拟真台球

台球运动中的力学问题

台球运动中的力学问题---TOP147网友爱球人关于台球力学的认识

台球运动在国外已有200多年的历史，清代末期传到中国，到现在这种运动

已经在我国城乡广为普及。我本人就是一个台球迷，自从六岁接触台球以来，对

他的兴趣始终是有增无减。随着年龄，技术的增长，逐渐发现在台球运动中涉及

到很多物理方面的知识。下面就把我个人的一点心得写下来作为一个物理小论

文。

对于两个球的碰撞问题，在这里我只定量讨论理想状态下的两球碰撞问题。

平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一

球速度为v.当它们两个做非弹性碰撞时，碰撞后两球速度总互相垂直母球的质

量=子球的质量，将两球视为刚体。忽略如下图所示：

设碰撞后两球的速度为v1,v2.质心运动速度不变

有动量守恒mv=mv1+mv2v=v1+v2

两边平方

由机械能守恒（势能无变化）

质心运动速度不变

v1=0或v2=0eà"v1=0对心碰撞

v1*v2=0{

v1┷v2非对心碰撞两球速度总互相垂直。

对于完全弹性碰撞则很容易判断两球的运动轨迹，0度或者180度。

球速的传送公式，是指母球在撞击子球时，两球接触的瞬间，母球的动量会

一分为二，一部分将分配给变慢的母球，另一部分会传送给子球。我们可以观察

到的：两球速度的改变，此速度与滚动的距离成正比。球速传送公式是推导出来

的。我认为，球的力量传递必定存在着公式的关系，若此公式为一简单的数学关

系，对于出杆力道控制的知识推断，必定会有很大的帮助。以下所推导的公式为

平面碰撞，只单纯计算母球的动量传递。不考虑声波消耗的能量、球台布摩擦力

消耗的能量与球旋转的转矩等....。移动中的母球撞击静止的子球（动量为零），

撞击前母球的动量P，在撞击子球后，会将一部分动量传给子球P2，而母球保有

部分动量P1。按照力与向量的计算，合力=两分力，P=P1+P2，且两分力

垂直。按照动量的公式P=mv条件：母球的质量=子球的质量，将两球视为

刚体。公式如下：（求V1、V2）

得

V1=V*Sinθ

V2=V*Cosθ

以上公式难以阅读，我用文字说明。

公式一：母球末速等于母球初速乘以Sinθ公式二：子球速度等于母球初速

乘以Cosθ说明：只要将Sinθ及Cosθ制成表，即可用查表法，算出母球子

球的速度分配，此速度分配随θ（夹角）改变。换言之，我们可以控制撞击的

角度，使母球和子球在撞击后，得到预期的速度分配，进而控制母球和子球的滚

动距离。另外，亦可将切球公式（切球公式：指击球厚薄与角度的关系。董增华，

民国91.9。）与本公式结合，导出击球厚薄与速度分配的关系。

切球的公式。瞄球是一个很复杂的动作，有的人用单眼瞄球，大部分的人用

双眼瞄球。瞄准的方法也有很多种，有人瞄切点，有人瞄假想母球，有人打久了

凭感觉，也有人瞄球是用切的，看是切整颗球（直径）的几分之几。这一篇是我

导出的角度与几分之几的切球公式。曾经在网络上看到许多人讨论，切半颗球的

夹角是几度？结果众说纷纭。当母球撞击到子球时，母球与子球的接触点很小，

我们称它为「切点」。子球前进的方向，在不考虑抛（throw）力的情况下，子

球被撞击后的前进方向为「母球中心点－切点－子球中心点→」的方向，在打落

袋式撞球时，此方向就是子球进袋的方向，这就是一般将球打进的原理。母球子

球接触的瞬间如下图所示，切球的厚薄为X，球的半径为r，瞄准方向（母球未

接触子球前的行进方向）与子球行进方向的夹角为θ。由计算与三角函数得之，

X=2r（1-Sinθ）。图解计算见下图。

由此导出的公式发现，「切球的宽度」与「瞄准方向与子球行径方向的夹角」

有固定数学式的关系，表一将三角函数表的Sinθ列出，第二列列出1-Sinθ。

将等式X=2r（1-Sinθ）改一下，

因为2r是直径，1-Sinθ就等于「切球的宽度」除以球直径，也就是切球

的比例。以上数学式看不懂没关系，结果说明如后，我们可以从表一中1-Sinθ

的字段看出，打直球时（０°）切球的宽度为整颗球，接近90°的球，切球的

宽度接近最小，打30°的球时，切球的宽度为0.5000刚好是切半颗球。由此表

可以得到角度与切球比例的关系。

注意切1整颗球到切0.9颗球的范围，大约在0°~6°之间；切0.1颗球到

切0颗球（最薄的球）的范围，大约在64°~90°之间。可见切愈薄的球，差一

点就差很多了，也就是愈薄的球愈难打，如果是要打下左右塞的球，又超过60°，

因为下左右塞球要修正，将很难打进。所以我们应该尽量将作球的角度控制在

60°以内。

球台上的力学分析。如果有机会得到电玩超拟真撞球的公式（指内部程序），

我想我不会写这个，公布他的就好了。如果超拟真的程序员有看到这篇文章，有

良心的话，就把你的大作公布给大众吧！或者有人知道真相？走火入魔的时后，

会有一些机车的想法，最麻烦的是自己想不通的问题。这个问题就是走火入魔的

时后，才会去想的。先入主题吧！我把球桌面的问题，土法炼钢的用我所知道的

物理观念公式化，就好像打RPG-GAME时，为什么打史莱姆一枪，失血15

Points，因为Game中有公式（快把超拟真撞球的公式交出来吧！）。

球台上的力学分析：

1.手与球杆的关系

a.主要为小臂与手腕施力于球杆。

b.肘为支点。

c.力矩T=力F（球杆的重量）*力臂r（肘至球杆的垂直距离）

T=F*r

2.球杆与球的关系

a.前截对母球的偏斜。（下左塞、同一打点、施以不同力道的偏斜与转向图）

b.母球冲击的反作用力使前截发生形变（反作用力的自动修正）。

c.球杆给球的直线冲量。

球杆、母球分离时的直线冲量P

球杆、母球分离时的母球球速V

母球的质量m

公式：P=m*V

d.球杆给球的转动角冲量。

（塞球的理想撞击点是存在的。杆头并非固定不动。）

T*（t）=ΔL=球杆拨动母球的时间t*球杆送给母球的转矩T

e.皮头的摩擦系数tμ。摩擦力tμ与角冲量T(t)成正比。

T=F*tμ，T(t)=F*t*tμ（F：施力）

L=I*ω（角动量=转动惯量*角速度）

T(t)=ΔL=Iω2-Iω1=F*t*tμ（角冲量=角动量变化量）

3.球与台面的关系

a.重力（g）。球的质量（m）*重力加速度（g）

b.摩擦力。摩擦力所作的功与摩擦系数成正比。摩擦力所作的功=摩擦

力*移动的距离（通常是在自然向前滚动的情况下成立）c.球向台面的

垂直加速度=反作用力（跳球时，跳跃高度H=1/2g*t*t）（t为飞

行时间）

出杆速度愈快、力量愈大、垂直角度愈高，跳球跳愈高。

4.球与球的关系

a.平面弹性碰撞。

母球原行进方向A

母球、子球撞击瞬间之母球球心位置O

子球受撞击后之走向B

母球碰撞子球后之走向C

母球撞击子球前之力F

子球接收母球之力OF

母球撞击子球后剩余之力CF

∠AOB=θ

公式：OF=F*cosθ

CF=F*sinθ（当夹角θ为0度时《直球》，母球的力完全传递给

子球；当夹角θ为90度时，母球等于没碰到子球。）

b.球与球之间的throw（抛）。

红色的↗c为目标球接收到的throw。

此throw受oμ的影响，愈脏的球oμ愈大。

c.转矩的传递（子球塞球）。

母球角动量L

母球与子球接触时间t

母球与子球的摩擦系数oμ

子球受到的角冲量（转矩）T(t)=ΔL=Iω2-Iω1=F*t*oμ

∵t太小了，球速相对又太快。

∴子球的旋转肉眼看不出来。

球速愈快、转速愈快、撞击夹角愈小，传递的转矩愈大，阈值受限于t*oμ。

子球接收的角冲量在碰触颗星时会有明显的影响。

5.球与颗星的关系

a.入射角A=反射角B。

b.颗星的摩擦力。

球与颗星的摩擦系数cμ

旋转的转矩T(t)=ΔL=Iω2-Iω1=F*t*cμ（球入颗星的角度

愈接近垂直，摩擦力愈大）

c.陷入颗星时的弹力位能。（虎克定律）

弹力位能F

常数K（颗星的弹性）

陷入颗星的深度X

F=KX

d.球陷入颗星条（Cushion）内力量的损耗。

6.球与空气的关系

a.麦克纳斯力（Magnusforce）对水平前进旋转球的侧偏斜。（流体力学对

左塞或右塞的影响，可能微乎其微。）

后语：一个球的行为几乎会动用到好几种力学，只是影响力大小不同，有时几乎

可以忽略，有时却很重要。我们平常看到的是这些力彼此交互作用的结果。写完

觉得还不够，希望下次有力时可以补充。特别感谢看完的人。如有误，欢迎指正