2017高考数学答案

·

Word资料

输出S

K=K+1

a=a

S=S+a∙K

是

否

输入a

S=0,K=1

结束

K≤6

开始

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.

3

1

i

i







（）

A．12iB．12iC．2iD．2i

2.设集合1,2,4，240xxxm．若1，则（）

A．1,3B．1,0C．1,3D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，

请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2

倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，

该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A．90B．63C．42D．36

5.设

x

，y满足约束条件

2330

2330

30

xy

xy

y

















，则2zxy的最小值是（）

A．15B．9C．1D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中

有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的

成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）

A．2B．3C．4D．5

9.若双曲线C:

22

22

1

xy

ab

（0a，0b）的一条渐近线被圆2

224xy所截

得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2B．

3

C．2D．

23

3

10.已知直三棱柱

111

CC中，C120，2，

1

CCC1，则异

面直线

1

与

1

C所成角的余弦值为（）

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A．

3

2

B．

15

5

C．

10

5

D．

3

3

11.若2x是函数21`()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）

A.1B.32eC.35eD.1

12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点，则()PAPBPC的最小值是（）

A.2B.

3

2

C.

4

3

D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二

等品件数，则D．

14.函数2

3

sin3cos

4

fxxx（0,

2

x











）的最大值是．

15.等差数列

n

a的前

n

项和为

n

S，

3

3a，

4

10S，则

1

1n

k

k

S



．

16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中

点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC的角,,ABC的对边分别为,,abc,已知2sin()8sin

2

B

AC．

(1)求cosB(2)若6ac,ABC面积为2,求.b

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网

箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

旧养殖法

0.020

0.032

0.040

0.034

0.024

0.014

0.012

频率

组距

箱产量/kg

30657025

O

0.008

0.010

0.046

0.068

0.044

0.020

0.004

频率

组距

箱产量/kg

4035

新养殖法

O

·

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（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法

的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

2

()

()()()()

nadbc

K

abcdacbd







19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

o

1

,90,

2

ABBCADBADABCE是PD的中点.

（1）证明：直线//CE平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为

o45，求二面角M-AB-D的余弦值

20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

2

21

2

x

y上，

E

A

B

D

P

C

M

·

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过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x=-3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数2()ln,fxaxaxxx且()0fx.

（1）求a；

（2）证明：()fx存在唯一的极大值点

0

x，且22

0

()2efx.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

1

C的极坐标方程为

cos4．

（1）M为曲线

1

C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹

2

C的直角坐标

方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)

3



，点B在曲线

2

C上，求OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知330,0,2abab，证明：

（1）55()()4abab；

（2）2ab．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D2.C3.B4.B5.A6.D

7.D8.B9.A10.C11.A12.B

二、填空题

13.1.9614.115.

2n

1n

16.6

三、解答题

17.解：

（1）由题设及2sin8sin

2

ABCB



得，故

sin4-cosBB（1）

上式两边平方，整理得217cosB-32cosB+15=0

解得

15

cosB=cosB

17

1（舍去），=

（2）由

158

cosBsinB

1717

=得，故

14

asin

217ABC

ScBac





又

17

=2

2ABC

Sac



，则

由余弦定理及a6c得

222

2

b2cos

a2(1cosB)

1715

362(1)

217

4

acacB

ac









（+c）

所以b=2

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于

50kg

”，

C

表示事件“新养殖法的箱产量不低于

50kg

”

由题意知PAPBCPBPC

旧养殖法的箱产量低于

50kg

的频率为

0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于

50kg

的频率为

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0.0680.0460.0100.0085=0.66（）

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量

50kg

箱产量

50kg≥

旧养殖法6238

新养殖法3466

2

2

2

15.705

1

K







由于

15.7056.635

故有

99%

的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于

50kg

的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于

55kg

的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+2.35kg

0.068

（）≈5

．

19.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD,

1

2

EFAD=

,由

90BADABC

得

BCAD∥

，又

1

2

BCAD

所以EFBC

∥

．四边形

BCEF

为平行四边形，

CEBF∥

．

又

BFPAB平面

，

CEPAB平面

，故

CEPAB∥平面

（2）

由已知得BAAD,以A为坐标原点，

AB

的方向为x轴正方向，

AB

为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系A-xyz,则

则

(000)A，，

，

(100)B，，

，

(110)C，，

，(013)P，，，

·

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(103)PC，，,(100)AB，，则

(x1),(x13)BMyzPMyz，，，，

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而

(00)n，，1

是底面ABCD的法向量，所以

0cos,sin45BMn

，

222

z

2

2

(x1)yz





即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设,PMPC则

x,1,33yz

由①，②得

xx

yy





















22

=1+=1-

22

=1(舍去)，=1

66

zz

22

所以M

26

1-,1，

22









，从而

26

1-,1，

22











AM

设000

,,xyzm=是平面ABM的法向量，则

000

0

2-2260

0

即

0

0

























xyz

AM

AB

x

m

m

所以可取m=（0，-6，2）.于是

cos

10

5



mn

m,n

mn

因此二面角M-AB-D的余弦值为

10

5

20.解

（1）设P（x,y）,M（x

0

,y

0

）,设N（x

0

,0）,00

,,0,NPxxyNMy

由2NPNM得

00

2

=,

2

xxyy

因为M（x

0

,y

0

）在C上，所以

22

1

22



xy

因此点P的轨迹方程为222xy

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（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

3,1,,33tOQ,PFmnOQPFmtn

，

,3,OPm,nPQm,tn

由1OPPQ得22-31mmtnn

，又由（1）知22+=2mn

，故

3+3m-tn=0

所以0OQPF，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过

C的左焦点F.

21.解：

（1）fx的定义域为0，+

设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于0gx

因为1

1=0，0,故1=0,而,1=1,得1ggxg'g'xag'aa

x

若a=1，则1

1g'x=

x

.当0＜x＜1时，＜0,g'xgx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递

增.所以x=1是gx的极小值点，故1=0gxg

综上，a=1

（2）由（1）知2ln,'()22lnfxxxxxfxxx

设1

22ln,则'()2hxxxhx

x



当

1

0,

2

x









时，'＜0hx；当

1

,+

2

x









时，'＞0hx，所以hx在

1

0,

2







单调递减，在

1

,+

2









单

调递增

又2

1

＞0,＜0,10

2

hehh









，所以hx在

1

0,

2







有唯一零点x

0

，在

1

,+

2











有唯一零点1，且当

0

0,xx时，＞0hx；当

0

,1xx时，＜0hx，当1,+x时，＞0hx.

因为'fxhx，所以x=x

0

是f(x)的唯一极大值点

由000000

'0得ln2(1),故=(1)fxxxfxxx

由0

0,1x得

0

1

'＜

4

fx

因为x=x

0

是f(x)在（0,1）的最大值点，由110,1,'0efe

得

·

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12

0

＞fxfee

所以2-2

0

＜＜2efx

22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0

，M的极坐标为11

，＞0

，由题设知

cos1

4

=，=



OPOM=

由

16OMOP=

得

2

C

的极坐标方程cos=4＞0

因此

2

C

的直角坐标方程为2

2240xyx

（2）设点B的极坐标为，＞0

BB



,由题设知

cos=2，=4

B

OA

,于是△OAB面积

1

=sin

2

4cossin

3

3

2sin2

32

23

B

SOAAOB





























当=-

12



时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3

23.解：

（1）







556556

2

333344

2

22

2

4

4









ababaababb

abababab

abab

（2）因为

·

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









3

3223

23

33

23+

3+3+

2++2

44

a





baababb

abab

abab

ab

所以3+8ab

，因此a+b≤2.