二次函数顶点坐标式

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

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第二讲二次函数的顶点式之樊仲川亿创作

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

知识点1二次函数四种顶点式的性质

1.二次函数基本形式：2yax的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2yaxc的性质：

上加下减。

3.

2yaxh的性质：

左加右减。

4.

2yaxhk的性质：

a

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a向上00，y轴

0x时，y随

x

的增大而增大；0x时，y

随

x

的增大而减小；0x时，y有最小值

0．

0a向下00，y轴

0x时，y随

x

的增大而减小；0x时，y

随

x

的增大而增大；0x时，y有最大值

0．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a向上0c，y轴

0x时，y随x的增大而增大；0x时，y

随

x

的增大而减小；0x时，y有最小值

c．

0a向下0c，y轴

0x时，y随

x

的增大而减小；0x时，y

随

x

的增大而增大；0x时，y有最大值

c

．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a向上0h，

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，

y随x的增大而减小；xh时，y有最小值

0．

0a向下0h，

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，

y随x的增大而增大；xh时，y有最大值

0．

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知识点2二次函数四种顶点式的平移规律

1.平移步调：

方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式

2yaxhk，确定

其顶点坐标

hk，；

⑵坚持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到

hk，处，

具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】

平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+k

y=a(x-h)2

y=ax2+ky=ax2

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负

下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

例题:

1．抛物线y＝2(x＋3)2的开口；顶点坐标为

_____________；对称轴是_________；当x＞－3时，

y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．

a

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a向上hk，

X=h

xh时，y随

x

的增大而增大；xh时，

y随

x

的增大而减小；xh时，y有最小值

k．

0a向下hk，

X=h

xh时，y随

x

的增大而减小；xh时，

y随

x

的增大而增大；xh时，y有最大值

k．

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2．抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式

是y＝－4(x－4)2，则m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解

析式为________．

4．根据右图发现解决下列问题：

⑴如图所示二次函数的图象中，分别对应的是：

①2axy；②2bxy；③2cxy；④2dxy，

则dcba、、、的大小关系是（）

A．dcbaB．cdba

C．dcabD．cdab

⑵在同坐标系中，图象与2

2

3

yx的图象关于x轴对称的函数为

（）

A．2

3

2

yxB．2yxC．2

2

3

yxD．2

3

2

yx

5、已知二次函数kxy2)1(3的图象上有三个点A(

1

,2y)，B(2,

2

y)，C(

3

,5y)，则

321

,,yyy的大小关系为

（）

A.

321

yyyB.

312

yyyC.

213

yyy

D.

123

yyy

6、抛物线22xy向下平移1个单位长度再向右平移2个单位长度

得到抛物线

7、抛物线22xy是由另一条抛物线先向上平移1个单位长度再向

右平移2个单位长度得到,则原抛物线

为.

8、对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小

_________，只是_________分歧．

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9、已知抛物线kmxay2)(中，

2

1

||a，最高点的坐标是

（

2

5

,1），求这条抛物线．

10、已知),(ba是抛物线2xy上的一点．甲同学说：“点),(ba一定

也在2xy的图象上”．乙同学说：“我不单知道点),(ba在抛物

线2xy上，而且我还知道点),(ba也一定在2xy的图象

上”．你认为甲、乙两同学的说法正确吗？请发表你的看法．

提升练习:

1、填表

开口方向顶点对称轴

y＝x2＋1

y＝2(x－3)2

y＝－(x＋5)2－4

2、若A),

4

13

(

1

y、B),1(

2

y、C),

3

5

(

3

y为二次函数9)2(2xy的图象

上的三点，则

1

y、

2

y、

3

y的大小关系是（）

A．

1

y＜

2

y＜

3

yB．

3

y＜

2

y＜

1

yC．

3

y＜

1

y＜

2

y

D．

2

y＜

1

y＜

3

y

3、抛物线2)1(xy沿y轴方向向上或向下平移后，经过点（3，

0），则所得抛物线的解析式

为．

4、已知抛物线),,0()(2是常数nmanmxay开口向下，顶点在第

二象限，则a0，m0，n0（填“>”“=”、

“<”）．

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5、y＝6x2＋3与y＝6(x－1)2＋10的____________相同，而

__________分歧．

6、若直线3yxm经过第一、三、四象限，则抛物线2()1yxm

的顶点必在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

7、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P从

点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿

边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出

发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变更？写出函数关系

式及t的取值范围。

8．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝21x2相同

的解析式为（）

A．y＝21(x－2)2＋3B．y＝21(x＋2)2－3

C．y＝21(x＋2)2＋3D．y＝－21(x＋2)2

＋3

9．抛物线y＝－3(x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最

________值是________．

10．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变更而变更，这

一过程可近似地用下列哪幅图暗示（）

ABC

D

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11．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移

4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．

12．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y

＝－3，求a、k的值．

13．若抛物线y＝a(x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于

对称轴的对称点A′的坐标为______________．

14.抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3

个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的

值。

15、已知二次函数212xy，（1）当32x时，求函数的最

值.（2）当30x时，求函数的最值.

16、已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线2xy都相同，对

称轴与抛物线2)2(xy相同，且顶点的纵坐标为－1．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求这条抛物线与1xy的两交点坐标及这两点的距离．

17、如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线2

1

3.5

5

yx运

行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为

3.05米．

（1）球在空中运行的最大高度为多少米？

（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请

问他距离篮框中心的水平距离是多少？

18、已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶

点A.

x

y

O

米

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⑴判断点A否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?

⑵如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B(B为抛物线y=x2-2x+1

的顶点)

①求a的值;

②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角

形?若能,求出t的值;若不克不及,请说明理由.

19、如图所示，抛物线2)(mxy的顶点为A，直线l：

mxy33与y轴的交点为B，其中0m.

（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式暗

示）；

（2）证明点A在直线l上，并求出OAB的度数；

（3）动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是

否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存

在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存

在，说明理由.

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A

y

xO

l