四种命题

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任课教师白杰授课班级高二(9)、(10)班授课日期10.8

教学课题：命题的概念与四种命题

教学目标：

1，正确理解命题的概念，并能判断命题的真假；

2，正确理解四种命题与其关系；

3，正确理解命题的根本结构。

教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法

教学重点：能判断命题的真假

教学难点：以命题为工具，处理简单问题

教学用具：PPT

教学容师生

活动

备注

设置情境

引例1：请将以下语句分类。

(1)矩形难道不是平行四边形么？

(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。

(3)一个数不是合数就是质数么？

(4)大角所对的边大于小角所对的边。

(5)x+y是无理数，那么x,y也都是有理数。

(6)求证x∈R，那么x2+x+1=0无实根。

(7)y=2x+1。

(8)x>0。

(9)x≥0，那么|x|=x。

答：(1)和(3)是疑问句，(6)是祈使句，(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)

均是述句。

问题1：如果将(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)五个语句再继续分类，该

如何分类？

答：(2)、(4)、(5)、(9)能判断对错，(7)、(8)不能够判断对错。

(说明：因为语句中含有未知数x和y，在没给变量赋值前，我们无法判断

语句的对错。)

问题2：我们把像(2)、(4)、(5)、(9)这样的语句称作命题，那么命题该

怎么定义？

一．命题的定义与其分类。

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1．定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命

题。

问题3：如果将(2)、(4)、(5)、(9)这四个命题分类，该如何分类？

答：(2)和(5)错误，(4)和(9)正确。

2．命题的分类——真假命题。

(1)真命题：判断为真的命题；(2)假命题：判断为假的命题。

例1：以下语句中哪些是命题，那些不是命题？是真命题还是假命题，并

说明理由。

1．3>2；

2．5是15的约数；

3．这是一棵大树；

4．π是无限不循环小数；

5．x+5=8；

6．x2+3x-2>0；

7．x

8．假设x=4，那么2x>0；

9．把门关上；

10．平行于同一直线的两条平面一定平行。

11．证明方程：x2+3x-4=0无实数根；

12．向抗击非典的英雄致敬！

13．难道对顶角不相等吗?

14．-1≤sinx≤1。

答案：

〔1〕〔2〕是命题，能判断真假，并且都是真命题。

〔3〕不是命题。因为大树的概念没有界定，也不能判断其是否正确

〔4〕是命题，能判断真假，并且都是真命题。

〔5〕〔6〕〔7〕不是命题，因为语句中含有未知数x，在没给变量赋值前，

我们无法判断语句的真假。

〔8〕是命题，真命题。

〔9〕不是命题。

〔10〕是命题，是假命题。

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〔11〕〔12〕不是命题，因为没有做出判断。

〔13〕是命题，通过反问的语气对“对顶角相等〞做出判断，是真命题。

〔14〕是命题，真命题。虽然没有给x赋值，但是对任意的x都成立。

问题3：判断一个语句是否是命题的条件是什么？

3．判断命题的条件：述句和可判断。

问题4：判断一个命题真假的关键是什么？

答：扎实的数学知识和严格的逻辑推理能力。

讲授：观察例1中的命题8：“假设x=4，那么2x>0〞，它具有“假设┄，

那么┄〞的格式。在本章中，我们只研究具有这种格式的命题。其中x=2

是命题的条件我们用小写英文字母p表示，其中2x>0是命题的结论我们用

小写英文字母q表示。

4．命题的一种结构：假设p，那么q。

例2：请将以下命题改写成“假设p，那么q〞的形式，并判断真假。

(1)垂直于同一条直线的两平面平行；

(2)负数的立方是负数；

(3)对顶角相等；

(4)等边三角形的各边的中线相等；

(5)偶数能被2整除；

(6)奇函数的图像必过原点；

(7)同弧所对的圆周角不相等；

(8)当abc=0时，a=0且b=0且c=0；

(9)x,y为实数，当y=x+1时，x=2,y=3；

(10)正方形既是矩形又是菱形；

(11)一元二次方程有两个实数根。

解：

(1)假设两个平面垂直于同一条直线，那么这两平面平行。真命题。

(2)假设一个数是负数，那么这个数的立方也是负数。真命题。

(3)假设两个角是对顶角，那么这两个角相等。真命题。

(4)假设三角形是等边三角形，那么这个三角形各边的中线相等。真命题。

(5)假设一个数是偶数，那么这个数能被2整除。真命题。

(6)假设一个函数是奇函数，那么这个函数的图像必过原点。假命题。

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(说明：这个函数要在原点有定义才可以。)

(7)假设两个角为同弧所对的圆周角，那么这两个角不相等。假命题。

(8)假设abc=0，那么a=0且b=0且c=0。假命题。

(9)x,y为实数，假设y=x+1，那么x=2,y=3。假命题。

(10)假设一个四边形是正方形，那么这个四边形既是矩形又是菱形。真命

题。

(11)假设一个方程是一元二次方程，那么这个方程有两个实数根。假命题。

引例2：写出以下命题的条件和结论：

(1)同位角相等，两直线平行；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)同位角不相等，两直线不平行；

(4)两直线不平行，同位角不相等。

答案：

讨论：请同学们讨论这四个命题之间的关系。

(如果学生没有线索，讨论混乱，那么教师提示先讨论命题〔1〕和〔2〕，

〔1〕和〔3〕，〔1〕和〔4〕之间的关系)

答案：

A：命题〔2〕是把命题〔1〕的条件和结论调换了，换句话说，命题〔2〕

的条件是命题〔1〕的结论，命题〔2〕的结论是命题〔1〕的条件。

B：命题〔3〕是把命题〔1〕的条件和结论全部否认了，换句话说，命题〔3〕

的条件是命题〔1〕条件的否认，命题〔3〕的结论是命题〔1〕结论的否认。

C：命题〔4〕是把命题〔1〕的条件和结论调换后并加以否认了，换句话说，

命题条件：〔假设〕结论：〔那么〕

1同位角相等两直线平行

2两直线平行同位角相等

3同位角不相等两直线不平行

4两直线不平行同位角不相等

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命题〔4〕的条件是命题〔1〕结论的否认，命题〔4〕的结论是命题〔1〕

条件的否认。

问题5：如果我们把命题〔1〕叫做原命题；〔2〕叫做逆命题；〔3〕叫做否

命题；〔4〕叫做逆否命题，那么它们该如何进展严格的定义？

二．四种命题的概念。

(一)四种命题的定义：

1．在两个命题中，如果第一个命题的条件〔或题设〕是第二个命题的结论，

且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。

2．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条

件的否认和结论的否认，那么这两个命题叫做互否命题，如果把其中一个

叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

3．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结

论的否认和条件的否认，那么这两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中

一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否否命题。

问题6：如果我用p和q分别表示原名题的条件和结论，用┐p和┐q分

别表示p和q的否认，那么四种命题的形式该如何表示？

(二)四种命题的表示：

原命题

假设p那么q

逆命题

假设q那么p

否命题

假设┐p那么┐q

逆否命题

假设┐q那么┐p

问题7：请你从上面四个命题中任取两个说明它们的关系。

(三)四种命题的根本关系：

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例3：写出以下命题的逆命题，否命题和逆否命题：

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等。

(3)末位是0的整数，可以被5整除；

(4)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

(5)等式两边都乘以同一个数所得结果仍是等式；

(6)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线。

答案：

1：原命题：假设一个数是负数，那么它的平方是正数；

逆命题：假设一个数的平方是正数，那么它是负数；

否命题：假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数；

逆否命题：假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数。

2：原命题：假设一个四边形是正方形，那么它的四条边相等；

逆命题：假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形；

否命题：假设一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等；

逆否命题：假设一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形。

3：原命题：假设一个整数的末位是0，那么它可以被5整除；

逆命题：假设一个整数可以被5整除，那么它的末位是0；

否命题：假设一个整数的末位不是0，那么它不能被5整除；

逆否命题：假设一个整数不能被5整除，那么它的末位不是0。

4：原命题：假设一个点在线段的垂直平分线上，那么它与这条线段的两个

端点的距离相等；

逆命题：假设一个点与这条线段的两个端点的距离相等，那么它在线段

的垂直平分线上；

否命题：假设一个点不在线段的垂直平分线上，那么它与这条线段的两

个端点的距离不相等；

逆否命题：假设一个点与这条线段的两个端点的距离不相等，那么

它不在线段的垂直平分线上。

5．原命题：假设一个式子是等式，那么它的两边都乘以同一个数，所的结

果仍是等式。

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逆命题：假设式子两边都乘以同一个数，所得结果是等式，那么这个式

子是等式；

否命题：假设一个式子不是等式，那么它的两边都乘以同一个数，所的

结果不是等式；

逆否命题：假设式子两边都乘以同一个数，所得结果不是等时，那

么这个式子不是等式。

6．原命题：假设一条直线到圆心的距离不等于半径，那么它不是圆的切线；

逆命题：假设一条直线不是圆的切线，那么它到圆心的距离不等于半

径；

否命题：假设一条直线到圆心的距离等于半径，那么它是圆的切线；

逆否命题：假设一条直线是圆的切线，那么它到圆心的距离等于半径。

问题8：写出一个命题的逆命题，否命题和逆否命题的关键是什么？

答：写出一个命题的逆命题，否命题和逆否命题的关键是：找出形成这个

命题的条件和结论。

课堂小结：

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