2011高考试题

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标卷河南省用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

(1)复数

2

12

i

i





的共轭复数是

（A）

3

5

i（B）

3

5

i（C）i（D）i

（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是

（A）2yx(B)1yx（C）21yx(D)2xy

（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

（A）120

（B）720

（C）1440

（D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加

各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A）

1

3

（B）

1

2

（C）

2

3

（D）

3

4

（5）已知角的顶点与原点重合，始边与

x

轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则

cos2=

（A）

4

5



（B）

3

5



（C）

3

5

（D）

4

5

（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的俯视图可以为

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B

两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2（B）3（C）2（D）3

（8）

51

2

a

xx

xx









的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

（A）-40（B）-20（C）20（D）40

（9）由曲线yx，直线

2yx

及y轴所围成的图形的面积为

（A）

10

3

（B）4（C）

16

3

（D）6

（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

1

2

:10,

3

Pab













2

2

:1,

3

Pab















3

:10,

3

Pab













4

:1,

3

Pab















其中的真命题是

（A）

14

,PP（B）

13

,PP（C）

23

,PP（D）

24

,PP

（11）设函数

()sin()cos()(0,)

2

fxxx





的最小正周期为



，

且()()fxfx，则

（A）()fx在0,

2









单调递减（B）()fx在

3

,

44









单调递减

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

（C）

()fx

在0,

2









单调递增（D）

()fx

在

3

,

44









单调递增

(12)函数

1

1

y

x





的图像与函数

2sin(24)yxx

的图像所有焦点的横坐标

之和等于

（A）2(B)4(C)6(D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题

考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若变量,xy满足约束条件

329,

69,

xy

xy











则

2zxy

的最小值为。

（14）在平面直角坐标系

xOy

中，椭圆

C

的中心为原点，焦点

12

,FF在x轴上，

离心率为

2

2

。过

l

的直线交于

,AB

两点，且

2

ABF的周长为16，那么

C

的方程

为。

（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC,

则棱锥

OABCD

的体积为。

（16）在ABC中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

等比数列

n

a的各项均为正数，且2

12326

231,

求数列

n

a的通项公式.

设

31323

loglog......log,

nn

baaa求数列

1

n

b







的前项和.

(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量

指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B

配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得

到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关

系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分

布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质

量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满

足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（21）（本小题满分12分）

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

已知函数

ln

()

1

axb

fx

xx





，曲线

()yfx

在点

(1,(1))f

处的切线方程为

230xy

。

（Ⅰ）求a、

b

的值；

（Ⅱ）如果当0x，且1x时，

ln

()

1

xk

fx

xx





，求k的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为

ABC

的边AB，

AC

上的点，且不与

ABC

的顶点重合。

已知AE的长为m,AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn

的两个根。

（Ⅰ）证明：

C

，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为

2cos

22sin

x

y















（



为参数）

M是C

1

上的动点，P点满足2OPOM,P点的轨迹为曲线C

2

(Ⅰ)求C

2

的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

3





与C1

的异

于极点的交点为A，与C

2

的异于极点的交点为B，求AB.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数()3fxxax,其中0a。

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

（Ⅰ）当1a时，求不等式

()32fxx

的解集

（Ⅱ）若不等式

()0fx

的解集为|1xx，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题

（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D

（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D

二、填空题

（13）-6（14）

22

1

168

xy

（15）83（16）27

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）设数列{a

n

}的公比为q，由2

326

9aaa得32

34

9aa所以2

1

9

q

。有条件

可知a>0,故

1

3

q

。

由

12

231aa得

12

231aaq，所以

1

1

3

a

。故数列{an

}的通项式为a

n

=

1

3n

。

（Ⅱ）

111111

loglog...log

n

baaa

(12...)

(1)

2

n

nn







故

1211

2()

(1)1

n

bnnnn





12

111111112

...2((1)()...())

22311

n

n

bbbnnn





所以数列

1

{}

n

b

的前n项和为

2

1

n

n





(18)解：

（Ⅰ）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

从而BD2+AD2=AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.故PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴

建立空间直角坐标系D-xyz，则

1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBC

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则

即

30

30

xy

yz





因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC的法向量为m，则

0

0

mPB

mBC





可取m=（0，-1，3）

427

cos,

7

27

mn





故二面角A-PB-C的余弦值为

27

7



（19）解

（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为

228

=0.3

100



，所

以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为

3210

0.42

100





，所以

用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

90,94,94,102,102,110

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

(20）解：

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以

MA

=（-x,-1-y）,

MB

=(0,-3-y),

AB

=(x,-2).再由愿意得知（

MA

+

MB

）•

AB

=0,即

（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=

1

4

x2-2.

(Ⅱ)设P(x

0

,y

0

)为曲线C：y=

1

4

x2-2上一点，因为y'=

1

2

x,所以l的斜

率为

1

2

x

0

因此直线l的方程为

000

1

()

2

yyxxx

，即2

00

220xxyyx。

则O点到l的距离

2

00

2

0

|2|

4

yx

d

x







.又2

00

1

2

4

yx

，所以

2

0

2

0

22

00

1

4

14

2

(4)2,

2

44

x

dx

xx







当2

0

x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

（21）解：

（Ⅰ）

22

1

(ln)

'()

(1)

x

x

b

x

fx

xx











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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

由于直线

230xy

的斜率为

1

2



，且过点

(1,1)

，故

(1)1,

1

'(1),

2

f

f















即

1,

1

,

22

b

a

b















解得

1a

，

1b

。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

ln1

1

x

xx





，所以

2

2

ln1(1)(1)

()()(2ln)

11

xkkx

fxx

xxxx







。

考虑函数

()2lnhxx

2(1)(1)kx

x



(0)x

，则

2

2

(1)(1)2

'()

kxx

hx

x



。

(i)设0k，由

22

2

(1)(1)

'()

kxx

hx

x



知，当1x时，

'()0hx

。而

(1)0h

，

故

当

(0,1)x

时，

()0hx

，可得

2

1

()0

1

hx

x





；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得

21

1

x

h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（

1

ln

x

x

+

x

k

）>0，即f（x）>

1

ln

x

x

+

x

k

.

（ii）设0

k1

1

）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故h’（x）>0,

而h（1）=0，故当x（1，

k1

1

）时，h（x）>0，可得

21

1

x

h（x）<0,与题设

矛盾。

（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，

可得

21

1

x

h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

（22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC,

即

AB

AE

AC

AD



.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x

1

=2,x

2

=12.

故AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于

H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心

为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥=AG=5，DF=

2

1

(12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为52

（23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

2

,

2

YX

).由于M点在C

1

上，所以

































sin22

2

,cos2

2

y

x

即

















sin44

cos4

y

x

从而2C

的参数方程为

4cos

44sin

x

y















（



为参数）

（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。

射线

3





与1C的交点A的极径为14sin

3





，

射线

3





与2C的交点B的极径为28sin

3





。

所以21||||23AB.

（24）解：

（Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。

由此可得3x或1x。

故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

(Ⅱ)由

()0fx

的

30xax

此不等式化为不等式组

30

xa

xax











或

30

xa

axx











即

4

xa

a

x















或

2

xa

a

a















因为0a，所以不等式组的解集为|

2

a

xx

由题设可得

2

a



=1，故2a

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

卖炭翁白居易(唐)字乐天号香山居士

卖炭翁，伐薪烧炭南山中。满面尘灰烟火色，两鬓苍苍十指黑。卖炭

得钱何所营?身上衣裳口中食。可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒。夜来城

外一尺雪，晓驾炭车碾冰辙。牛困人饥日以高，市南门外泥中歇。

翩翩两骑(jì)来是谁?黄衣使者白衫儿。手把文书口称敕，回车叱牛牵向

北。一车炭，千余斤，宫使驱将(jiāng)惜不得。半匹红绡一丈绫，系(jì)向

牛头充炭直(值)。