上海数学高考

2017年上海市高考数学试卷

2017.6

一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1.已知集合{1,2,3,4}A，集合{3,4,5}B，则AB

2.若排列数

6

654mP，则m

3.不等式

1

1

x

x



的解集为

4.已知球的体积为

36，则该球主视图的面积等于

5.已知复数z满足

3

0z

z



，则||z

6.设双曲线

22

2

1

9

xy

b



(0)b的焦点为

1

F、

2

F，

P

为该

双曲线上的一点，若

1

||5PF，则

2

||PF

7.如图，以长方体

1111

ABCDABCD的顶点

D

为坐标原点，过

D

的三条棱所在的直线为坐

标轴，建立空间直角坐标系，若

1

DB的坐标为(4,3,2)，则

1

AC的坐标为

8.定义在(0,)上的函数()yfx的反函数为1()yfx，若

31,0

()

(),0

xx

gx

fxx

















为

奇函数，则1()2fx的解为

9.已知四个函数：①

yx

；②

1

y

x

；③3yx；④

1

2yx.从中任选2个，则事

件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

10.已知数列{}

n

a和{}

n

b，其中2

n

an，*nN，{}

n

b的项是互不相等的正整数，若对于

任意*nN，{}

n

b的第

n

a项等于{}

n

a的第

n

b项，则14916

1234

lg()

lg()

bbbb

bbbb



11.设

1

a、

2

aR，且

12

11

2

2sin2sin(2)





，则

12

|10|的最小值等于

12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点

1

P、

2

P、

3

P、

4

P以及四个标记为“”的

点在正方形的顶点处，设集合

1234

{,,,}PPPP，点

P

，过

P

作直线

P

l，使得不在

P

l上的“”的点

分布在

P

l的两侧.用

1

()

P

Dl和

2

()

P

Dl分别表示

P

l一侧

和另一侧的“”的点到

P

l的距离之和.若过

P

的直

线

P

l中有且只有一条满足

12

()()

PP

DlDl，则



中

所有这样的

P

为

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.关于x、

y

的二元一次方程组

50

234

xy

xy











的系数行列式

D

为（）

A.

05

43

B.

10

24

C.

15

23

D.

60

54

14.在数列{}

n

a中，

1

()

2

n

n

a

，*nN，则

lim

n

n

a



（）

A.等于

1

2



B.等于0C.等于

1

2

D.不存在

15.已知a、

b

、c为实常数，数列{}

n

x的通项2

n

xanbnc，*nN，则“存在*kN，

使得

100k

x



、

200k

x



、

300k

x



成等差数列”的一个必要条件是（）

A.

0a

B.

0b

C.

0c

D.

20abc

16.在平面直角坐标系

xOy

中，已知椭圆

22

1

:1

364

xy

C和

2

2

2

:1

9

y

Cx.

P

为

1

C上的动

点，

Q

为

2

C上的动点，w是OPOQ的最大值.记{(,)|PQP在

1

C上，Q在

2

C上，且

}OPOQw，则



中元素个数为（）

A.2个B.4个C.8个D.无穷个

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，直三棱柱

111

ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和

2，侧棱

1

AA的长为5.

（1）求三棱柱

111

ABCABC的体积；

（2）设M是BC中点，求直线

1

AM

与平面

ABC

所成角的大小.

18.已知函数22

1

()cossin

2

fxxx

，(0,)x.

（1）求()fx的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边19a，角B所对边

5b

，若()0fA，求△ABC

的面积.

19.根据预测，某地第n*()nN个月共享单车的投放量和损失量分别为

n

a和

n

b（单位：

辆），

其中

4515,13

10470,4n

nn

a

nn

















，5

n

bn，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24(46)8800

n

Sn（单位：辆）.

设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳

量？

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

2

2:1

4

x

y

，

A

为



的上顶点，

P

为



上异于

上、下顶点的动点，

M

为x正半轴上的动点.

（1）若

P

在第一象限，且||2OP，求

P

的坐标；

（2）设

83

(,)

55

P，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若||||MAMP，直线AQ与



交于另一点C，且2AQAC，4PQPM，

求直线

AQ

的方程.

21.设定义在

R

上的函数()fx满足：对于任意的

1

x、

2

xR，当

12

xx时，都有

12

()()fxfx.

（1）若3()1fxax，求a的取值范围；

（2）若()fx为周期函数，证明：()fx是常值函数；

（3）设()fx恒大于零，()gx是定义在

R

上、恒大于零的周期函数，

M

是()gx的最大值.

函数()()()hxfxgx.证明：“()hx是周期函数”的充要条件是“()fx是常值函数”.

2017年上海市高考数学试卷

2017.6

一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1.已知集合{1,2,3,4}A，集合{3,4,5}B，则AB

【解析】{3,4}AB

2.若排列数

6

654mP，则m

【解析】

3m

3.不等式

1

1

x

x



的解集为

【解析】

11

1100x

xx

，解集为(,0)

4.已知球的体积为

36，则该球主视图的面积等于

【解析】3

4

3639

3

rrS

5.已知复数z满足

3

0z

z



，则||z

【解析】233||3zziz

6.设双曲线

22

2

1

9

xy

b



(0)b的焦点为

1

F、

2

F，

P

为该双曲线上的一点，若

1

||5PF，

则

2

||PF

【解析】

2

26||11aPF

7.如图，以长方体

1111

ABCDABCD的顶点

D

为坐标原点，过

D

的三条棱所在的直线为坐

标轴，建立空间直角坐标系，若

1

DB的坐标为(4,3,2)，则

1

AC的坐标为

【解析】(4,0,0)A，

1

(0,3,2)C，

1

(4,3,2)AC

8.定义在(0,)上的函数()yfx的反函数为1()yfx，若

31,0

()

(),0

xx

gx

fxx

















为

奇函数，则1()2fx的解为

【解析】()31(2)918xfxf，∴1()2fx的解为

8x

9.已知四个函数：①

yx

；②

1

y

x

；③3yx；④

1

2yx.从中任选2个，则事

件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为

2

4

21

3C



10.已知数列{}

n

a和{}

n

b，其中2

n

an，*nN，{}

n

b的项是互不相等的正整数，若对于

任意*nN，{}

n

b的第

n

a项等于{}

n

a的第

n

b项，则14916

1234

lg()

lg()

bbbb

bbbb



【解析】

2

22

14916

149161234

1234

lg()

()2

lg()nn

abn

n

bbbb

babbbbbbbbbb

bbbb



11.设

1

a、

2

aR，且

12

11

2

2sin2sin(2)





，则

12

|10|的最小值等于

【解析】

1

11

[,1]

2sin3





，

2

11

[,1]

2sin(2)3





，∴

12

11

1

2sin2sin(2)





，

即

12

sinsin(2)1，∴

1

2

2

k



，

24

k



，

12min

|10|

4





12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点

1

P、

2

P、

3

P、

4

P以及四个标记为“”的

点在正方形的顶点处，设集合

1234

{,,,}PPPP，点

P

，过

P

作直线

P

l，使得不在

P

l上的“”的点

分布在

P

l的两侧.用

1

()

P

Dl和

2

()

P

Dl分别表示

P

l一侧

和另一侧的“”的点到

P

l的距离之和.若过

P

的直

线

P

l中有且只有一条满足

12

()()

PP

DlDl，则



中

所有这样的

P

为

【解析】

1

P、

3

P

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.关于x、

y

的二元一次方程组

50

234

xy

xy











的系数行列式

D

为（）

A.

05

43

B.

10

24

C.

15

23

D.

60

54

【解析】C

14.在数列{}

n

a中，

1

()

2

n

n

a

，*nN，则

lim

n

n

a



（）

A.等于

1

2



B.等于0C.等于

1

2

D.不存在

【解析】B

15.已知a、

b

、c为实常数，数列{}

n

x的通项2

n

xanbnc，*nN，则“存在*kN，

使得

100k

x



、

200k

x



、

300k

x



成等差数列”的一个必要条件是（）

A.

0a

B.

0b

C.

0c

D.

20abc

【解析】A

16.在平面直角坐标系

xOy

中，已知椭圆

22

1

:1

364

xy

C和

2

2

2

:1

9

y

Cx.

P

为

1

C上的动

点，

Q

为

2

C上的动点，w是OPOQ的最大值.记{(,)|PQP在

1

C上，Q在

2

C上，且

}OPOQw，则



中元素个数为（）

A.2个B.4个C.8个D.无穷个

【解析】D

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，直三棱柱

111

ABCABC的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和

2，侧棱

1

AA的长为5.

（1）求三棱柱

111

ABCABC的体积；

（2）设M是BC中点，求直线

1

AM

与平面

ABC

所成角的大小.

【解析】（1）

20VSh

（2）

5

tan5

5

，线面角为arctan5

18.已知函数22

1

()cossin

2

fxxx

，(0,)x.

（1）求()fx的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边19a，角B所对边

5b

，若()0fA，求△ABC

的面积.

【解析】（1）

1

()cos2

2

fxx

，(0,)x，单调递增区间为

[,)

2





（2）

1

cos2

23

AA



，∴

225191

cos2

252

c

Ac

c







或

3c

，

根据锐角三角形，

cos0B

，∴

3c

，

115

sin3

24

SbcA

19.根据预测，某地第n*()nN个月共享单车的投放量和损失量分别为

n

a和

n

b（单位：

辆），

其中

4515,13

10470,4n

nn

a

nn

















，5

n

bn，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量24(46)8800

n

Sn（单位：辆）.

设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳

量？

【解析】（1）

12341234

()()96530935aaaabbbb

（2）

10470542nnn

，即第42个月底，保有量达到最大

12341234

(42050)38(647)42

()()[965]8782

22

aaaabbbb





2

42

4(4246)88008736S，∴此时保有量超过了容纳量.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

2

2:1

4

x

y，

A

为



的上顶点，

P

为



上异于

上、下顶点的动点，

M

为x正半轴上的动点.

（1）若

P

在第一象限，且||2OP，求

P

的坐标；

（2）设

83

(,)

55

P，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若||||MAMP，直线AQ与



交于另一点C，且2AQAC，4PQPM，

求直线

AQ

的方程.

【解析】（1）联立

2

2:1

4

x

y与222xy，可得

236

(,)

33

P

（2）设

(,0)Mm

，2

83833

(,1)(,)0

55555

MAMPmmmmm或

1m

（3）设

00

(,)Pxy，线段

AP

的中垂线与x轴的交点即

0

3

(,0)

8

Mx，∵4PQPM，

∴

00

3

(,3)

2

Qxy

，∵2AQAC，∴0

0

13

3

(,)

42

y

Cx





，代入并联立椭圆方程，

解得

0

85

9

x，

0

1

9

y，∴

41

(5,)

33

Q，∴直线

AQ

的方程为

5

1

10

yx

21.设定义在

R

上的函数()fx满足：对于任意的

1

x、

2

xR，当

12

xx时，都有

12

()()fxfx.

（1）若3()1fxax，求a的取值范围；

（2）若()fx为周期函数，证明：()fx是常值函数；

（3）设()fx恒大于零，()gx是定义在

R

上、恒大于零的周期函数，

M

是()gx的最大值.

函数()()()hxfxgx.证明：“()hx是周期函数”的充要条件是“()fx是常值函数”.

【解析】（1）

0a

；（2）略；（3）略.