2014广州一模数学

1

2014年南沙区初中毕业班综合测试(一)

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试用时120分

钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面、第7面上用黑色字迹的钢

笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两

个号码的标号涂黑．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答

案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写

上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以

上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的.）

1．的相反数为（※）

A.B.C.D.

2．如果某天中午的气温是1℃，到傍晚下降了3℃，那么傍晚的气温是（※）

A.℃B.℃C.℃D.℃

3．点A向左平移3个单位长度得到点A’，则点A’的坐标为（※）

A.B.C.D.

4．某红外线的波长为0．00000094，用科学记数法表示这个数是（※）

A．B．C．D．

5．下列运算正确的是（※）

A．B．C．D．

6．将如右图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的俯视图是（※）

5

55

1

5



1

5

422

3

2，3

2，0-1，3-2，35，3

m

m7104.9m7104.9m8104.9m8104.9

030

33133

93

RtABCAC

2

7．关于的方程的根的情况叙述正确的是（※）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．不能确定

8．已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图像经过（※）

A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限

C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限

9．如图，在数轴上点，对应的实数分别为，,则有（※）

A．B．C．D．

10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反

比例函数的图象上，且OA⊥OB，=，则k的值为（※）

A.B.C.D.

第二部分非选择题（共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．如图，中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=***度.

12．若二次根式有意义，则的取值范围为***.

13．若方程的一个根为2，则它的另一个根为***.

x0122xx

3ykxyx

ABab

0ab0ab0ab

0

a

b



3

y

x



k

y

x

sinB

3

3

-3-63-3-2

ABC

2x

x

220xpx

第9题

第11题

A

B

C

第10题

B

A

O

y

x

3

第16题

M

N

D

A

B

C

E

P

14．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩（m）

1.501.601.651.701.751.80

人数

124332

这些运动员跳高成绩的中位数是***m.

15．一个扇形的圆心角为60°，半径为2，则这个扇形的面积为***．（结果保留）

16．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点

（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为，在点P运动过

程中，不断变化，则的取值范围是***.

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分9分）

解分式方程

18．（本小题满分9分）

化简

19．（本小题满分10分）

如图，在中，∠B=90°，O为AC的中点

（1）用直尺和圆规作出关于点O的中心对称图形（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若点B关于点O中心对称的点为D，判断四边形ABCD的形状并证明．



a

aa

12

3xx





23abaabab

ABC

ABC

第19题

O

B

A

C

4

第20题

D

O

C

B

A

E

20．（本小题满分10分）

如图，在Rt中，，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若

AB=5，AC=12，求⊙O的半径．

21．（本小题满分12分）

某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1000名同学暑假期间平均

每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．

（1）求样本容量，并估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分钟以上(含

40分钟)的人数；

（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请

用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

22．（本小题满分12分）

为了帮助贫困学生，姐妹两人分别编织28个中国结进行义卖，已知妹妹单独编织一周（7天）

不能完成，而姐姐单独编织不到一周就已完成．姐姐平均每天比妹妹多编2个．求：

（1）姐姐和妹妹平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）

（2）若妹妹先工作2天，姐姐才开始工作，那么姐姐工作几天，两人所编中国结数量相同？

ABC090A

5

23．（本小题满分12分）

如图，已知直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、

y轴分别相交于C、D两点．

（1）如果点A的横坐标为1，求m的值并利用函数图象求关于x的不等式的解集；

（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说

明理由．

24．（本小题满分14分）

如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像

与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存

在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；

（2）P、Q分别是线段AD、CA上的动点，点P从A开始向D运动，同时点Q从C开始

向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求：

①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

y4x

m

ym0x0

x

>>，

m

4x

x

<

3

3

4

yx

2

1

8

yxbxc

第24题

D

OC

B

A

y

x

第23题

y

x

D

C

O

B

A

P

6

25（本小题满分14分）

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G

为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中

的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

2014年南沙区初中毕业班综合测试参考答案及评分标准

数学

说明：1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各学校可根据试

题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不

得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，

就不再给分．

FB

A

D

C

E

G

图①

D

F

B

A

D

C

E

G

图②

F

B

A

C

E

图③

7

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：（本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，共30分）

题号

答案BCBABDBCAB

二、填空题：（本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共6小题，每小题3分，共18

分）

11．8012．13．-14．1.7015．16．

三、解答题：（本大题共9小题，满分102分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．（本小题满分9分）

解：…………………………………………3分

………………………………………………6分

…………………………………………………8分

经检验得是原方程的解。……………………9分

18．（本小题满分9分）

解：原式=……………………4分

=……………………6分

=…………………………………………………………9分

2x

1

2

3

45a

23xx

26xx

6x

6x

22223aabbaabab

22223aaabababb

2b

8

19.（本小题满分10分）

解：（1）如图所示

注：作得射线得1分，弧1分

作出完整的中心对称图形得4分

（2）四边形ABCD为矩形…………………………………5分

证明：∵中，∠B=90°，O为AC的中点

∴AO=CO=BO……………………………………6分

∵B关于点O的对称点为D

∴BO=DO…………………………………………8分

∴AO=CO=BO=DO

∴AC=BD…………………………………………9分

∴四边形ABCD是矩形……………………………10分

其他正确解法也给分

20.（本小题满分10分）

解：连接BO、EO，设⊙O半径为

在Rt中，根据勾股定理，有：

……………………………………………1分

则：

………………………………………5分

ABC

x

ABC

222251213BCABAC

ABCABOBCO

SSS





111

222

ACABABAOBCEO

D

O

B

A

C

9

即……………………………………………7分

解得

的半径长为………………………………………………………………10分

其他正确解法也给分

21.（本小题满分12分）

解：（1）样本容量为：8+10+16+12+4=50，……………………………………2分

1000×=320人；………………………………………4分

（2）列表如下：

………………………8分

共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，

所以P（恰好抽到甲、乙两名同学）==．………………………………12分

其他正确解法也给分

22.（本小题满分12分）

解：（1）设妹妹每天编个，姐姐每天编（）个。………………………………1分

……………………………………………………………4分

解得……………………………………………………………………………5分

111

125513

222

xx

10

3

x

O⊙

10

3

x+2x

728

7(2)28

x

x











24x

10

因为为整数，所以，

答：姐姐每天编5个中国结，妹妹每天编3个中国结。………………………………6分

（2）设姐姐工作天后两者相同，则

。………………………………………………………………9分。

解得……………………………………………………………………………11分

答：姐姐工作3天，两人所编中国结数量相同……………………………………12分

23.（本小题满分１2分）

解：（1）将点A的横坐标1代入，得点A的纵坐标为3，∴A（1，3）．………1分

将A（1，3）代入，得，……………………………………………………2分

x=3x+2=5x

y

32+y=5（）y

3y

y4x

m

y

x



m3

11

∴反比例函数解析式为．

联立，解得或…………………………………………………4分

∴B（3，1）．

∵关于x的不等式的解集，就是的图象在的图象

下方时x的取值范围，

∴由函数图象知，关于x的不等式的解集为或．……………6分

（2）存在。……………………………………………………………………………7分

法一：由于点A、B都在直线上，设点A（）,B（）

由得，即，由根与系数关系得到：

,……………………………………………………8分

过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，

若以AB为直径的圆经过点P，则AP⊥PB,

由此可得～

即……………………………………10分

化简得：

即……………………………………………12分

法二：由于点A、B都在直线上，设点A（）,B（）

3

y

x



y4x

3

y

x















x1

y3











x3

y1











m

4x

x

<y4x

m

ym0x0

x

>>，

m

4x

x

<

0x1<

4yx

,4aa,4bb

4yx

m

y

x















4

m

x

x



240xxm

+4ababm

AMP

PNB

AMMP

PNBN



41

14

aa

bb







11644ababbaab

3=2ab

3

2

ab

3

2

m

4yx

,4aa,4bb

y

x

D

C

O

N

M

B

A

P

12

由得，即，由根与系数关系得到：

,所以

则A，则B，AB的中点（即圆心）为M．

由勾股定理可求得：

………………9分

若以AB为直径的圆经过点P（1，0），则，

即，解得。

∴………………………12分

其他正确解法也给分

24.（本小题满分１4分）

4yx

m

y

x















4

m

x

x



240xxm

+4ab4ba

4aa，4aa，22，

2

22AB24222PM215aaa，

2ABPM

22225a

1010

2,42

22

aa

101053

m224

2222











13

解:（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．

由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，…………………………………………1分

BC＝8．

因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．………………………………………………2分

将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得

解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．……………4分

（2）①设点P、Q运动的时间为t．

如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．

当PQ⊥AC时，．所以．解得．……………………7分

当QP⊥AD时．这时，所以．解得．……………………9分

即或时，△APQ是直角三角形。……………………10分

②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．

由于S△APQ

＝，…11分

S△ACD

＝，……………………………………………………12分

所以S四边形PDCQ

＝S△ACD

－S△APQ

＝．

所以当，即AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．……………………14分

3

3

4

yx

2

1

8

yxbxc

240,

883.

bc

bc











1

4

b2

11

3

84

yxx

4

5

4

5

AQ

AP



54

5

t

t





25

9

t

4

5

AP

AQ



4

55

t

t





20

9

t

25

9

AP

20

9

AP

2

111333

sin(5)

2225102

APQHAPAQPAQtttt

11

8312

22

ADOA

22

333581

12()()

1021028

ttt

5

2

t

5

2

81

8

14

25.（本小题满分14分）

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴CG=FD．……………………………………………2分

同理，在Rt△DEF中，EG=FD．……………………3分

∴CG=EG．………………………………………………4分

（2）：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………5分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．…………6分

在△DAG与△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG．

∴AG=CG．………………………8分

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG．

∴MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．……………10分

在Rt△AMG与Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG．

∴AG=EG．

∴EG=CG．……………………………12分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………6分

在△DCG与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF∥CD∥AB．………………………8分

1

2

1

2

15

∴在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF=CB，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE．

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．

∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，∴EG=MC．………12分

其他正确解法也给分

（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……14分