北京大学冬令营

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北京大学生命科学冬令营试卷数学部分

注意：所有题目均为单项选择题，共14小题．

1．已知函数f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点,则f(x)=0的所有实根之和

是（）

A．1

B．0

C．2

D．4

2．若a+b=2，则(a2−b2)2−8(a2+b2)的值是（）

A．−16

B．0

C．6

D．8

3．方程x2−6x+k=0的两个实根分别为x1和x2，且22

1212

115xxxx，则

22

12

++8xx的值是（）

A．66

B．32

C．60

D．80

4．当2⩽x⩽3时，二次函数f(x)=x2−2x−3的最大值是（）

A．−4

B．−3

C．0

D．1

5．方程x4−y4−4x2+4y2=0表示的图形是（）

A．两条平行直线

B．两条相交直线

C．两条平行线与一个圆

D．两条相交直线与一个圆

6．一个梯形上下底的长度分别为1和4，两条对角线的长度分别为3和4，则

梯形面积是（）

A．3

B．4

C．5

D．6

7．设n个数x1,x2,⋯,xn的平均数为a，t

平均数为c，则有（）

2

A．a=b+c

B．

2

bc

a





C．

()

t

acbc

n



D．

()

t

abcb

n



8．设x∈(0,π)，则函数

()1cos1cosfxxx

的取值范围是（）

A．[0,2)

B．[0,2)

C．[0,2]

D．[0,2]

9．外接球的半径为1的正四面体的棱长为（）

10．设f(x)为实函数，满足f(c)=c的实数c称为f(x)的不动点．设f(x)=ax，其中

a>0且a≠1．若f(x)恰有两个互不相同的不动点，则a的取值范围是（）

3

11．设C1,C2是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动点C3与C1,C2均外

切，则动点C3的圆心轨迹为（）

A．直线

B．圆或椭圆

C．抛物线

D．双曲线的一支

12．考虑三维空间中任意给定的空间四边形abcd，其中a,b,c,d为四个顶点，四

条直线段ab,bc,cd,da顺序首尾相连．在a点的内角定义为射线ad与射线ab所

成的角，其补角称为a点的外角，其它顶点处类似．考虑这种空间四边形的外角

和X，则有（）

A．X=2π

B．X⩾2π

C．X⩽2π

D．X相对于2π大小关系不确定，三种可能性都存在

13．定义函数f(α,β,γ,δ)=sin(α−β)cos(γ−δ)+sin(α−γ)cos(δ−β)，则此函数f(α,β,γ,δ)

为（）

A．sin(δ−α)cos(β−γ)

B．sin(α−δ)cos(β−γ)

C．cos(δ−α)cos(β−γ)

D．cos(α−δ)sin(β−γ)

14．有4副动物拼图，每副一种颜色且各不相同，每副都固定由同一动物的4

个不同部分（如头、身、尾、腿）组成．现在拼图被打乱后重新拼成了4副完整

的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式种数是

（）

A．14400

B．13005

C．243

D．634

15．设有三角形A0B0C0，做它的内切圆，三个切点确定一个新的三角形A1B1C1，

再做三角形A1B1C1的内切圆，三个切点确定三角形A2B2C2，以此类推，一次一

次不停地做下去可以得到一个三角形序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三

角形的极限情形是（）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．与原三角形A0B0C0相似

D．以上均不对

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2015年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分参考答案

1．B．

2．A．

由题意，

(a2−b2)2−8(a2+b2)=[2(a−b)]2−8(4−2ab)=4(a+b)2−32=−16.

3．A．

考虑到一元二次方程有解，舍去k=11，得到k=−11．

4．C．

f(x)max=f(3)=0．

5．D．

6．D．

平移一条对角线，将梯形的面积转化为直角三角形的面积．

7．C．

由题意，

5

6

13．没有正确答案．

14．B．

四副拼图的颜色用1,2,3,4表示，四个不同的部分用a,b,c,d表示，第一行排ai，

第二行排bi，第三行排di，第四行排di，则每一列都是一副完整的画．

考虑先固定第一行，确定后三行的排法即可：

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