成都外语学校

2022年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国

的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用

.

某小学三年级

共有学生

500

名，随机抽查

100

名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有

45

人，能说出

3

种及其以上发

明的有

32

人，据此估计该校三级的

500

名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）

A

．

69

人

B

．

84

人

C

．

108

人

D

．

115

人

2．设

n

S

为等差数列

{}

n

a

的前

n

项和，若

357812

2()3()66aaaaa

，则

14

S

A

．56B

．66

C

．77D

．78

3．函数

2

()

ln(1)

xxee

fx

x







在

[3,3]

的图象大致为

()

A

．

B

．

C

．

D

．

4．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的

“

更相减损术

”

．执行该程序框图，若输入的

a，

b

分别为

176

，

320

，则输出的

a

为（）

A

．

16B

．

18C

．

20D

．

15

5．若函数()xfxe的图象上两点M，N关于直线

yx

的对称点在

()2gxax

的图象上，则

a

的取值范围是

（）

A

．

,

2

e









B

．

(,)e

C

．

0,

2

e







D

．

(0,)e

6．如图，双曲线22

22

:10,0

xy

Cab

ab

的左，右焦点分别是

12

,0,,0,FcFc

直线

2

bc

y

a



与双曲线C的两

条渐近线分别相交于

,AB

两点

.

若

12

,

3

BFF





则双曲线C的离心率为（）

A

．2B

．

42

3

C

．2D

．

23

3

7．若aR，则

“3a”

是

“51xax的展开式中3x

项的系数为

90”

的（）

A

．必要不充分条件

B

．充分不必要条件

C

．充要条件

D

．既不充分也不必要条件

8．设，则"是""的（）

A

．充分不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充要条件

D

．既不充分也不必要条件

9．已知



是第二象限的角，

3

tan()

4



，则

sin2()

A

．

12

25

B

．

12

25

C

．

24

25

D

．

24

25



10．在复平面内，复数

2

1

(1)

i

i





对应的点位于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

11．如图，在正四棱柱

1111

ABCDABCD

中，

1

2ABAA，EF，分别为ABBC，的中点，异面直线

1

AB

与

1

CF

所

成角的余弦值为

m

，则

()

A

．直线

1

AE

与直线

1

CF

异面，且

2

3

mB

．直线

1

AE

与直线

1

CF

共面，且

2

3

m

C

．直线

1

AE

与直线

1

CF

异面，且

3

3

mD

．直线

1

AE

与直线

1

CF

共面，且

3

3

m

12．设点

P

是椭圆

22

2

1(2)

4

xy

a

a

上的一点，

12

FF，

是椭圆的两个焦点，若

12

43FF，则

12

PFPF

（）

A

．4B

．8C

．42D

．47

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线

10(0,0)mxnymn

过圆22:2210Cxyxy的圆心，则

11

mn



的最小值是

_____.

14．4

1

(2)x

x



的展开式中2x的系数为

____.

15．已知两点

(1,0)A

，

(1,0)B

，若直线

0xya

上存在点

(,)Pxy

满足0APBP，则实数

a

满足的取值范围

是

__________

．

16．已知实数

x

，

y

满足约束条件

0

40

1

xy

xy

y

















，则32xyz的最大值是

__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2()sin2xfxexaxx.

（

1

）当0a时，判断

()fx

在0,

上的单调性并加以证明；

（

2

）若0x，

()1fx

，求

a

的取值范围

.

18．（12分）选修

4-4

：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中，直线l的参数方程为

2

2

2

1

2

xt

yt



















（

t

为参数）

.

以原点O为极点，

x

轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为

22cos

4













.

（

1

）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（

2

）设直线l上的定点

P

在曲线C外且其到C上的点的最短距离为

52

，试求点

P

的坐标

.

19．（12分）设函数2()sin()2cos1(0)

366

xx

fx





，直线3y与函数

()fx

图象相邻两交点的距离为

2.

（Ⅰ）求



的值；

（Ⅱ）在ABC中，角

,,ABC

所对的边分别是

,,abc

，若点

,0

2

B







是函数

()yfx

图象的一个对称中心，且5b，

求ABC面积的最大值

.

20．（12分）设椭圆

2

2:1

2

x

Cy

的右焦点为F，过F的直线l与C交于

,AB

两点，点M的坐标为

(2,0)

．

（

1

）当直线l的倾斜角为45时，求线段

AB

的中点的横坐标；

（

2

）设点

A

关于

x

轴的对称点为

C

，求证：

M

，

B

，

C

三点共线；

（

3

）设过点

M

的直线交椭圆于

,GH

两点，若椭圆上存在点

P

，使得

OGOHOP

（其中

O

为坐标原点），求实数

的取值范围．

21．（12分）已知

a

，b，

c

分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：

①

263

3()

baac

cab







；②2cos22cos1

2

A

A

；③6a；④22b.

（

1

）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（

2

）在（

1

）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积

.

（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

22．（10分）记数列

n

a

的前

n

项和为

n

S

，已知

2,,2

nnn

naSa

成等差数列*()nN.

（

1

）证明：数列1

n

a

是等比数列，并求

n

a

的通项公式；

（

2

）记

1

1

n

n

nn

a

b

aa







数列

n

b

的前

n

项和为

n

T

，求

n

T

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

D

【解析】

先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出

一种或一种也说不出的人数

.

【详解】

在这

100

名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223人，设对四大发明只能说出一种或一种也说

不出的有

x

人，则

100500

23x



，解得115x人

.

故选：

D

【点睛】

本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题

.

2．

C

【解析】

根据等差数列的性质可得

357812510

2()3()6666aaaaaaa

，即

5

a

10

11a

，

所以114

14510

14()

7()77

2

aa

Saa





，故选

C

．

3．

C

【解析】

先根据函数奇偶性排除

B

，再根据函数极值排除

A

；结合特殊值即可排除

D

，即可得解

.

【详解】

函数

2

()

ln(1)

xxee

fx

x







，

则

2

()()

ln(1)

xxee

fxfx

x







，所以

()fx

为奇函数，排除

B

选项；

当

x

时，

2

()

ln

xe

fx

x

，所以排除

A

选项；

当1x时，

112.720.37

(1)3.4

ln(11)ln20.69

eeee

f







，排除

D

选项；

综上可知，

C

为正确选项，

故选：

C.

【点睛】

本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题

.

4．

A

【解析】

根据题意可知最后计算的结果为ab，的最大公约数

.

【详解】

输入的

a，b

分别为176,320,

根据流程图可知最后计算的结果为ab，的最大公约数，按流程图计算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,

易得

176

和

320

的最大公约

数为

16

，

故选

:A.

【点睛】

本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数

,

难度较易

.

5．

D

【解析】

由题可知，可转化为曲线

()2gxax

与

lnyx

有两个公共点，可转化为方程2lnaxx有两解，构造函数

2ln

()

x

hx

x





，利用导数研究函数单调性，分析即得解

【详解】

函数()xfxe的图象上两点M，N关于直线

yx

的对称点在

lnyx

上，

即曲线

()2gxax

与

lnyx

有两个公共点，

即方程2lnaxx有两解，

即

2lnx

a

x





有两解，

令

2ln

()

x

hx

x





，

则

2

1ln

()

x

hx

x







，

则当

1

0x

e



时，

()0hx





；当

1

x

e



时，

()0hx





，

故

1

x

e



时

()hx

取得极大值

1

he

e









，也即为最大值，

当0x时，

()hx

；当

x

时，

()0hx

，

所以0ae满足条件．

故选：

D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题

.

6．

A

【解析】

易得

(,)

22

cbc

B

a



，过

B

作

x

轴的垂线，垂足为

T

，在

1

FTB中，利用

1

tan

3

BT

FT





即可得到

,,abc

的方程

.

【详解】

由已知，得

(,)

22

cbc

B

a



，过

B

作

x

轴的垂线，垂足为

T

，故

12

c

FT

，

又

12

,

3

BFF





所以

1

tan3

3

BT

FT





，即

2

3

2

bc

b

a

c

a

，

所以双曲线C的离心率21()2

b

e

a



.

故选：

A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到

,,abc

的方程或不等式，本题属于容易题

.

7．

B

【解析】

求得51xax的二项展开式的通项为1

5

Ckkkax

,

令2k时

,

可得3x

项的系数为

90,

即2

5

290C=a

,

求得

a

,

即可得出

结果

.

【详解】

若3a则55=113xaxxx二项展开式的通项为+1

5

C3kkkx

,

令13k,

即2k,

则3x

项的系数为

2

5

2C3=90

,

充分性成立

;

当51xax的展开式中3x

项的系数为

90,

则有2

5

290C=a

,

从而3a,

必要性不成立

.

故选

:B.

【点睛】

本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识

,

考查考生的分析问题的能力和计算能力

,

难度较易

.

8．

A

【解析】

根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.

【详解】

，当时，，充分性；

当，取，验证成立，故不必要.

故选：.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力

.

9．

D

【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos,

再利用二倍角的正弦公式代入求解即可

.

【详解】

因为

3

tan()

4

,

由诱导公式可得

,

sin3

tan

cos4







,

即

3

sincos

4

,

因为22sincos1,

所以2

16

cos

25

,

由二倍角的正弦公式可得

,

2

3

sin22sincoscos

2

,

所以

31624

sin2

22525

.

故选

:D

【点睛】

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式

;

考查运算求解能力和知识的综合运用能力

;

属于中

档题

.

10．

B

【解析】

化简复数为abi的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案

.

【详解】

2

11(1)

(1)22

iiii

iiii







111

222

i

i







对应的点的坐标为

11

,

22









在第二象限

故选：

B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题

.

11．

B

【解析】

连接EF，

11

AC

，

1

CD

，DF，由正四棱柱的特征可知

11

EFAC

，再由平面的基本性质可知，直线

1

AE

与直线

1

CF

共

面

.

，同理易得

11

ABCD，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线

1

AB

与

1

CF

所成角为

1

DCF，然后再利用

余弦定理求解

.

【详解】

如图所示：

连接EF，

11

AC

，

1

CD

，DF，由正方体的特征得

11

EFAC

，

所以直线

1

AE

与直线

1

CF

共面

.

由正四棱柱的特征得

11

ABCD

，

所以异面直线

1

AB

与

1

CF

所成角为

1

DCF

.

设

1

2AA，则AB

1

22AA，则5DF，

1

3CF，

1

6CD，

由余弦定理，得

1

cosmDCF

3652

3

236







.

故选：

B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题

.

12．

B

【解析】

∵

12

43FF

∵

12

243FFc

∴23c

∵222cab，24b

∴4a

∴

12

28PFPFa

故选

B

点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义

.

求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不

画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖

掘出它们之间的内在联系

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4

【解析】

直线

mx

﹣

ny

﹣

1

＝

0

（

m

＞

0

，

n

＞

0

）经过圆

x2+

y2﹣

2

x

+2

y

﹣

1

＝

0

的圆心（

1

，﹣

1

），可得

m

+

n

＝

1

，再利用

“

乘

1

法

”

和

基本不等式的性质即可得出

.

【详解】

∵

mx

﹣

ny

﹣

1

＝

0

（

m

＞

0

，

n

＞

0

）经过圆

x2+

y2﹣

2

x

+2

y

﹣

1

＝

0

的圆心（

1

，﹣

1

），

∴

m

+

n

﹣

1

＝

0

，即

m

+

n

＝

1.

∴

11

mn



（

11

mn



）（

m

+

n

）＝

2

mn

nm

2+2

＝

4

，当且仅当

m

＝

n

1

2



时取等号

.

∴则

11

mn



的最小值是

4.

故答案为：

4.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程、

“

乘

1

法

”

和基本不等式的性质，属于基础题

.

14．

28

【解析】

将已知式转化为

8

4

4

1(1)

(2)

x

x

xx



，则4

1

(2)x

x



的展开式中2x的系数8(1)x中6x的系数，根据二项式展开式

可求得其值

.

【详解】

248

4

44

1(21)(1)

(2)=

xxx

x

xxx



，所以4

1

(2)x

x



的展开式中2x的系数就是8(1)x中6x的系数，而8(1)x

中6x的系数为2

22

88

128CC，



展开式中2x的系数为2

8

28C

故答案为：

28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，

属于基础题

.

15．

2,2







【解析】

问题转化为求直线l与圆221xy有公共点时，

a

的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．

【详解】

解：直线

:0lxya

，点

(1,0)A

，

(1,0)B

，

直线l上存在点P满足

0APBP

，

P的轨迹方程是221xy．



如图，直线l与圆221xy有公共点，



圆心

(0,0)O

到直线

:0lxya

的距离：

||

1

2

a

d

，

解得22a．



实数

a

的取值范围为

2,2







．

故答案为：

2,2







．

【点睛】

本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，属于中档题．

16．

1

4

【解析】

令

3xyt

，所求问题的最大值为max2t,

只需求出

max

t

即可，作出可行域，利用几何意义即可解决

.

【详解】

作出可行域，如图

令

3xyt

，则

3yxt

，显然当直线经过

(1,1)B

时，

t

最大，且

max

2t

，

故32xyz的最大值为2

1

2

4

.

故答案为：

1

4

.

【点睛】

本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（

1

）

()fx

在0,

为增函数；证明见解析（

2

）

1

2

a

【解析】

（

1

）令()()cos2xgxfxex



，求出

()gx



，可推得

()0gx

，故

()fx

在0,

为增函数；

（

2

）令

()()gxfx





，则()esin2xgxxa



，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数

a

的取值范围

.

【详解】

（

1

）当0a时，()cos2xfxex



.

记

()()gxfx





，则()sinxgxex



，

当0x时，1xe，1sin1x.

所以()esin0xgxx



，所以

()gx

在0,

单调递增，所以

()(0)0gxg

.

因为

()()gxfx





，所以

()0fx





，所以

()fx

在0,

为增函数

.

（

2

）由题意，得()cos22xfxexax



，记

()()gxfx





，则()esin2xgxxa



，

令

()()hxgx





，则()cosxhxex



，

当0x时，e1x，cos1x，所以()cos0xhxex



，

所以

()hx

在0,

为增函数，即()sin2xgxexa



在0,

单调递增，

所以0()(0)esin0212gxgaa



.

①当120a，

1

2

a

，

()0gx





恒成立，所以

()gx

为增函数，即()fx在0,

单调递增，

又

(0)0f





，所以0fx





，所以

()fx

在0,

为增函数，所以

()(0)1fxf

所以

1

2

a

满足题意

.

②当

1

2

a，

(0)120ga





，令()e1xuxx，0x，

因为0x，所以()e10xux



，故

()ux

在

(0,)

单调递增，

故

()(0)0uxu

，即1xex.

故2(2)esin2221sin220agaaaaaa



，

又()sin2xgxexa



在

(0,)

单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数

(0,)m

，

()0gm





，

当

(0,)xm

时，

()0gx





，

()gx

单调递减，即()fx单调递减，

所以

()(0)0fxf





，此时

()fx

在

(0,)m

为减函数，

所以

()(0)1fxf

，不合题意，应舍去

.

综上所述，

a

的取值范围是

1

2

a.

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化

思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题

.

18．（

1

）l的普通方程为

10xy

．C的直角坐标方程为22(1)(1)2xy（

2

）（

-1

，

0

）或（

2

，

3

）

【解析】

（

1

）对直线l的参数方程

2

2

2

1

2

xt

yt



















消参数

t

即可求得直线l的普通方程，对

22cos

4













整理并两边乘以



，结合

cosx

，

siny

即可求得曲线C的直角坐标方程。

（

2

）由（

1

）得：曲线

C

是以

Q

（

1,1

）为圆心，2为半径的圆，设点

P

的坐标为,1xx

，由题可得：5PQ，

利用两点距离公式列方程即可求解。

【详解】

解：（

1

）由

2

2

2

1

2

xt

yt



















消去参数

t

，得

1yx

．

即直线l的普通方程为

10xy

．

因为2

2

22cos(),22(cossin)2(cossin)

42





又

cosx

，

siny

∴曲线C的直角坐标方程为22(1)(1)2xy

（

2

）由22(1)(1)2xy知，曲线

C

是以

Q

（

1,1

）为圆心，2为半径的圆

设点

P

的坐标为,1xx

，则点

P

到C上的点的最短距离为

|PQ|



2

即2

25,15PQxx，整理得220xx，解得

12

1,2xx

所以点

P

的坐标为（

-1

，

0

）或（

2

，

3

）

【点睛】

本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了

方程思想及计算能力，属于中档题。

19．（Ⅰ）

3

；（Ⅱ）

253

12

.

【解析】

(Ⅰ)

函数2()sin()2cos1

366

xx

fx





，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；

(Ⅱ)

由

(Ⅰ)

知函数

()3sin()

3

fxx





，根据点

,0

2

B







是函数

()yfx

图象的一个对称中心，代入可得

B

，利用余

弦定理、基本不等式的性质即可得出

.

【详解】

(Ⅰ)2()sin()2cos1

366

xx

fx





1cos

3

sincoscossin21

36362

x

xx









33

sincos

2323

xx



3sin()

33

x



()fx

的最大值为3,()fx最小正周期为2

3

(Ⅱ)

由题意及（Ⅰ）知

()3sin()

3

fxx





，

2

3sin()0

233

B

B





22222251

cos

222

acbac

B

acac



,

22

25

25225,

3

acacacac

故

13253

sin

2412ABC

SacBac





故ABC的面积的最大值为

253

12

.

【点睛】

本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能

力与运算求解能力，属于中档基础题

.

20．

(1)

AB

的中点的横坐标为

2

3

；（

2

）证明见解析；（

3

）

(2,2)

【解析】

设

1122

(,),(,)AxyBxy

.

（

1

）因为直线l的倾斜角为45，

(1,0)F

，所以直线

AB

的方程为

1yx

，联立方程组2

2

1

1

2

yx

x

y















，消去

y

并整理，

得2340xx，则12

12

42

,

323

xx

xx





，

故线段

AB

的中点的横坐标为

2

3

．

（

2

）根据题意得点

11

(,)Cxy

，

若直线

AB

的斜率为

0

，则直线

AB

的方程为

0y

，

A

、

C

两点重合，显然

M

，

B

，

C

三点共线；

若直线

AB

的斜率不为

0

，设直线

AB

的方程为

1xmy

，

联立方程组2

2

1

1

2

xmy

x

y















，消去

x

并整理得22(2)210mymy

，

则

1212

22

21

,

22

m

yyyy

mm





，设直线

BM

、

CM

的斜率分别为

BM

k

、

CM

k

，

则

212

2

2112121212

(2)(2)(1)(1)2()

22(2)(2)(1)(1)1()BMCM

yyyxyxymyymymyyyy

kk

xxxxmymymyymyy







22

22

22

22

22

0

2

1

22

mm

mm

mm

mm













，即

BM

k

=

CM

k

，即

M

，

B

，

C

三点共线．

（

3

）根据题意，得直线

GH

的斜率存在，设该直线的方程为

(2)ykx

，

设

003344

(,),(,),(,)PxyGxyHxy

，

联立方程组2

21

2

(2)

x

y

ykx















，消去

y

并整理，得2222(12)8820kxkxk，

由422644(12)(82)0kkk，整理得2

1

<

2

k

，又

22

3434

22

882

,

1212

kk

xxxx

kk







，

所以

3434

2

4

(4)

12

k

yykxx

k





，

结合

OGOHOP

，得

034034

,xxxyyy

，

当0时，该直线为

x

轴，即

0y

，

此时椭圆上任意一点

P

都满足

OGOHOP

，此时符合题意；

当0时，由

OGOHOP

，得

2

0

2

0

2

18

12

14

12

k

x

k

k

y

k





























，代入椭圆

C

的方程，得

42

222222

3216

1

(12)(12)

kk

kk





，整理，

得

2

2

2

2

1616

1

12

2

k

k

k







，

再结合2

1

<

2

k

，得到20<<4，即

(2,0)(0,2)

，

综上，得到实数的取值范围是

(2,2)

．

21．（

1

）①，③，④或②，③，④；（

2

）3.

【解析】

（

1

）由①可求得cosB的值，由②可求出角A的值，结合题意得出AB，推出矛盾，可得出①②不能同时成为

ABC的条件，由此可得出结论；

（

2

）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出

ABC的面积

.

【详解】

（

1

）由①

263

3

baac

cab







得，222326acbac

，

所以

2226

cos

23

acb

B

ac



，

由②2cos22cos1

2

A

A得，22coscos10AA，

解得

1

cos

2

A或cos1A（舍），所以

3

A



，

因为

61

cos

32

B，且0,B

，所以

2

3

B

，所以AB，矛盾

.

所以ABC不能同时满足①，②

.

故ABC满足①，③，④或②，③，④；

（

2

）若ABC满足①，③，④，

因为2222cosbacacB，所以2

6

8626

3

cc，即2420cc.

解得62c.

所以ABC的面积

1

sin32

2

SacB.

若ABC满足②，③，④由正弦定理

sinsin

ab

AB

，即

622

sin

3

2

B



，解得sin1B，

所以2c，所以ABC的面积

1

sin3

2

SbcA.

【点睛】

本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合

三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题

.

22．（

1

）证明见解析，

31n

n

a

；（

2

）

1

11

42(31)n

n

T







【解析】

（

1

）由

2,,2

nnn

naSa

成等差数列，可得到

322

nn

anS

，再结合公式1

1

,1

,2n

nn

Sn

a

SSn















，消去

n

S

，得到

*

1

32()

nn

aan



N

，再给等式两边同时加

1

，整理可证明结果；

（

2

）将（

1

）得到的

31n

n

a

代入

1

1

n

n

nn

a

b

aa







中化简后再裂项，然后求其前

n

项和

.

【详解】

（

1

）由

2,,2

nnn

naSa

成等差数列，则

222

nnn

anSa

，

即

322

nn

anS

，①

当1n时，

111

322,2aaa

，

又

11

32(1)2

nn

anS





，②

由①②可得：

11

3322

nnn

aaa





，

即*

1

32()

nn

aan



N

，

1

13(1),1

nn

aan





时，1

1

1

13,3

1

n

n

a

a

a









.

所以1

n

a

是以

3

为首项，

3

为公比的等比数列，

13n

n

a

，所以

31n

n

a

.

（

2

）

11

3111

(31)(31)23131

n

n

nnnn

b













，

所以

12

11

11111

2313142(31)nn

nn

Tbbb













.

【点睛】

此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题

.