初二几何

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初二几何难题训练题

1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，EF分别是OA、OB的中点〔1〕求证△ADE≌△BCF：

〔2〕假设AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。

证明：〔1〕在矩形ABCD中，AC,BD为对角线，

∴AO=OD=OB=OC

∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO

∵E,F为OA,OB中点

∴AE=BF=1/2AO=1/2OB

∵AD=BC,∠DAO=∠CBO,AE=BF

∴△ADE≌△BCF

〔2〕过F作MN⊥DC于M,交AB于N

∵AD=4cm，AB=8cm

∴BD=4根号5

∵BF:BD=NF:MN=1：4

∴NF=1，MF=3

∵EF为△AOB中位线

∴EF=1/2AB=4cm

∵四边形DCFE为等腰梯形

∴MC=2cm

∴FC=根号13cm。

2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，

过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．

〔1〕求证：四边形ABFE是等腰梯形；

〔2〕求AE的长．

〔1〕证明：过点D作DM⊥AB，

∵DC∥AB，∠CBA=90°，

∴四边形BCDM为矩形．

∴DC=MB．

∵AB=2DC，

∴AM=MB=DC．

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∵DM⊥AB，

∴AD=BD．

∴∠DAB=∠DBA．

∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，

∴四边形ABFE是等腰梯形．

〔2〕解：∵DC∥AB，

∴△DCF∽△BAF．

∴CDAB=CFAF=12．

∵CF=4cm，

∴AF=8cm．

∵AC⊥BD，∠ABC=90°，

在△ABF与△BCF中，

∵∠ABC=∠BFC=90°，

∴∠FAB+∠ABF=90°，

∵∠FBC+∠ABF=90°，

∴∠FAB=∠FBC，

∴△ABF∽△BCF，即BFCF=AFBF，

∴BF2=CF•AF．

∴BF=42cm．

∴AE=BF=42cm．

3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF

分别交于P、Q，

〔1〕假设AB=6，求线段BP的长；

〔2〕观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论

解：〔1〕∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形

∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE

∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED

∴△ABP∽△ADE

∴BPDE=ABAD∴BP=ABAD•DE=618×6=2；

〔2〕

∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形

∴AB=BC=EF=FG

∴AB+BC=EF+FG

∴AC=EG

∵AD∥HE

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∴∠1=∠2

∵BG∥CF

∴∠3=∠4

∴△EGP≌△ACQ．

4，点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC

所在的直线于点H，G

1如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论

2如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？

3如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关

系是什么？

4请你就1，2，3的结论，选择一种情况给予证明

解：〔1〕∵FH∥EG∥AC，∴∠BFH=∠BEG=∠A，

△BFH∽△BEG∽△BAC．∴BF/FH=BE/EG=BA/AC∴BF+BE/FH+EG=BA/AC又∵BF=EA，

∴EA+BE/FH+EG=AB/AC∴AB/FH+EG=AB/AC．∴AC=FH+EG．〔2〕线段EG、FH、AC

的长度的关系为：EG+FH=AC．证明〔2〕：过点E作EP∥BC交AC于P，∵EG∥AC，

∴四边形EPCG为平行四边形．∴EG=PC．∵HF∥EG∥AC，∴∠F=∠A，

∠FBH=∠ABC=∠AEP．又∵AE=BF，

∴△BHF≌△EPA．∴HF=AP．∴AC=PC+AP=EG+HF．即EG+FH=AC．

5，如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，

DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距

离．

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解：连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，

因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，

∴OE⊥AB，AE=BE，

∴Rt△OCD∽Rt△OAE，

∴OC:OA=CD:AE

∵OC²=OD²+CD²∴OC=26，∴AE==15，∵AB=2AE∴AB=30〔mm〕．〔8分〕

答：AB两点间的距离为30mm．

6，如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且

∠BFE=∠C，〔1〕求证：△ABF∽△EAD；〔2〕假设AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长

解：

〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC

∴∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°

且∠BFE+∠AFB=180°

又∵∠BFE=∠C

∴∠D=∠AFB

∵∠BAE=∠AED，∠D=∠AFB

∴△ABF∽△EAD

〔2〕∵∠BAE=30°，且AB∥CD，BE⊥CD

∴△ABEA为Rt△，且∠BAE=30°

又∵AB=4

∴AE=3分之8倍根号3

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7，如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，假设

CF=15cm，求GF之长。

解∵CE=DEBE=AE，

∴△ACE≌△BDE

∴∠ACE=∠BDE

∵∠BDE+∠FDE=180°

∴∠FDE+∠ACE=180°

∴AC∥FB

∴△AGC∽△BGF

∵D是FB中点DB=AC

∴AC：FB=1：2

∴CG：GF=1：2；

设GF为x那么CG为15-X

GF=CF/3C×2=10cm

8，如图1，四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F

作FH∥CD交BC于H，可以证明结论FH/AB=FG/BG成立．〔考生不必证明〕

〔1〕探究：如图2，上述条件中，假设G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否

成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由；

〔2〕计算：假设菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC

所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．

〔3〕发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论FH/AB=FG/BG还成立吗？

解：〔1〕结论FHAB=FGBG成立

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证明：由易得FH∥AB，

∴FH/AB=HC/BC，

∵FH∥GC，HCBC=FGBG∴FH/AB=FG/BG．

〔2〕∵G在直线CD上，

∴分两种情况讨论如下：

①G在CD的延长线上时，DG=10，

如图1，过B作BQ⊥CD于Q，

由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，

．

又由FH∥GC，可得FH/GC=BH/BC，

而△CFH是等边三角形，

∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，

∴FH16=6-FH6，

∴FH=4811，

由〔1〕知FH/AB=FG/BG，

②G在DC的延长线上时，CG=16，

如图2，过B作BQ⊥CG于Q，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．

．

又由FH∥CG，可得FH/GC=BH/BC，

∴FH16=BH6．

∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，

9，如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A

→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、

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Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停顿．设运动时间为t

秒，△PQB的面积为ycm2．

〔1〕求AD的长及t的取值X围；

〔2〕当1.5≤t≤t0〔t0为〔1〕中t的最大值〕时，求y关于t的函数关系式；

〔3〕请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．