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2014
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求.
1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2
﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）
A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}
2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设复数z
1
，z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，z
1
＝2+i，则
z
1
z
2
＝（）
A．﹣5B．5C．﹣4+iD．﹣4﹣i
3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）
A．1B．2C．3D．5
4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）
A．5B．C．2D．1
5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率
是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气
质量为优良的概率是（）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线
画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削
得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
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A．B．C．D．
7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S
＝（）
A．4B．5C．6D．7
8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，
则a＝（）
A．0B．1C．2D．3
9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为
（）
A．10B．8C．3D．2
10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2
＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直
线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠BCA＝90°，M，N分别是A
1
B
1
，
A
1
C
1
的中点，BC＝CA＝CC
1
，则BM与AN所成角的余弦值为（）
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A．B．C．D．
12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x
0
满足
x
0
2+[f（x
0
）]2
＜m
2
，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）（x+a）10
的展开式中，x
7
的系数为15，则a＝．
14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．
15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x
﹣1）＞0，则x的取值范围是．
16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x
0
，1），若在圆O：x2+y2
＝1上存在点N，使得∠
OMN＝45°，则x
0
的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n+1
＝3a
n
+1．
（Ⅰ）证明{a
n
+}是等比数列，并求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…+＜．
18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如表：
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年份2013
年份代号t1234567
人均纯收入
y
2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收
入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，
＝﹣．
20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F
1
，F
2
分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，
M是C上一点且MF
2
与x轴垂直，直线MF
1
与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F
1
N|，求a，b．
21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ex
﹣e﹣x
﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时
请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC
与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE＝EC；
（Ⅱ）AD•DE＝2PB
2
．
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【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）
中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
六、解答题（共1小题，满分0分）
24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
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2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求.
1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2
﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）
A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵N＝{x|x
2
﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∴M∩N＝{1，2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设复数z
1
，z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，z
1
＝2+i，则
z
1
z
2
＝（）
A．﹣5B．5C．﹣4+iD．﹣4﹣i
【分析】根据复数的几何意义求出z
2
，即可得到结论．
【解答】解：z
1
＝2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z
1
，z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z
2
＝﹣2+i，
则z
1
z
2
＝（2+i）（﹣2+i）＝i2
﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较
基础．
3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）
A．1B．2C．3D．5
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵|+|＝，|﹣|＝，
∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，
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两式相减得4•＝10﹣6＝4，
即•＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基
础．
4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）
A．5B．C．2D．1
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的
值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系
求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a＝，
∴S＝acsinB＝，即sinB＝，
当B为钝角时，cosB＝﹣＝﹣，
利用余弦定理得：AC
2
＝AB
2+BC2
﹣2AB•BC•cosB＝1+2+2＝5，即AC＝，
当B为锐角时，cosB＝＝，
利用余弦定理得：AC
2
＝AB
2+BC2
﹣2AB•BC•cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB
2+AC2
＝BC
2
，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC＝．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟
练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率
是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气
质量为优良的概率是（）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，由此解
得p的值．
第8页（共24页）
【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，
解得p＝0.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线
画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削
得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
A．B．C．D．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为
2，高为4，
组合体体积是：3
2π•2+22π•4＝34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：3
2π×6＝54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：＝．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以
及计算能力．
7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S
＝（）
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A．4B．5C．6D．7
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【解答】解：若x＝t＝2，
则第一次循环，1≤2成立，则M＝，S＝2+3＝5，k＝2，
第二次循环，2≤2成立，则M＝，S＝2+5＝7，k＝3，
此时3≤2不成立，输出S＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，
则a＝（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x
0
）表示曲线f（x）在x＝x
0
处的切线斜率，再
代入计算．
【解答】解：，
∴y′（0）＝a﹣1＝2，
∴a＝3．
故选：D．
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【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的
内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工
具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以
大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为
（）
A．10B．8C．3D．2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，
平移直线y＝2x﹣z，
由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C时，直线y＝2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即C（5，2）
代入目标函数z＝2x﹣y，
得z＝2×5﹣2＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数
学思想是解决此类问题的基本方法．
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10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2
＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直
线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）
A．B．C．D．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直
线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两
点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．
【解答】解：由y
2
＝2px，得2p＝3，p＝，
则F（，0）．
∴过A，B的直线方程为y＝（x﹣），
即x＝y+．
联立，得4y
2
﹣12y﹣9＝0．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
则y
1
+y
2
＝3，y
1
y
2
＝﹣．
∴S
△OAB
＝S△OAF
+S△OFB
＝×|y
1
﹣y
2
|＝＝×
＝．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥
曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解
题，是中档题．
11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠BCA＝90°，M，N分别是A
1
B
1
，
A
1
C
1
的中点，BC＝CA＝CC
1
，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成
角的余弦值．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠BCA＝90°，M，N分别是A
1
B
1
，A
1
C
1
的中
第12页（共24页）
点，如图：BC的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC＝CA＝CC
1
，
设BC＝CA＝CC
1
＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝
＝，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，
同时考查余弦定理的应用．
12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x
0
满足
x
0
2+[f（x
0
）]2
＜m
2
，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得，f（x
0
）＝±，且＝kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2
最小时，|x
0
|最小，而|x
0
|最小为|m|，可得m2
＞m
2+3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x
0
）＝±，即＝kπ+，k∈z，即x
0
＝m．
再由x
0
2+[f（x
0
）]2
＜m
2
，即x
0
2+3＜m2
，可得当m
2
最小时，|x
0
|最小，而|x
0
|最小为|m|，
∴m
2
＞m
2+3，∴m2
＞4．
求得m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
第13页（共24页）
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，
属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）（x+a）10
的展开式中，x
7
的系数为15，则a＝．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x
7
的系数，再根据x
7
的系数为15，求得a的值．
【解答】解：（x+a）
10
的展开式的通项公式为T
r+1
＝•x10﹣r
•a
r
，
令10﹣r＝7，求得r＝3，可得x
7
的系数为a
3
•＝120a
3
＝15，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的
系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为
1．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）＝sinx，
从而求得函数的最大值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos
（x+φ）
＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
＝sin[（x+φ）﹣φ]＝sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于
中档题．
15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x
﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），
第14页（共24页）
即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f
（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．
16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x
0
，1），若在圆O：x2+y2
＝1上存在点N，使得∠
OMN＝45°，则x
0
的取值范围是[﹣1，1]．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x
0
，1），
要使圆O：x
2+y2
＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN＝1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x
0
的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解
得本题的策略之一．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
第15页（共24页）
17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n+1
＝3a
n
+1．
（Ⅰ）证明{a
n
+}是等比数列，并求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…+＜．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即＝常数，又
首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【解答】证明（Ⅰ）＝＝3，
∵≠0，
∴数列{a
n
+}是以首项为，公比为3的等比数列；
∴a
n
+＝＝，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当n≥2时，∵3
n
﹣1＞3
n
﹣3
n﹣1
，∴＜＝，
∴当n＝1时，成立，
当n≥2时，++…+＜1+…+＝＝＜．
∴对n∈N
+
时，++…+＜．
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要
根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属
于中档题．
18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．
第16页（共24页）
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平
面AEC；
（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD＝60°，是二面角的平面角，
求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∴CD⊥MD．
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD＝60°，
∵AP＝1，AD＝，∠ADP＝30°，
∴PD＝2，
E为PD的中点．AE＝1，
∴DM＝，
CD＝＝．
三棱锥E﹣ACD的体积为：＝＝．
第17页（共24页）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，
考查逻辑思维能力，是中档题．
19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如表：
年份2013
年份代号t1234567
人均纯收入
y
2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收
入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，
＝﹣．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标
的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居
第18页（共24页）
民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，＝×（1+2+3+4+5+6+7）＝4，
＝×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）＝4.3，
∴＝
＝
＝0.5，
＝﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3．
∴y关于t的线性回归方程为＝0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐
年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入＝0.5t+2.3，得：
＝0.5×9+2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线
性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F
1
，F
2
分别是C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，
M是C上一点且MF
2
与x轴垂直，直线MF
1
与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F
1
N|，求a，b．
【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程
即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|＝5|F
1
N|，建立方程组关系，求出N
的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF
2
与x轴垂直，
第19页（共24页）
∴M的横坐标为c，当x＝c时，y＝，即M（c，），
若直线MN的斜率为，
即tan∠MF
1
F
2
＝，
即b
2
＝＝a
2
﹣c
2
，
即c
2+﹣a2
＝0，
则，
即2e
2+3e﹣2＝0
解得e＝或e＝﹣2（舍去），
即e＝．
（Ⅱ）由题意，原点O是F
1
F
2
的中点，则直线MF
1
与y轴的交点D（0，2）是线段MF
1
的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则，即，解得y＝，
∵OD是△MF
1
F
2
的中位线，
∴＝4，即b
2
＝4a，
由|MN|＝5|F
1
N|，
则|MF
1
|＝4|F
1
N|，
解得|DF
1
|＝2|F
1
N|，
即
设N（x
1
，y
1
），由题意知y
1
＜0，
则（﹣c，﹣2）＝2（x
1
+c，y
1
）．
即，即
第20页（共24页）
代入椭圆方程得，
将b
2
＝4a代入得，
解得a＝7，b＝．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题
的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ex
﹣e﹣x
﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）＝0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问
题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b
＝2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）＝e
x+e﹣x
﹣2，
即f′（x）≥0，当且仅当e
x
＝e﹣x
即x＝0时，f′（x）＝0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）＝f（2x）﹣4bf（x）＝e
2x
﹣e﹣2x
﹣4b（e
x
﹣e﹣x
）+（8b﹣4）x，
则g′（x）＝2[e
2x+e﹣2x
﹣2b（e
x+e﹣x
）+（4b﹣2）]
＝2[（e
x+e﹣x
）
2
﹣2b（e
x+e﹣x
）+（4b﹣4）]
＝2（e
x+e﹣x
﹣2）（e
x+e﹣x+2﹣2b）．
第21页（共24页）
①∵ex+e﹣x
＞2，e
x+e﹣x+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x＝0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）＝0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x
＜2b﹣2即，得
，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）＝0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）＝e
2x
﹣e﹣2x
﹣4b（e
x
﹣e﹣x
）+（8b
﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，
得．
当b＝2时，由g（x）＞0，得，
从而；
令，得＞2，当时，
由g（x）＜0，得，得
．
所以ln2的近似值为0.693．
【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，
对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符
号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，
从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时
请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
第22页（共24页）
22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC
与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE＝EC；
（Ⅱ）AD•DE＝2PB
2
．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE＝EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD＝2PB，PB＝BD，结合相交弦定理可得AD•DE＝2PB
2
．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE＝∠OEA，∠OAP＝90°，
∵PC＝2PA，D为PC的中点，
∴PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵∠PDA＝∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE＝∠OAE+∠PAD＝90°，
∴OE⊥BC，
∴E是的中点，
∴BE＝EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA
2
＝PB•PC，
∵PC＝2PA，
∴PA＝2PB，
∴PD＝2PB，
∴PB＝BD，
∴BD•DC＝PB•2PB，
∵AD•DE＝BD•DC，
∴AD•DE＝2PB
2
．
第23页（共24页）
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析
解决问题的能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）
中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos
2t+sin2t＝1进而得出
参数方程．
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l
的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]，即ρ
2
＝2ρcosθ，可得
C的普通方程为（x﹣1）2+y2
＝1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cost，sint），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant＝，t＝．
故D的直角坐标为，即（，）．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与
圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、解答题（共1小题，满分0分）
24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
第24页（共24页）
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得
f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝
对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|
＝a+≥2＝2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a
2
﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a
2
﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨
论的数学思想，属于中档题．
第1页（共18页）
2014
年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）
A．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1+3iD．1﹣3i
2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2
﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）
A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]
3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b
4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||
＝（）
A．2B．C．1D．
5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生
组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种B．70种C．75种D．150种
6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F
1
、F
2
，
离心率为，过F
2
的直线l交C于A、B两点，若△AF
1
B的周长为4，则C的方程
为（）
A．+＝1B．+y2
＝1
C．+＝1D．+＝1
7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xex﹣1
在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A．2eB．eC．2D．1
8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长
为2，则该球的表面积为（）
A．B．16πC．9πD．
9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F
1
、F
2
，点A在C上，若|F
1
A|
第2页（共18页）
＝2|F
2
A|，则cos∠AF
2
F
1
＝（）
A．B．C．D．
10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a
n
}中，a
4
＝2，a
5
＝5，则数列{lga
n
}的前8项和等于
（）
A．6B．5C．4D．3
11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，
C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0
对称，则y＝f（x）的反函数是（）
A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2
的系数为．（用数字作答）
14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．
15．（5分）（2014•大纲版）直线l
1
和l
2
是圆x2+y2
＝2的两条切线，若l
1
与l
2
的交点为（1，
3），则l
1
与l
2
的夹角的正切值等于．
16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则
a的取值范围是．
三、解答题
17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC
＝2ccosA，tanA＝，求B．
18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝13，a
2
为整数，且
S
n
≤S
4
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）设b
n
＝，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
第3页（共18页）
19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点A
1
在平面ABC内的射影D
在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC
1
＝2．
（Ⅰ）证明：AC
1
⊥A
1
B；
（Ⅱ）设直线AA
1
与平面BCC
1
B
1
的距离为，求二面角A
1
﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别
为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y
轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N
两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a
1
＝1，a
n+1
＝ln（a
n
+1），证明：＜a
n
≤（n∈N*
）．
第4页（共18页）
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）
A．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1+3iD．1﹣3i
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【解答】解：∵z＝＝，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2
﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）
A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x
2
﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M＝{x|x
2
﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，
又N＝{x|0≤x≤5}，
∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，
∴c＞b＞a
故选：C．
第5页（共18页）
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础
题．
4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||
＝（）
A．2B．C．1D．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此
求得||．
【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；
（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b
2
＝2，
则||＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，
属于基础题．
5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生
组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种B．70种C．75种D．150种
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1
人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C
6
2
＝15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C
5
1
＝5种选法，
则不同的选法共有15×5＝75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F
1
、F
2
，
离心率为，过F
2
的直线l交C于A、B两点，若△AF
1
B的周长为4，则C的方程
为（）
第6页（共18页）
A．+＝1B．+y2
＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】利用△AF
1
B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出
b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF
1
B的周长为4，
∵△AF
1
B的周长＝|AF
1
|+|AF
2
|+|BF
1
|+|BF
2
|＝2a+2a＝4a，
∴4a＝4，
∴a＝，
∵离心率为，
∴，c＝1，
∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为+＝1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属
于基础题．
7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xex﹣1
在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A．2eB．eC．2D．1
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e
x﹣1+xex﹣1
＝（1+x）e
x﹣1
，
当x＝1时，f′（1）＝2，
即曲线y＝xe
x﹣1
在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基
础．
8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长
第7页（共18页）
为2，则该球的表面积为（）
A．B．16πC．9πD．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO
1
上，记为O，求出PO
1
，OO
1
，
解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R
2
＝（4﹣R）
2+（）2
，
∴R＝，
∴球的表面积为4π•（）
2
＝．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F
1
、F
2
，点A在C上，若|F
1
A|
＝2|F
2
A|，则cos∠AF
2
F
1
＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e＝，即c＝2a，
点A在双曲线上，
则|F
1
A|﹣|F
2
A|＝2a，
又|F
1
A|＝2|F
2
A|，
∴解得|F
1
A|＝4a，|F
2
A|＝2a，||F
1
F
2
|＝2c，
则由余弦定理得cos∠AF
2
F
1
＝＝
第8页（共18页）
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题
的关键，考查学生的计算能力．
10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a
n
}中，a
4
＝2，a
5
＝5，则数列{lga
n
}的前8项和等于
（）
A．6B．5C．4D．3
【分析】利用等比数列的性质可得a
1
a
8
＝a
2
a
7
＝a
3
a
6
＝a
4
a
5
＝10．再利用对数的运算性质
即可得出．
【解答】解：∵数列{a
n
}是等比数列，a
4
＝2，a
5
＝5，
∴a
1
a
8
＝a
2
a
7
＝a
3
a
6
＝a
4
a
5
＝10．
∴lga
1
+lga
2
+…+lga
8
＝lg（a
1
a
2
•…•a
8
）
＝
4lg10
＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，
C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直
角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E
做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC＝90°
∵CD∥AF
第9页（共18页）
又∠ACD＝135°
∴∠FAC＝45°
∴∠EAF＝45°
在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，
在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，
在Rt△BEF中，则BF＝2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异
面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．
12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0
对称，则y＝f（x）的反函数是（）
A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）
【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点
P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣
x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，
又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，
∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）
∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）
第10页（共18页）
故选：D．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2
的系数为70．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，
即可求得展开式中x
2y2
的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为T
r+1
＝•（﹣1）r
••
＝•（﹣1）
r
••，
令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，
故展开式中x
2y2
的系数为＝70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公
式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为
5．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，
联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
第11页（共18页）
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z
max
＝1+4×1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）（2014•大纲版）直线l
1
和l
2
是圆x2+y2
＝2的两条切线，若l
1
与l
2
的交点为（1，
3），则l
1
与l
2
的夹角的正切值等于．
【分析】设l
1
与l
2
的夹角为2θ，由于l
1
与l
2
的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角
形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，
计算求得结果．
【解答】解：设l
1
与l
2
的夹角为2θ，由于l
1
与l
2
的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，
圆的半径为r＝，
∴sinθ＝＝，
∴cosθ＝，tanθ＝＝，
∴tan2θ＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数
的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
第12页（共18页）
16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则
a的取值范围是（﹣∞，2]．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sinx换元，根据给出的x的范围求
出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
【解答】解：由f（x）＝cos2x+asinx
＝﹣2sin
2x+asinx+1，
令t＝sinx，
则原函数化为y＝﹣2t
2+at+1．
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y＝﹣2t
2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y＝﹣2t
2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求
得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
三、解答题
17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC
＝2ccosA，tanA＝，求B．
【分析】由3acosC＝2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA，再利用同角的
三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC＝2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA，
∴3tanA＝2tanC，
∵tanA＝，
∴2tanC＝3×＝1，解得tanC＝．
第13页（共18页）
∴tanB＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B＝
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱
导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝13，a
2
为整数，且
S
n
≤S
4
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）设b
n
＝，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
【分析】（1）通过S
n
≤S
4
得a
4
≥0，a
5
≤0，利用a
1
＝13、a
2
为整数可得d＝﹣4，进而可
得结论；
（2）通过a
n
＝13﹣3n，分离分母可得b
n
＝（﹣），并项相加即可．
【解答】解：（1）在等差数列{a
n
}中，由S
n
≤S
4
得：
a
4
≥0，a
5
≤0，
又∵a
1
＝13，
∴，解得﹣≤d≤﹣，
∵a
2
为整数，∴d＝﹣4，
∴{a
n
}的通项为：a
n
＝17﹣4n；
（2）∵a
n
＝17﹣4n，
∴b
n
＝＝＝﹣（﹣），
于是T
n
＝b
1
+b
2
+……+b
n
＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
＝﹣（﹣）
＝．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于
第14页（共18页）
中档题．
19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点A
1
在平面ABC内的射影D
在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC
1
＝2．
（Ⅰ）证明：AC
1
⊥A
1
B；
（Ⅱ）设直线AA
1
与平面BCC
1
B
1
的距离为，求二面角A
1
﹣AB﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A
1
FD为二面角A
1
﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可
得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A
1
D⊥平面ABC，A
1
D⊂平面AA
1
C
1
C，
∴平面AA
1
C
1
C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA
1
C
1
C，连结A
1
C，
由侧面AA
1
C
1
C为菱形可得AC
1
⊥A
1
C，
又AC
1
⊥BC，A
1
C∩BC＝C，
∴AC
1
⊥平面A
1
BC，AB
1
⊂平面A
1
BC，
∴AC
1
⊥A
1
B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA
1
C
1
C，BC⊂平面BCC
1
B
1
，
∴平面AA
1
C
1
C⊥平面BCC
1
B
1
，
作A
1
E⊥CC
1
，E为垂足，可得A
1
E⊥平面BCC
1
B
1
，
又直线AA
1
∥平面BCC
1
B
1
，
∴A
1
E为直线AA
1
与平面BCC
1
B
1
的距离，即A
1
E＝，
∵A
1
C为∠ACC
1
的平分线，∴A
1
D＝A
1
E＝，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A
1
F，
又可得AB⊥A
1
D，A
1
F∩A
1
D＝A
1
，
∴AB⊥平面A
1
DF，∵A
1
F⊂平面A
1
DF
第15页（共18页）
∴A
1
F⊥AB，
∴∠A
1
FD为二面角A
1
﹣AB﹣C的平面角，
由AD＝＝1可知D为AC中点，
∴DF＝＝，
∴tan∠A
1
FD＝＝，
∴二面角A
1
﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中
档题．
20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别
为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
【分析】记A
i
表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲
需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX
i
，再利用数学期望公式计算即可．
【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1
﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52
×（1﹣0.4）＝0.06
P（X＝1）＝0.6×0.52
×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.5
2
×0.4+（1﹣0.6）×2×0.5
2
×（1﹣
0.4）＝0.25
第16页（共18页）
P（X＝4）＝P（A
2
•B•C）＝0.52
×0.6×0.4＝0.06，
P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，
P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25
﹣0.06＝0.38．
故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要
有耐心，属于难题．
21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y
轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N
两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x
0
，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x
0
＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公
式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦
长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝
|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x
0
，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2
＝2px（p
＞0），
可得x
0
＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．
又|QF|＝x
0
+＝+，|QF|＝|PQ|，
∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．
故C的方程为y
2
＝4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y
2
＝4x的焦点F（1，0），
设l的方程为x＝my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y
2
﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m
2+16＞0，y
1
+y
2
＝4m，y
1
•y
2
＝
﹣4．
第17页（共18页）
∴AB的中点坐标为D（2m
2+1，2m），弦长|AB|＝|y
1
﹣y
2
|＝
＝4（m
2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m
2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得y
2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y
3
+y
4
＝，y
3
•y
4
＝﹣4
（2m
2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m
2+3，），∴|MN|＝|y
3
﹣y
4
|＝
，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
∴+DE
2
＝MN
2
，
∴4（m
2+1）2++＝×，化简可得m2
﹣1＝0，
∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达
定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a
1
＝1，a
n+1
＝ln（a
n
+1），证明：＜a
n
≤（n∈N*
）．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2
﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a
2
﹣2a）上是增函数，
第18页（共18页）
若x∈（a
2
﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a
2
﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a
2
﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a
2
﹣2a）上是减函数，
若x∈（a
2
﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a
2
﹣2a，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，
即ln（x+1）＞，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，
下面用数学归纳法进行证明＜a
n
≤成立，
①当n＝1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n＝k时结论成立，即，
则当n＝k+1时，a
n+1
＝ln（a
n
+1）＞ln（），
a
k+1
＝ln（a
k
+1）＜ln（），
即当n＝k+1时，成立，
综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，
综合性较强，难度较大．
第1页（共24页）
2014
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2
﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B
＝（）
A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]
2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）＝（）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g
（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2
﹣my
2
＝3m（m＞0）的一个焦点，则点
F到C的一条渐近线的距离为（）
A．B．3C．mD．3m
5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则
周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，
角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M
到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．
第2页（共24页）
C．D．
7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则
输出的M＝（）
A．B．C．D．
8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）
A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝
9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p
1
：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p
2
：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p
3
：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p
4
：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（）
A．p
2
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
1
，p
2
D．p
1
，p
3
10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2
＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（）
A．B．3C．D．2
第3页（共24页）
11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3
﹣3x
2+1，若f（x）存在唯一的零点x
0
，
且x
0
＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面
体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6B．6C．4D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8
的展开式中x
2y7
的系数为．（用数字
填写答案）
14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为．
15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则
与的夹角为．
16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a
＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
三、解答题
17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
n
≠0，a
n
a
n+1
＝λS
n
﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a
n+2
﹣a
n
＝λ
第4页（共24页）
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一
项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s
2
（同一组中数据用该组区
间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ
2
），其中μ
近似为样本平均数，σ
2
近似为样本方差s
2
．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于
区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ
2
）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C为菱形，AB
⊥B
1
C．
（Ⅰ）证明：AC＝AB
1
；
（Ⅱ）若AC⊥AB
1
，∠CBB
1
＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A
1
B
1
﹣C
1
的余弦值．
第5页（共24页）
20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离
心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝aexlnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与
DC的延长线交于点E，且CB＝CE．
（Ⅰ）证明：∠D＝∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三
角形．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+＝1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与
最小值．
选修4-5：不等式选讲
24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+＝．
第6页（共24页）
（Ⅰ）求a
3+b3
的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
第7页（共24页）
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2
﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B
＝（）
A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B＝[﹣2，2），
∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）＝（）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得
结果．
【解答】解：＝＝﹣（1+i）＝﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基
础题．
3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g
（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
第8页（共24页）
∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2
﹣my
2
＝3m（m＞0）的一个焦点，则点
F到C的一条渐近线的距离为（）
A．B．3C．mD．3m
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的
距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x
2
﹣my
2
＝3m（m＞0）可化为，
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则
周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都
有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2
4
＝16种
情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有2
4
﹣2＝16﹣2＝14种情况，
∴所求概率为＝．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断
第9页（共24页）
该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本
事件的总数．
6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，
角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M
到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的
锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象
正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝x，则OM＝|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）＝OM|sinx|
＝|cosx|•|sinx|＝|sin2x|，
其周期为T＝，最大值为，最小值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，
同时考查二倍角公式的运用．
7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则
输出的M＝（）
第10页（共24页）
A．B．C．D．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M＝1+＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环M＝2+＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环M＝+＝，a＝，b＝，n＝4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M＝．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此
类问题的常用方法．
8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）
A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）＝cosα，由该等式左右两边角的关系可排除
选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）＝cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα＝，得：
，
第11页（共24页）
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基
础题．
9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p
1
：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p
2
：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p
3
：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p
4
：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（）
A．p
2
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
1
，p
2
D．p
1
，p
3
【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y＝1与x﹣2y＝4相交的上部角型区域，
p
1
：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p
2
：在直线x+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p
2
：
∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p
3
：由图知，区域D有部分在直线x+2y＝3的上方，因此p
3
：∀（x，y）∈D，x+2y≤3
错误；
第12页（共24页）
p
4
：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p
4
：∃（x，y）∈D，x+2y
≤﹣1错误；
综上所述，p
1
、p
2
正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是
关键，属于难题．
10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2
＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（）
A．B．3C．D．2
【分析】求得直线PF的方程，与y
2
＝8x联立可得x＝1，利用|QF|＝d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，
∵＝4，
∴|PQ|＝3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣＝﹣2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），
与y
2
＝8x联立可得x＝1，
∴|QF|＝d＝1+2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3
﹣3x
2+1，若f（x）存在唯一的零点x
0
，
且x
0
＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
【分析】由题意可得f′（x）＝3ax
2
﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；分类讨论确定函数
的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）＝ax
3
﹣3x
2+1，
∴f′（x）＝3ax
2
﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；
第13页（共24页）
②当a＞0时，f（x）＝ax3
﹣3x
2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）＝ax3
﹣3x
2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）＝ax
3
﹣3x
2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x＝时，f（x）＝ax
3
﹣3x
2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）＝﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的
判定的应用，属于基础题．
12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面
体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6B．6C．4D．4
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，
∴．AC＝＝6，AD＝4，
显然AC最长．长为6．
故选：B．
第14页（共24页）
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8
的展开式中x
2y7
的系数为﹣20．（用数字
填写答案）
【分析】由题意依次求出（x+y）
8
中xy
7
，x
2y6
，项的系数，求和即可．
【解答】解：（x+y）
8
的展开式中，含xy
7
的系数是：8．
含x
2y6
的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）
8
的展开式中x
2y7
的系数为：8﹣28＝﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为A．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，
再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则
与的夹角为90°．
第15页（共24页）
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
【解答】解：在圆中若＝（+），
即2＝+，
即+的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则⊥，
即与的夹角为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，
比较基础．
16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a
＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b
2
＝c
2
﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本
不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2
＝c
2
﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：，
△ABC面积，
而b
2+c2
﹣a
2
＝bc⇒b2+c2
﹣bc＝a
2
⇒b2+c2
﹣bc＝4⇒bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角
第16页（共24页）
形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
n
≠0，a
n
a
n+1
＝λS
n
﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a
n+2
﹣a
n
＝λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用a
n
a
n+1
＝λS
n
﹣1，a
n+1
a
n+2
＝λS
n+1
﹣1，相减即可得出；
（Ⅱ）假设存在λ，使得{a
n
}为等差数列，设公差为d．可得λ＝a
n+2
﹣a
n
＝（a
n+2
﹣a
n+1
）
+（a
n+1
﹣a
n
）＝2d，．得到λS
n
＝，根据{a
n
}为等差
数列的充要条件是，解得λ即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵a
n
a
n+1
＝λS
n
﹣1，a
n+1
a
n+2
＝λS
n+1
﹣1，
∴a
n+1
（a
n+2
﹣a
n
）＝λa
n+1
∵a
n+1
≠0，
∴a
n+2
﹣a
n
＝λ．
（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a
n
}为等差数列，设公差为d．
则λ＝a
n+2
﹣a
n
＝（a
n+2
﹣a
n+1
）+（a
n+1
﹣a
n
）＝2d，
∴．
∴，，
∴λS
n
＝1+＝，
根据{a
n
}为等差数列的充要条件是，解得λ＝4．
此时可得，a
n
＝2n﹣1．
因此存在λ＝4，使得{a
n
}为等差数列．
也可以先考虑前3项成等差数列，得出λ，再进一步验证即可．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列
的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想
方法，属于难题．
第17页（共24页）
18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一
项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s
2
（同一组中数据用该组区
间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ
2
），其中μ
近似为样本平均数，σ
2
近似为样本方差s
2
．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于
区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ
2
）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所
给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX＝np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s
2
分别为：
＝170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s2
＝（﹣30）
2
×0.02+（﹣20）
2
×0.09+（﹣10）
2
×0.22+0×0.33+10
2
×0.24+20
2
×0.08+30
2
×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2
＜Z＜200+12.2）＝0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
第18页（共24页）
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，
考查运算能力．
19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C为菱形，AB
⊥B
1
C．
（Ⅰ）证明：AC＝AB
1
；
（Ⅱ）若AC⊥AB
1
，∠CBB
1
＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A
1
B
1
﹣C
1
的余弦值．
【分析】（1）连结BC
1
，交B
1
C于点O，连结AO，可证B
1
C⊥平面ABO，可得B
1
C⊥AO，
B
1
0＝CO，进而可得AC＝AB
1
；
（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y
轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，
可得所求余弦值．
【解答】解：（1）连结BC
1
，交B
1
C于点O，连结AO，
∵侧面BB
1
C
1
C为菱形，
∴BC
1
⊥B
1
C，且O为BC
1
和B
1
C的中点，
又∵AB⊥B
1
C，∴B
1
C⊥平面ABO，
∵AO⊂平面ABO，∴B
1
C⊥AO，
又B
1
0＝CO，∴AC＝AB
1
，
（2）∵AC⊥AB
1
，且O为B
1
C的中点，∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB
1
两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，
的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
第19页（共24页）
∵∠CBB
1
＝60°，∴△CBB
1
为正三角形，又AB＝BC，
∴A（0，0，），B（1，0，0，），B
1
（0，，0），C（0，，0）
∴＝（0，，），＝＝（1，0，），＝＝（﹣1，，
0），
设向量＝（x，y，z）是平面AA
1
B
1
的法向量，
则，可取＝（1，，），
同理可得平面A
1
B
1
C
1
的一个法向量＝（1，﹣，），
∴cos＜，＞＝＝，
∴二面角A﹣A
1
B
1
﹣C
1
的余弦值为
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中
档题．
20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离
心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx﹣2，设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）将y＝kx﹣2代入，
利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利
用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，
所以a＝2，b
2
＝a
2
﹣c
2
＝1，故E的方程．…．（5分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）
第20页（共24页）
将y＝kx﹣2代入，得（1+4k
2
）x
2
﹣16kx+12＝0，
当△＝16（4k
2
﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积＝
，
设，则t＞0，，
当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．…（12分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考
查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝aexlnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）＝2，f′（1）＝e，解出即
可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x
﹣，设函数g（x）＝xlnx，函数h（x）
＝，只需证明g（x）
min
＞h（x）
max
，利用导数可分别求得g（x）
min
，h（x）
max
；
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝+，
由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，
第21页（共24页）
故a＝1，b＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝e
xlnx+，
∵f（x）＞1，∴e
xlnx+＞1，∴lnx＞﹣，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x
﹣，设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）
上的最小值为g（）＝﹣．
设函数h（x）＝xe﹣x
﹣，则h′（x）＝e﹣x
（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）＝﹣．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化
思想，考查学生分析解决问题的能力．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与
DC的延长线交于点E，且CB＝CE．
（Ⅰ）证明：∠D＝∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三
角形．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D＝∠CBE，由CB＝CE，
可得∠E＝∠CBE，即可证明：∠D＝∠E；
第22页（共24页）
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A＝∠CBE，进而可得∠A＝
∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝∠CBE，
∵CB＝CE，
∴∠E＝∠CBE，
∴∠D＝∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠E，
∴∠A＝∠E，
由（Ⅰ）知，∠D＝∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+＝1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与
最小值．
第23页（共24页）
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程，
直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l
的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+＝1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）＝﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数
学转化思想方法，是中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+＝．
（Ⅰ）求a
3+b3
的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a
3+b3
的最小
值．
（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b＝6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+＝，
∴＝+≥2，∴ab≥2，
当且仅当a＝b＝时取等号．
第24页（共24页）
∵a
3+b3
≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，
∴a
3+b3
的最小值为4．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2＝2，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，2≥2＝4＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，
属于基础题．
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