线性代数试卷

-

.z.

×××大学线性代数期末考试题

一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。每题2分，共10分〕

1.假设0

221

50

131







x，则__________。

2．假设齐次线性方程组

















0

0

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx





只有零解，则应满足。

3．矩阵

nsij

cCBA



)(，，，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。

4．矩阵























3231

2221

1211

aa

aa

aa

A的行向量组线性。

5．

n

阶方阵A满足032EAA，则1A。

二、判断正误〔正确的在括号填“√〞，错误的在括号填“×〞。每题2分，共10分〕

1.假设行列式D中每个元素都大于零，则0D。〔〕

2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。〔〕

3.向量组

m

aaa，，，

21

中，如果

1

a与

m

a对应的分量成比例，则向量组

s

aaa，，，

21

线性相关。

〔〕

4.



























0100

1000

0001

0010

A，则AA1。〔〕

5.假设为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。()

三、单项选择题(每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每题2分，共10分)

1.设A为

n

阶矩阵，且2A，则TAA〔〕。

①n2②12n③12n④4

2.

n

维向量组

s

，，，

21

〔3£s£n〕线性无关的充要条件是〔〕。

①

s

，，，

21

中任意两个向量都线性无关

②

s

，，，

21

中存在一个向量不能用其余向量线性表示

-

.z.

③

s

，，，

21

中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④

s

，，，

21

中不含零向量

3.以下命题中正确的选项是()。

①任意

n

个1n维向量线性相关

②任意

n

个1n维向量线性无关

③任意1n个

n

维向量线性相关

④任意1n个

n

维向量线性无关

4.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的选项是()。

①假设A，B均可逆，则BA可逆②假设A，B均可逆，则AB可逆

③假设BA可逆，则BA可逆④假设BA可逆，则A，B均可逆

5.假设

4321

，，，是线性方程组0A的根底解系，则

4321

是0A的〔〕

①解向量②根底解系③通解④A的行向量

四、计算题(每题9分，共63分)

1.计算行列式

xabcd

axbcd

abxcd

abcxd









。

解·

2.设BAAB2，且A,

410

011

103





















求B。

解.ABEA)2(





























111

122

112

)2(1EA，





























322

234

225

)2(1AEAB

3.设,

1000

1100

0110

0011































B



























2000

1200

3120

4312

C且矩阵满足关系式'(),XCBE求。

4.问

a

取何值时，以下向量组线性相关.

123

1

1

2

2

11

,,

22

1

1

2

2

a

a

a





























































。

-

.z.

5.为何值时，线性方程组

















2

2

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx







有唯一解，无解和有无穷多解.当方程组有无穷多解

时求其通解。

①当1且2时，方程组有唯一解；

②当2时方程组无解

③当1时，有无穷多组解，通解为









































































1

0

1

0

1

1

0

0

2

21

cc

6.设.

7

7

10

3

,

1

3

0

1

,

3

1

9

2

,

0

1

4

1

4321



































































































































求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向

量用该极大无关组线性表示。

7.设

100

010

021

A













，求A的特征值及对应的特征向量。

五、证明题(7分)

假设A是

n

阶方阵，且，IAA，1A证明0IA。其中I为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1.52.1，4.相关

3

二、判断正误

1.×2.√3.√4.√5.×

三、单项选择题

1.③2.③3.③4.②5.①

四、计算题

1.

2.

ABEA)2(





























111

122

112

)2(1EA，





























322

234

225

)2(1AEAB

3.

4.

-

.z.

)22()12(

8

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

321









aa

a

a

a

aaa，，当

2

1

a或1a时，向量组

321

aaa，，线性相

关。

5.

①当1且2时，方程组有唯一解；

②当2时方程组无解

③当1时，有无穷多组解，通解为









































































1

0

1

0

1

1

0

0

2

21

cc

6.

则3

4321

aaaar，，，，其中

321

aaa，，构成极大无关组，

3214

22aaaa

7.

特征值1

321

，对于λ1＝1，

























020

000

000

1

AE，特征向量为











































1

0

0

0

0

1

lk

五、证明题

∴02AI，∵0AI

一、选择题〔此题共4小题，每题4分，总分值16分。每题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求〕

1、设A，B为n阶方阵，满足等式0AB，则必有〔〕

(A)0A或0B;(B)0BA；〔C〕0A或0B;(D)0BA。

2、A和B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有〔〕

(A)AE；(B)BE；〔C〕AB.(D)ABBA。

3、设A为nm矩阵，齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是〔〕

(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；

〔C〕A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.

-

.z.

4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是〔〕

(A)A的秩小于n；(B)0A；

(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；

二、填空题〔此题共4小题，每题4分，总分值16分〕

5、假设4阶矩阵A的行列式5A，

A是A的伴随矩阵，则A

=。

6、A为nn阶矩阵，且220AAE

，则1(2)AE。

7、方程组



































































4

3

1

21

232

121

3

2

1

x

x

x

a

a

无解，则a。

8、二次型222

1231231213

(,,)2322fxxxxxtxxxxx是正定的，则t的取值围是。

三、计算题〔此题共2小题，每题8分，总分值16分〕

9、计算行列式

1111

1111

1111

1111

x

x

D

y

y











10、计算n阶行列式

四、证明题〔此题共2小题，每题8分，总分值16分。写出证明过程〕

11、假设向量组

123

,,

线性相关，向量组

234

,,

线性无关。证明：

(1)

1



能有

23

,

线性表出；

(2)

4



不能由

123

,,

线性表出。

12、设A是

n

阶矩方阵，

E

是

n

阶单位矩阵，EA可逆，且1()()()fAEAEA。

证明

〔1〕

(())()2EfAEAE

；

〔2〕(())ffAA。

-

.z.

五、解答题〔此题共3小题，每题12分，总分值32分。解容许写出文字说明或演算步骤〕

13、设

200

032

023

A













，求一个正交矩阵P使得1PAP为对角矩阵。

14、方程组

















04

02

0

3

2

21

321

321

xaxx

axxx

xxx

与方程组12

321

axxx 有公共解。

求a的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，

1

，

2

，

3



是它的三个解向量，且































5

4

3

2

1



，































4

3

2

1

32



求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C；2、D；3、A；4、A。

二、填空题

5、-125;6、

2



；7、-1；8、

5

3

t。

三、计算题

9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

第二列减第一列，第四列减第三列得：

000

110

000

101

x

x

D

y

y







〔4分〕

按第一行展开得

-

.z.

按第三列展开得

22

0

1

x

Dxyxy

y





。〔4分〕

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子

















n

i

i

x

1

3

，再通过行列式的变换化

为上三角形行列式

2

2

1

2

1

13

3

13

n

n

n

ni

i

n

xx

xx

Dx

xx















〔4分〕

1

1

33

n

n

i

i

x











〔4分〕

四、证明题

11、证明：

(1)、因为

332

,，线性无关，所以

32

，线性无关。，

又

321

，，线性相关，故

1

能由

32

，线性表出。(4分)

123

()3r，，，

〔2〕、〔反正法〕假设不，则

4

能由

321

,，线性表出，

不妨设

3322114

kkk。

由〔1〕知，

1

能由

32

，线性表出，

不妨设

32211

tt。

所以

3322322114

)(kkttk，

这说明

432

,，线性相关，矛盾。

12、证明

〔1〕1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA

-

.z.

1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE〔4分〕

〔2〕1(())[()][()]ffAEfAEfA

由〔1〕得：1

1

[()]()

2

EfAEA

，代入上式得

11

()()

22

EAEAA

〔4分〕

五、解答题

13、解：

〔1〕由0EA得A的特征值为

1

1，

2

2，

3

5。〔4分〕

〔2〕

1

1的特征向量为

1

0

1

1















，

2

2的特征向量为

2

1

0

0















，

3

5的特征向量为

3

0

1

1















。〔3分〕

〔3〕因为特征值不相等，则

123

,,

正交。〔2分〕

〔4〕将

123

,,

单位化得

1

0

1

1

2

1

p













，

2

1

0

0

p













，

3

0

1

1

2

1

p













〔2分〕

〔5〕取

123

010

11

,,0

22

11

0

22

Pppp





















〔6〕1

100

020

005

PAP













〔1分〕

-

.z.

14、解：该非齐次线性方程组

bAx

对应的齐次方程组为

因

3)(AR

，则齐次线性方程组的根底解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的

根底解系。〔5分〕

另一方面，记向量)(2

321

，则

直接计算得0)6,5,4,3(T

，就是它的一个根底解系。根据非齐次线性方程组解的构造

知，原方程组的通解为





























































5

4

3

2

6

5

4

3

1

kkx

，

Rk

。〔7分〕

15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:

假设此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵A作初等行变换得:



































1121

041

021

0111

2

a

a

a

A



































1100

0)1)(2(00

0110

0111

aa

aa

a

.〔4分〕

1°当1a时，有()()23rArA，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即

为③的通解，此时































0000

0000

0010

0101

A

，

则方程组③为齐次线性方程组，其根底解系为:























1

0

1

,

-

.z.

所以①与②的全部公共解为























1

0

1

k

，k为任意常数.〔4分〕

2°当2a时，有()()3rArA，方程组③有唯一解,此时

































0000

1100

1010

0001

A

，

故方程组③的解为:

0

1

1













,即①与②有唯一公共解

0

1

1

x















.〔4分〕

线性代数习题和答案

第一局部选择题(共28分)

一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出的四个选项中只有一个是符合题

目要求的，请将其代码填在题后的括号。错选或未选均无分。

1.设行列式

aa

aa

1112

2122

=m，

aa

aa

1311

2321

=n，则行列式

aaa

aaa

111213

212223





等于〔〕

A.m+nB.-(m+n)

C.n-mD.m-n

2.设矩阵A=

100

020

003





















，则A-1等于〔〕

A.

1

3

00

0

1

2

0

001

































B.

100

0

1

2

0

00

1

3

































C.

1

3

00

010

00

1

2





























D.

1

2

00

0

1

3

0

001

































3.设矩阵A=

312

101

214



























，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于〔1，2〕的元素是〔〕

A.–6B.6

-

.z.

C.2D.–2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有〔〕

A.A=0B.BC时A=0

C.A0时B=CD.|A|0时B=C

5.3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩〔AT〕等于〔〕

A.1B.2

C.3D.4

6.设两个向量组α

1

，α

2

，…，α

s

和β

1

，β

2

，…，β

s

均线性相关，则〔〕

A.有不全为0的数λ

1

，λ

2

，…，λ

s

使λ

1

α

1

+λ

2

α

2

+…+λ

s

α

s

=0和λ

1

β

1

+λ

2

β

2

+…λ

s

β

s

=0

B.有不全为0的数λ

1

，λ

2

，…，λ

s

使λ

1

〔α

1

+β

1

〕+λ

2

〔α

2

+β

2

〕+…+λ

s

〔α

s

+β

s

〕=0

C.有不全为0的数λ

1

，λ

2

，…，λ

s

使λ

1

〔α

1

-β

1

〕+λ

2

〔α

2

-β

2

〕+…+λ

s

〔α

s

-β

s

〕=0

D.有不全为0的数λ

1

，λ

2

，…，λ

s

和不全为0的数μ

1

，μ

2

，…，μ

s

使λ

1

α

1

+λ

2

α

2

+…+λ

s

α

s

=0和μ

1

β

1

+μ

2

β

2

+…+

μ

s

β

s

=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中〔〕

A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0

8.设A*=b是一非齐次线性方程组，η

1

，η

2

是其任意2个解，则以下结论错误的选项是〔〕

A.η

1

+η

2

是A*=0的一个解B.

1

2

η

1

+

1

2

η

2

是A*=b的一个解

C.η

1

-η

2

是A*=0的一个解D.2η

1

-η

2

是A*=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有〔〕

A.秩(A)

C.A=0D.方程组A*=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确的选项是〔〕

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ

1

，λ

2

，λ

3

是A的3个互不一样的特征值，α

1

，α

2

，α

3

依次是A的属于λ

1

，λ

2

，λ

3

的特征向量，则α

1

，

α

2

，α

3

有可能线性相关

11.设λ

0

是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ

0

的线性无关的特征向量的个数为k，则必有〔〕

A.k≤3B.k<3

C.k=3D.k>3

12.设A是正交矩阵，则以下结论错误的选项是〔〕

A.|A|2必为1B.|A|必为1

C.A-1=ATD.A的行〔列〕向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则〔〕

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有一样的特征值

D.A与B合同

14.以下矩阵中是正定矩阵的为〔〕

A.

23

34













B.

34

26













-

.z.

C.

100

023

035

























D.

111

120

102





















第二局部非选择题〔共72分〕

二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格。

错填或不填均无分。

15.

111

356

92536

.

16.设A=

1

1

1

1

1

1

















，B=

1

1

2

2

3

4













.则A+2B=.

17.设A=(a

ij

)

3×3

，|A|=2，A

ij

表示|A|中元素a

ij

的代数余子式〔i,j=1,2,3〕,则

(a

11

A

21

+a

12

A

22

+a

13

A

23

)2+(a

21

A

21

+a

22

A

22

+a

23

A

23

)2+(a

31

A

21

+a

32

A

22

+a

33

A

23

)2=.

18.设向量〔2，-3，5〕与向量〔-4，6，a〕线性相关，则a=.

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，假设η

1

，η

2

为非齐次线性方程组A*=b的2个不同的解，则它的通解为.

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的积〔α+β，α-β〕=.

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.

23.设矩阵A=

0106

133

2108

























，α=

2

1

2























是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.

24.设实二次型f(*

1

,*

2

,*

3

,*

4

,*

5

)的秩为4，正惯性指数为3，则其规形为.

三、计算题〔本大题共7小题，每题6分，共42分〕

25.设A=

120

340

121





















，B=

2

2

3

4

1

0















.求〔1〕ABT；〔2〕|4A|.

26.试计算行列式

3112

5134

2011

1533









.

27.设矩阵A=

423

110

123





















，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组α

1

=



























2

1

0

3

，α

2

=

1

3

2

4



























，α

3

=

3

0

2

1

























，α

4

=

0

1

4

9



























.

试判断α

4

是否为α

1

，α

2

，α

3

的线性组合；假设是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=

12102

24266

21023

33334































.

-

.z.

求：〔1〕秩〔A〕；

〔2〕A的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=

022

234

243



























的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化以下二次型为标准形

f(*

1

,*

2

,*

3

)=xxxxxxxxx

1

2

2

2

3

2

121323

23444，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题〔本大题共2小题，每题5分，共10分〕

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.

33.设η

0

是非齐次线性方程组A*=b的一个特解，ξ

1

，ξ

2

是其导出组A*=0的一个根底解系.试证明

〔1〕η

1

=η

0

+ξ

1

，η

2

=η

0

+ξ

2

均是A*=b的解；

〔2〕η

0

，η

1

，η

2

线性无关。

答案：

一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.D14.C

二、填空题〔本大题共10空，每空2分，共20分〕

15.616.

337

137













17.418.–1019.η

1

+c(η

2

-η

1

)〔或η

2

+c(η

2

-η

1

)〕，c为任意常数

20.n-r21.–522.–

1

2

2

2

3

2

4

2



三、计算题〔本大题共7小题，每题6分，共42分〕

25.解〔1〕ABT=

120

340

121

22

34

10













































=

86

1810

310





















.

〔2〕|4A|=43|A|=64|A|，而

|A|=

120

340

121

2



.所以|4A|=64·〔-2〕=-128

26.解

3112

5134

2011

1533

5111

11131

0010

5530

















=

511

1111

550





=

511

620

550

62

55

301040









.

27.解AB=A+2B即〔A-2E〕B=A，而

〔A-2E〕-1=

223

110

121

143

153

164

1























































.

-

.z.

所以B=(A-2E)-1A=

143

153

164

423

110

123

















































=

386

296

2129



























.

28.解一































































2130

1301

0224

3419

0532

1301

0112

013112























































1035

0112

0088

001414

1035

0112

0011

0000



























1002

0101

0011

0000

,所以α

4

=2α

1

+α

2

+α

3

，组合系数为〔2，1，1〕.

解二考虑α

4

=*

1

α

1

+*

2

α

2

+*

3

α

3

，

即























230

31

224

349

123

12

23

123

xxx

xx

xx

xxx.

方程组有唯一解〔2，1，1〕T，组合系数为〔2，1，1〕.

29.解对矩阵A施行初等行变换

A

































12102

00062

03282

09632



































































12102

03283

00062

000217

12102

03283

00031

00000

=B.

〔1〕秩〔B〕=3，所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.

〔2〕由于A与B的列向量组有一样的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向

量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

〔A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是〕

30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ

1

=〔2，-1，0〕T，ξ

2

=〔2，0，1〕T.经正交标准化，得η

1

=

255

55

0

/

/





















，η

2

=

2515

4515

53

/

/

/





















.

λ=-8的一个特征向量为ξ

3

=

1

2

2





















，经单位化得η

3

=

13

23

23

/

/

/

.























所求正交矩阵为T=

2552151513

55451523

05323

///

///

//

























.对角矩阵D=

100

010

008





















.

〔也可取T=

2552151513

05323

55451523

///

//

///

























.〕

31.解f(*

1

，*

2

，*

3

)=〔*

1

+2*

2

-2*

3

〕2-2*

2

2+4*

2

*

3

-7*

3

2=〔*

1

+2*

2

-2*

3

〕2-2〔*

2

-*

3

〕2-5*

3

2.

-

.z.

设

yxxx

yxx

yx

1123

223

33

22



















，即

xyy

xyy

xy

112

223

33

2















，因其系数矩阵C=

120

011

001























可逆，故此线性变

换满秩。

经此变换即得f(*

1

，*

2

，*

3

)的标准形y

1

2-2y

2

2-5y

3

2.

四、证明题〔本大题共2小题，每题5分，共10分〕

32.证由于〔E-A〕〔E+A+A2〕=E-A3=E，

所以E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.

33.证由假设Aη

0

=b，Aξ

1

=0，Aξ

2

=0.

〔1〕Aη

1

=A〔η

0

+ξ

1

〕=Aη

0

+Aξ

1

=b，同理Aη

2

=b，所以η

1

，η

2

是A*=b的2个解。

〔2〕考虑l

0

η

0

+l

1

η

1

+l

2

η

2

=0，即〔l

0

+l

1

+l

2

〕η

0

+l

1

ξ

1

+l

2

ξ

2

=0.

则l

0

+l

1

+l

2

=0，否则η

0

将是A*=0的解，矛盾。所以

l

1

ξ

1

+l

2

ξ

2

=0.又由假设，ξ

1

，ξ

2

线性无关，所以l

1

=0，l

2

=0，从而l

0

=0.

所以η

0

，η

1

，η

2

线性无关。