integrate

75

项目三多元函数微积分

实验1多元函数微积分（基础实验）

实验目的掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,掌握计算二元

函数极值和条件极值的方法.通过作图和观察,理解二元函数的性质.掌握利用Mathematica

计算二重积分方法;提高应用重积分解决实际问题的能力.

基本命令

1.求偏导数的命令D

命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.例如:

求),,(zyxf对x的偏导数,则输入D[f[x,y,z],x]

求),,(zyxf对y的偏导数,则输入D[f[x,y,z],y]

求),,(zyxf对x的二阶偏导数,则输入D[f[x,y,z],{x,2}]

求),,(zyxf对yx,的混合偏导数,则输入D[f[x,y,z],x,y]

…………

2.求全微分的命令Dt

该命令只用于求二元函数),(yxf的全微分时,其基本格式为

Dt[f[x,y]]

其输出的表达式中含有Dt[x],Dt[y],它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数),(yxf的表

达式中还含有其它用字符表示的常数,例如a,则Dt[f[x,y]]的输出中还会有Dt[a],若采用选

项Constants->{a},就可以得到正确结果,即只要输入

Dt[f[x,y],Constants->{a}]

3.计算重积分的命令lntegrate和NIntegrate

例如,计算dydxxy

x1

00

2,输入

Integrate[x*y^2,{x,0,1},{y,0,x}]

则输出

15

1

又如,计算dydxxy)sin(

1

0

1

0

2的近似值,输入

NIntegrate[Sin[x*y^2],{x,0,1},{y,0,1}]

则输出0.160839

注:Integrate命令先对后边的变量积分.

利用Mathematica计算重积分,关键是确定各个积分变量的积分限.

实验举例

求多元函数的偏导数与全微分

例1.1(教材例1.1)设),(cos)sin(2xyxyz求

.,,,

2

2

2

yx

z

x

z

y

z

x

z

















输入

76

Clear[z];

z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2;

D[z,x]

D[z,y]

D[z,{x,2}]

D[z,x,y]

则输出所求结果:

yCosxy2yCosxySinxy

xCosxy2xCosxySinxy

2y

2

Cosxy

2

y

2

Sinxy2y

2

Sinxy

2

Cosxy2xyCosxy

2

xySinxy

2CosxySinxy2xySinxy

2

例1.2设

,)1(yxyz

求

y

z

x

z









,和全微分dz.

输入

Clear[z];z=(1+x*y)^y;

D[z,x]

D[z,y]

则有输出

























]1[

1

)1(

)1(12

xyLog

xy

xy

xy

xyy

y

y

再输入

Dt[z]

则得到输出























]1[][

1

])[][(

)1(xyLogyDt

xy

yxDtxyDty

xyy

例1.3(教材例1.2)设,)(yxyaz其中a是常数,求dz.

输入

Clear[z,a];z=(a+x*y)^y;

wf=Dt[z,Constants->{a}]//Simplify

则输出结果:

(a+xy)-1+y(y2Dt[x,Constants->{a}]+

Dt[y,Constants->{a}](xy+(a+xy)Log[a+xy]))

其中Dt[x,Constants->{a}]就是dx,Dt[y,Constants->{a}]就是dy.可以用代换命令“/.”把它们

换掉.输入

wf/.{Dt[x,Constants->{a}]->dx,Dt[y,Constants->{a}]->dy}

输出为

(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Log[a+xy]))

例1.4(教材例1.3)设vueyvuexuucos,sin,求

.,,,

y

v

x

v

y

u

x

u

















输入

eq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}]

(*第一个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)

77

eq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}]

(*第二个方程两边对x求导数,把u,v看成x,y的函数*)

Solve[{eq1,eq2},{D[u,x,NonConstants->{u,v}],

D[v,x,NonConstants->{u,v}]}]//Simplify

(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)

则输出

}}

]v[SinE]v[CosE1(u

]v[CosE

}]v,u{tstanNonCons,x,v[D

,

]v[SinE]v[CosE1

]v[Sin

}]v,u{tstanNonCons,x,u[D{{

uu

u

uu











其中D[u,x,NonConstants->{u,v}]表示u对x的偏导数,而D[v,x,NonCosnstants->{u,v}]表示v

对x的偏导数.类似地可求得u,v对y的偏导数.

多元函数的极值

例1.5(教材例1.4)求xyxyxyxf933),(2233的极值.

输入

Clear[f];

f[x_,y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x;

fx=D[f[x,y],x]

fy=D[f[x,y],y]

critpts=Solve[{fx==0,fy==0}]

则分别输出所求偏导数和驻点:

2

2

36

369

yy

xx





{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}

再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令

fxx=D[f[x,y],{x,2}];

fyy=D[f[x,y],{y,2}];

fxy=D[f[x,y],x,y];

disc=fxx*fyy-fxy^2

输出为判别式函数2

xyyyxx

fff

的形式:

(6+6x)(6-6y)

再输入

data={x,y,fxx,disc,f[x,y]}/.critpts;

TableForm[data,TableHeadings->{None,{"x","y","fxx","disc","f"}}]

最后我们得到了四个驻点处的判别式与

xx

f的值并以表格形式列出.

Xyfxxdiscf

-30-12-7227

-32-127231

101272-5

1212-72-1

易见,当2,3yx时

,12

xx

f

判别式disc=72,函数有极大值31;

当0,1yx时

,12

xx

f

判别式disc=72,函数有极小值-5;

当0,3yx和2,1yx时,判别式disc=-72,函数在这些点没有极值.

注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum来求一元函数的极值,实际上,也可

以用它求多元函数的极值,不过输入的初值要在极值点的附近.对本例,可以输入以下命令

78

FindMinimum[f[x,y],{x,-1},{y,1}]

则输出

{-5.,{x->1.,y->-2.36603×10-8}}

从中看到在0,1yx的附近函数),(yxf有极小值-5,但y的精度不够好.

*例1.6求函数22yxz在条件0122yxyx下的极值.

输入

Clear[f,g,la];

f[x_,y_]=x^2+y^2;

g[x_,y_]=x^2+y^2+x+y-1;

la[x_,y_,r_]=f[x,y]+r*g[x,y];

extpts=Solve[{D[la[x,y,r],x]==0,

D[la[x,y,r],y]==0,D[la[x,y,r],r]==0}]

得到输出















































)31(

2

1

),31(

2

1

),33(

3

1

,)31(

2

1

),31(

2

1

),33(

3

1

yxr

yxr

再输入

f[x,y]/.extpts//Simplify

得到两个可能是条件极值的函数值}.32,32{但是否真的取到条件极值呢?

可利用等高线作图来判断.

输入

dian={x,y}/.Table[extpts[[s,j]],{s,1,2},{j,2,3}]

g1=ListPlot[dian,PlotStyle->PointSize[0.03],

DisplayFunction->Identity]

cp1=ContourPlot[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},

Contours->20,PlotPoints->60,

ContourShading->Fal,Frame->Fal,Axes->

Automatic,

AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];

cp2=ContourPlot[g[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},

PlotPoints->60,Contours->{0},ContourShading->

Fal,Frame->Fal,Axes->Automatic,ContourStyle

->Dashing[{0.01}],

AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity];

Show[g1,cp1,cp2,AspectRatio->1,DisplayFunction->

$DisplayFunction]

输出为































































)31(

2

1

,

2

3

2

1

,)31(

2

1

,

2

3

2

1

及图1.1.从图可见，在极值可疑点

79

,

2

3

2

1

,

2

3

2

1





































2

3

2

1

,

2

3

2

1

处,函数),(yxfz的等高线与曲线0),(yxg(虚线)相切.函数),(yxfz的等高

线是一系列同心圆,由里向外,函数值在增大,在

)31(

2

1

),31(

2

1

yx

的

附近观察,可以得出),(yxfz取条件极大的结论.在

),31(

2

1

x

)31(

2

1

y

的附近观察,可以得出),(yxfz取条件极小的结论.

-2-112

-2

-1

1

2

图1.1

计算重积分

例1.7(教材例1.5)计算,2dxdyxy

D

其中

D

为由,,2yxyx2y所围成的有

界区域.先作

出区域

D

的草图,易直接确定积分限,且应先对x积分,因此,输入

Integrate[x*y^2,{y,1,2},{x,2-y,Sqrt[y]}]

则输出所求二重积分的计算结果

.

120

193

例1.8(教材例1.6)计算,)(22dxdye

D

yx其中D为

.122yx

如果用直角坐标计算,输入

Clear[f,r];

f[x,y]=Exp[-(x^2+y^2)];

Integrate[f[x,y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]

80

则输出为

dxx1Erfe2

1

1

x2

















其中Erf是误差函数.显然积分遇到了困难.

如果改用极坐标来计算,可用手工确定积分限,输入

Integrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2Pi},{r,0,1}]

则输出所求二重积分的计算结果

e





如果输入

NIntegrate[(f[x,y]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]})*r,{t,0,2Pi},{r,0,1}]

则输出积分的近似值

1.98587

实验习题

1.设

,x

y

ez

求.dz

2.设),,(yxyfz求.,,

2

2

2

2

2

yx

z

y

z

x

z













3.设),sin(cos),(228/)(22yxeyxgyx求

.,,

2

yx

z

y

z

x

z













4.求265433051830120),(xyxxxxyxf

的极值.

5.求324yxz在

01422yx

条件下的极值.

6.计算

6/

0

2/

0

.sinsin



ydydxxxy

7.计算下列积分的近似值:

(1);cos

00

22dydxyx



(2).sin

1

0

1

0

dydxexy

(3)1

0

1

0

.)arctan(dydxxy

8.交换积分次序并计算下列积分

(1)dydxyx

x3

0

9

2

2

cos

.(2)

.

2

0

4

2

2dxdye

y

x

9.用极坐标计算下列积分:

(1);

1

0

1

22

dydx

yx

y

x



(2).

1

0

3/

3/

22

dxdy

yx

yy

y