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一类拓广的Besicovitch集及其维数

本文主要研究一类拓广的Besicovitch集合及其Hausdorff维数,这类集合

是与区间[0,1]的中实数x的c-进制(c大于或等于2的整数)展开式中对应于自

然数集的一个划分的位置上各数字出现的频率有关的分形集。很多分形都可

以用数论的术语来定义,例如三分Cantor集是由[0,1]区间中,在以3为底的展开

式中,只包含数字0和数字2的数构成的。

我们考察与数的展开式相关的分形集。长期以来,对于这一类集合的研究一

直是分形几何领域的一个重要的研究方向。

对于一个实数x∈[0,1)的二进制展式,一个经典的结果是Borel发表于1909

年的的正规数的定理,即它的展开式中所有的数字出现的频率是相等的。随后即

开始了对那些数字出现的频率不相等的数x的集合即非正规数集合的研究,尽管

这样的集合的Lebesgue测度为零,但是它们的Hausdorff维数却可能是非零的。

早在1934年,Bescovitch研究了2-进制展开情形下这样的集合,他得到了比

较好的结果。1949年,Eggleston把这一结果推广到了更一般的c-进制展式情形。

对于Besicovitch-Eggleston集的研究一直是分形几何领域中的一个热点,

并且在不同的方面取得了很多成果。如最近几年的就有Oln研究了一种被称为

r近似的离散的Besicovitch-Eggleston集的维数,他的结果提供了Besicovitch

和Eggleston关于非正规数集合的Hausdorff维数的经典结果的一个离散的模拟。

另外Bisbas、Barreira等人研究了一大类定义在实线上的集合的Hausdorff

维数,这类集合是由在某些整数基底的展开式中数字的频率的分布而给出的,他

们的结果证实并且从几个方面扩展了Borel,Besicovitch,Eggleston和

Billingsley的经典的工作,而他们所采用的就是最近的有关动力系统的重分形

分析的方法,并且得到的是Hausdorff维数的显式表达式。