顶点坐标为（1，﹣2），

∴﹣3＜m＜3时，n≥2，

∴﹣2≤n＜6．

【解析】（1）把点P（﹣3，6）代入y＝x

2

﹣x+c中，即可求解；

（2）把二次函数的表达式化为顶点式即可得该二次函数图象的顶点坐标；

（3）由点Q到y轴的距离小于3，可得﹣3＜m＜3，在此范围内求n即可．

21．（本小题满分8分）（2021•宁波模拟）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD

上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．

（1）求证：四边形HCGP是菱形．

（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．

【答案】

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∵EG∥BC，FH∥DC，

∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，

∴BE＝CG，CH＝DF，

∵BE＝DF，

∴CG＝CH，

∴平行四边形HCGP是菱形；

（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，

∵四边形BHPE是菱形，

∴BE＝BH，

∴BE＝BH＝CH＝BC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∴BE＝AB，

∴点E是线段AB的中点．

【解析】（1）先证四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，得BE＝CG，CH＝DF，

再证CG＝CH，即可得出结论；

（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，再由菱形的性质得BE＝BH，AB＝BC，则BE＝BH＝CH＝BC＝

AB，即可得出结论．

22．（本小题满分9分）（2021•台安县模拟）某商店购进了一种新款小电器，为了制定合适的销售价格，进

行了为期4周的试营销，试营销的情况如下表所示：

第1周第2周第3周第4周

售价/（元/台）50456055

销售/台36

已知该款小电器的进价每台40元，设该款小电器每台的售价为x元，每周的销售量为y台．

（1）观察表中的数据，推断y与x满足什么函数关系，并求出这个函数关系式；

（2）若想每周的销售利润为6000元，则其售价应定为多少元？

（3）若每台小电器的售价不低于45元，但又不能高于进价的1.5倍，则如何定价才能使每周的销售利

润最大？

【答案】

解：（1）y与x满足一次函数关系，

设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

，

解得：，

即这个函数关系式是y＝﹣6x+660；

（2）由题意可得，（x﹣40）（﹣6x+660）＝6000，

解得，x

1

＝60，x

2

＝90，

答：若想每周的利润为6000元，则其售价应定为每台60元或每台90元；

（3）设每周的销售利润为w元，定价为x元，由题意可得，

w＝（x﹣40）（﹣6x+660）＝﹣6（x﹣75）2+7350，

45≤x≤40×1.5，

即45≤x≤60，

∵y＝﹣6x+660，

∵﹣6＜0，对称轴为直线x＝75，

∴x＜75时，y随x的增大而增大，

∴当x＝60时，w取得最大值，

答：定价为60元/台时，才能使每周的销售利润最大．

【解析】（1）根据题意和表格中的数据可以判断出y与x的函数关系，并求出这个函数关系式；

（2）根据题意可以得到每周的利润为6000元，则其售价应定为多少元；

（3）设每周的销售利润为w元，定价为x元，根据题意和（1）中的函数关系式，利用一次函数的性质

可以解析本题．

23．（本小题满分12分）（2021•泉州模拟）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC

的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．

（1）求证：OD⊥BC；

（2）连接DB，求证：DB＝DI；

（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC＝，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，

求DG的长．

【答案】（1）证明：如图1中，

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴＝，

∴OD⊥BC．

（2）证明：如图1中，连接BD．

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，

∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAI，

∴∠DBI＝∠DIB，

∴DB＝DI.

（3）解：如图2中，连接OG，过点O作OH⊥DG于H．

∵OD⊥BC，

∴BE＝EC＝12，

∵tan∠OBE＝＝，

∴OE＝5，

∵DG∥OB，

∴∠BOE＝∠ODH，

∵∠BEO＝∠OHD＝90°，OB＝OD，

∴△OBE≌△ODH（AAS），

∴OE＝DH＝5，

∵OH⊥DG，

∴DH＝HG＝5，

∴DG＝10．

【解析】（1）证明＝，再利用垂径定理可得结论．

（2）想办法证明∠DBI＝∠DIB，即可解决问题．

（3）如图2中，连接OG，过点O作OH⊥CG于H，解直角三角形求出OE，再利用全等三角形的性质

求出DH，可得结论．