收敛函数

函数项级数的一致收敛性及其应用

摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了

无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.

有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有

广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项

级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛

的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以

一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.

关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数

UniformlyConvergenceSeriesofFunctionsandApplication

Abstract:Withthedevelopmentofscienceandtechnology,elementaryfunctionhasfailed

heCauchygivesthedefinitionofinfiniteries,the

einfinite

ries,offunctionshasawideapplicationin

formlyconvergenceofriesoffunctions

theapplication,theuniformlyconvergenceof

ticledescribestheconceptof

theuniformlyconvergenceofriesoffunctions,tosumupthejudgmentoftheuniformly

manyexamplesandtaketheriesofpowersto

illustratetheapplicationincalculationofriesoffunctions.

Keywords:riesoffunctions;uniformlyconvergence;riesofpowers

目录

1引言……………………………………………………………………………………………………1

2函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………………2

2.1函数列及其一致收敛性………………………………………………………………………2

2.2函数项级数及其一致收敛性…………………………………………………………………3

2.3一致收敛函数项级数的性质…………………………………………………………………4

3函数项级数的一致收敛性判别法……………………………………………………………………5

3.1一般判别法……………………………………………………………………………………5

3.2魏尔斯特拉斯判别法…………………………………………………………………………7

3.3阿贝尔判别法与狄利克雷判别法……………………………………………………………7

3.3.1阿贝尔判别法………………………………………………………………………8

3.3.2狄利克雷判别法……………………………………………………………………8

3.4类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法……………………………………10

3.4.1比式判别法…………………………………………………………………………10

3.4.2根式判别法…………………………………………………………………………11

3.4.3对数判别法…………………………………………………………………………12

3.5Dini判别法…………………………………………………………………………………13

4幂级数的应用………………………………………………………………………………………14

4.1幂级数的定义………………………………………………………………………………14

4.2幂级数的应用………………………………………………………………………………14

4.2.1幂级数在近似计算中的应用………………………………………………………14

4.2.2幂级数在计算积分中的应用………………………………………………………15

4.2.3幂级数在求极限中的应用…………………………………………………………15

4.2.4幂级数在数列求和中的应用………………………………………………………16

4.2.5幂级数在欧拉公式推导中的应用…………………………………………………16

4.2.6幂级数在求导中的应用……………………………………………………………17

4.2.7幂级数在概率组合中的应用………………………………………………………17

4.2.8幂级数在证明不等式中的应用……………………………………………………18

4.2.9用幂级数形式表示某些非初等函数………………………………………………18

5总结……………………………………………………………………………………………………19

致谢………………………………………………………………………………………………………20

参考文献…………………………………………………………………………………………………21

1

1引言

随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等

函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定

义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应

运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项

级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一

个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数

的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重

大的影响(朱正佑,2001)[1].函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级

数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了

应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定

方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算

方面的应用进行举例说明.

2

2函数项级数的相关概念介绍

2.1函数列及其一致收敛性

定义1设

,,,

21n

fff，

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，也可简单的写作：

}{

n

f或

n

f，,2,1n.

设Ex

0

，以

0

x代入}{

n

f可得数列

),(),(),(

00201

xfxfxf

n

，

若数列)}({

0

xf

n

收敛，则称函数列}{

n

f在点

0

x收敛，

0

x称为函数列}{

n

f的收敛点.若数列

)}({

0

xf

n

发散，则称函数列}{

n

f在点

0

x发散.若函数列}{

n

f在数集ED上每一点都收敛，则

称}{

n

f在数集D上收敛.这时D上每一点

x

，都有数列)}({xf

n

的一个极限值与之相对应，由这

个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列}{

n

f的极限函数.若极限函数记作f，则有

)()(limxfxf

n

n





，Dx

或

)()(xfxf

n

)(n，Dx.

使函数列

}{

n

f收敛的全体收敛点集合，称为函数列}{

n

f的收敛域.

定义2设函数列

}{

n

f与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整

数N，使得当Nn时，对一切Dx，都有

)()(xfxf

n

，

则称函数列

}{

n

f在D上一致收敛于f，记作

)()(xfxf

n

)(n,Dx.

注：本文用“”表示一致收敛.

由定义看到，如果函数列

}{

n

f在D上一致收敛，那么对于所给的，不管D上哪一点

x

，总

存在公共的)(N（即N的选取仅与



有关，与

x

的取值无关），只要Nn，都有

)()(xfxf

n

.

3

由此可以看到函数列}{

n

f在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每一点都

收敛的函数列}{

n

f，在D上不一定一致收敛.

2.2函数项级数及其一致收敛性

定义3设{)(xu

n

}是定义在数集E上的一个函数列，

表达式

)(

1

xu+)(

2

xu+…+)(xu

n

+…，Ex（1）

称为定义在E上的函数项级数，简记为

1

)(

n

n

xu或)(xu

n。称







n

k

kn

xuxS

1

)()(，Ex，,2,1n

为函数项级数的部分和函数列。

若

Ex

0

，数项级数

)()()(

00201

xuxuxu

n

（2）

收敛，即部分和





n

k

kn

xuxS

1

00

)()(当

n

时极限存在，则称级数（1）在点

0

x收敛，

0

x称为

级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点

0

x发散.若级数（1）在E的某个子集

D上每点都收敛，则称级数（1）在D上收敛．若D为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称D

为级数（1）的收敛域．级数（1）在D上每一点

x

与其所对应的数项级数（2）的和)(xS构成一

个定义在D上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作

)()()()(

21

xSxuxuxu

n

，Dx,

即

)()(limxSxS

n

n





，Dx．

也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．

定义4设{

)(xS

n

}是函数项级数)(xu

n的部分和函数列．若{

)(xS

n

}在数集D上一致收

敛于函数)(xS,则称函数项级数)(xu

n在D上一致收敛于函数)(xS，或称)(xu

n在D上一

致收敛(华东师范大学数学系，2001)[2].

4

2.3一致收敛函数项级数的性质

定理1（连续性）若函数项级数)(xu

n在区间ba,上一致收敛，且每一项都连续，则其

和函数在ba,上也连续.

它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

))((lim))(lim(

00

xuxu

n

xx

n

xx





.

定理2(逐项求积)若函数项级数)(xu

n在ba,上一致收敛，且每一项)(xu

n

都连续，则

dxxudxxu

b

a

n

b

a

n



)()(.

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序.

定理3(逐项求导)若函数项级数)(xu

n在ba,上每一项都有连续的导函数，[,]xab为

)(xu

n的收敛点，且)(xu

n

在ba,上一致收敛，则

))(())((xu

dx

d

xu

dx

d

nn

.

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，

2005)[3].

5

3函数项级数的一致收敛性判别法

3.1一般方法

判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致

收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.

定义4的条件太强，函数项级数固定一点Dx,)(xu

n实际上是一个特殊数列.受此启发,

利用数列的性质得到以下定理：

定理4（一致收敛的柯西准则）函数项级数)(xu

n在数集D上一致收敛的充要条件为：

对任给的正数



，总存在某正整数N，使得当Nn时，对一切Dx和一切正整数p，都有





)()(xSxS

npn

或



)()()(

21

xuxuxu

pnnn

.

此定理中当1p时，得到函数项级数一致收敛的必要条件.

推论函数项级数)(xu

n在数集D上一致收敛的必要条件为：函数列)(xu

n

在D上一致

收敛于零.

设函数项级数在D上的和函数为)(xS，称

)()()(xSxSxr

nn



为函数项级数)(xu

n的余项.

定理5函数项级数)(xu

n在数集D上一致收敛于)(xS的充要条件是：

0)()(suplim)(suplim









xSxSxr

n

Dx

n

n

Dx

n

.

证明必要性因为)(xu

n

在区间D上一致收敛,所以0，0N，使得当Nn

时，对一切Dx,都有)()(xSxS

n





，即)(xr

n



，所以



)(supxr

n

Dx

，所以

0)(suplim





xr

n

Dx

n

.

充分性设)(xu

n

在D上不一致收敛,即

0

0

，

0

0,NnN,Dx

0

，使得

000

)()(

0

xSxS

n

，即

0

)(sup

0





xr

n

Dx

，所以0)(suplim





xr

n

Dx

n

.与已知矛盾(李岚，2003)[4].

例1若

)(xf

n

在ba,上可积，,2,1n且)(xf与)(xg在ba,上都可积，

6

0)()(lim

2





dxxfxfb

a

n

n

，设x

a

dttgtfxh)()()(，x

a

nn

dttgtfxh)()()(，则在ba,上

)(xh

n

一致收敛于

)(xh

.

证明

x

a

n

x

a

x

a

nn

dttgtftfdttgtfdttgtfxhxh)())()(()()()()()()(

2

1

2

2

1

2

))(())()(()()()(dttgdttftfdttgtftfx

a

x

a

n

x

a

n

0))(())()((2

1

2

2

1

2b

a

n

b

a

dttgdttftf(n)，

所以利用定理1,当

n

时，)(xh

n

一致收敛于

)(xh

.

例2设

0)(xu

n

，在ba,上连续，,2,1n，又

1

)(

n

n

xu在ba,收敛于连续函数)(xf，

则

1

)(

n

n

xu在ba,一致收敛于)(xf.

证明已知

)()()(xSxfxr

nn

（其中





1

)(

k

kn

xuS）是单调递减且趋于0，所以Nn，

bax,有0)(xr

n

，且bax,

0

，0，,0),(

0

xN),(

0

xNn时，有

)(0

0

xr

n

.将

n

固定，令

),(

00

xNNn，因为)()()(xSxfxr

nn

在ba,上连续,既然

)(xr

n

，所以

0

0

，当),(

0000

xxx时)(xr

n

.从而

0

Nn时更有)(xr

n

即

)(xr

n

仅当

),(

0000

xxx.

如上所述,对每个点bax,



，可找到相应的邻域

),(



xx

及相应的



N,使得



Nn时，对

),(



xxx

恒有)(xr

n

.

如此baxxx,:),(



构成ba,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记

为),(,),,(

1111rrrr

xxxx，于是bax,，总ri,,2,1，使得当

),(

iiii

xxx时，取

r

NNNN,,,max

21

，那么当Nn时，恒有)(xr

n

.

由定理2得，

1

()

n

n

ux





在ba,一致收敛于)(xf.

7

3.2魏尔斯特拉斯判别法

判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理4外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判

别.

定理6(魏尔斯特拉斯判别法)设函数项级数)(xu

n定义在数集D上，n

M为收敛的正

项级数，若对一切Dx，有

nn

Mxu)(，,2,1n，（3）

则函数项级数)(xu

n在D上一致收敛.

证明由假设正项级数n

M收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数

N，使得当Nn及任何正整数p，有



pnnpnn

MMMM

11

.

又由（3）式对一切Dx有

)()()()(

11

xuxuxuxu

pnnpnn





pnn

MM

1

.

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数)(xu

n在D上一致收敛.

例3判断函数项级数2

sin

n

nx

在),(上的一致收敛性.

证明因为对一切),(x有

22

1sin

nn

nx

，

而正项级数

2

1

n

是收敛的，所以根据魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数2

sin

n

nx

在),(上

是一致收敛的.

定理6也称为M判别法或优级数判别法.当级数)(xu

n与级数n

M在区间],[ba上成立

关系式（3）时，则称级数n

M在],[ba上优于级数)(xu

n，或称n

M为)(xu

n的优级

数.

3.3阿贝尔判别法与狄利克雷判别法

下面讨论定义在区间I上形如

8

)()()()()()()()(

2211

xvxuxvxuxvxuxvxu

nnnn

（4）

的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式.

3.3.1阿贝尔判别法

定理7（阿贝尔判别法）设

（ⅰ）)(xu

n在区间I上一致收敛；

（ⅱ）对于每一个Ix,)(xv

n

是单调的；

（ⅲ）)(xv

n

在I上一致有界，即对一切Ix和正整数

n

,存在正数M，使得

Mxv

n

)(.

则形如)()(xvxu

nn的级数在I上一致收敛.

证明由（ⅰ），任给0，存在某正整数N，使得当Nn及任何正整数p，对一切Ix，

有





)()(

1

xuxu

pnn



又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到

)()()()(

11

xvxuxvxu

pnnpnn



Mxvxv

pnn

3))(2)((

1





.

于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论.

例4判断函数项级数





xn

n

cos

)1(

，]

2

,

2

[



x的一致收敛性.

证明记

n

xa

n

n

)1(

)(



，

n

x

xb

ncos

1

1

)(



,

因为)(xa

n是收敛的数项级数，从而在]

2

,

2

[



上一致收敛.

又因为每个]

2

,

2

[



x，)(xb

n

单调，且)(xb

n

在]

2

,

2

[



上一致有界，于是由阿贝尔

判别法易知级数（4）在]

2

,

2

[



上一致收敛(刘庆生，2009；翟永恒，2009；刘桂仙，2009)[5].

3.3.2狄利克雷判别法

定理8（狄利克雷判别法）设

9

（ⅰ）)(xu

n的部分和函数列







n

k

kn

xuxU

1

)()(，（n=1，2，…）

在I上一致有界；

（ⅱ）对于每一个Ix，)(xv

n

是单调的；

（ⅲ）在I上)(,0)(nxv

n

，

则形如)()(xvxu

nn的级数在I上一致收敛.

证明由（ⅰ），存在正数M，对一切Ix，有MxU

n

)(.因此当pn,为任何正整数时，

MxUxUxuxu

nPnpnn

2)()()()(

1





.

对任何一个Ix，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到

)()()()(

11

xvxuxvxu

pnpnnn



))(2)((2

1

xvxvM

pnn

.

再由（ⅲ），对任给的0，存在正数N，当Nn时，对一切Ix，有

)(xv

n

，

所以，

MMxvxuxvxu

pnpnnn

6)2(2)()()()(

11





.

于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在I上一致收敛.

例5函数项级数





1

)()1(

n

nn

n

nx

在]1,0[上一致收敛.

证明因为记

n

xu

n

n

)1(

)(



，

n

nn

x

xv













1)(时，)(xu

n

一致收敛,

)(xv

n

单调且并且一致

有界，所以由阿贝尔判别法得函数项级数



1

)()1(

n

nn

n

nx

在]1,0[上一致收敛.

例6若数列

n

a单调且收敛于零，则级数

10

nxa

n

cos

在]2,[)0(上一致收敛.

证明由

2

sin2

)

2

1

sin(

cos

2

1

1

x

xn

kx

n

k







，在]2,[上有

2

1

2

sin2

1

2

1

2

sin2

1

2

1

2

sin2

)

2

1

sin(

cos

1











x

x

xn

kx

n

k

，

所以，级数nxcos的部分和函数列在]2,[上一致有界，于是令

nnn

axvnxxu)(,cos)(，

则由狄利克雷判别法可得级数nxa

n

cos在]2,[)0(上一致收敛.

对于级数nxa

n

cos，只要

n

a单调且收敛于零，那么级数在不包含),2,1,0(2kk

的任何闭区间上都一致收敛.

3.4类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们

的收敛性、和的问题,但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是它的一致收敛性，对比数项级数

的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们

判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等.对于函数项级

数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的方法,是一个值得研究的课题.有鉴于此,结

合数项级数的比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别

法,同时利用p级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法(毛一

波，2006)[6].

3.4.1比式判别法

定理9设

)(xu

n

为定义在数集D上正的函数列,记

)(

)(

)(1

xu

xu

xq

n

n

n



，存在正整数N及实数

q、M,使得:1)(qxq

n

,

Mxu

N

)(,对任意的Nn,Dx成立,则函数项级数

1

)(

n

n

xu

在D上一致收敛.

11

证明易见

Mqxuxqxqxqxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xuNn

NNnnN

N

N

n

n

n

n

n













)()()()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

21

1

2

1

1

,

而等比级数





Nn

NnMqq，当公比10q时收敛，从而由函数项级数一致收敛的优级数判别法

知，

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

定理9有极限形式：

定理10设)(xu

n

为定义在数集D上正的函数列,记

)(

)(

)(1

xu

xu

xq

n

n

n

，若：

1)()(lim



qxqxq

n

n

,

且

)(xu

n

在D上一致有界，则函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

例7设n

n

x

n

n

xu

)]1(41[951

)]1(32[852

)(











为定义在]1,0[D上的函数列，证明级数

)(xu

n在]1,0[D上一致收敛.

证明由于：

1

4

3

4

3

41

32

lim

)(

)(

lim1













xx

n

n

xu

xu

n

n

n

n

，

2)(0xu

n

，

由定理10，知函数项级数

1

)(

n

n

xu在]1,0[D上一致收敛.

3.4.2根式判别法

定理11设

)(xu

n

为定义在数集D上的函数列，若存在正整数N,使得

1)(qxun

n

，

Nn，Dx成立，则函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

证明由定理条件，Nn，Dx，n

n

qxu)(成立，而几何级数nq收敛，由优级

12

数判别法，函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

注：当定理11条件成立时，级数

1

)(

n

n

xu在D上还绝对收敛.

定理11的极限形式为：

定理12设)(xu

n

为定义在数集D上的函数列，若

1)()(lim



qxqxun

n

n

，

Nn，Dx成立，则函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

例8证明函数项级数nx

n

在),[],(rr上一致收敛（其中r为大于1的实常数）.

证明因为1

11



rxx

n

x

nn

n

n

，

由定理12知，函数项级数nx

n

在),[],(rr上一致收敛（吴良森，毛玉辉，2002）[7].

3.4.3对数判别法

定理13设

)(xu

n

为定义在数集D上正的函数列,若)(

ln

)(ln

limxp

n

xu

n

n







存在，那么

（ⅰ）若Dx,1)(pxp，则函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛.

（ⅱ）若Dx,1)(pxp，则函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上不一致收敛.

证明（ⅰ）由定理条件知，对0，N,使得Nn，有





)(

ln

)(ln

)(xp

n

xu

xpn，

即





)()(

1

)(

1

xp

n

xpn

xu

n

，

则当1)(pxp，Dx成立时，有

p

nn

xu

1

)(，而p级数pn

1

当1p时收敛，由优级

数判别法知函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上一致收敛；

13

（ⅱ）当1)(pxp对Dx成立时，有

p

nn

xu

1

)(，p级数pn

1

当1p时发散，

从而函数项级数

1

)(

n

n

xu在D上不一致收敛.

3.5Dini判别法

定理14若

（ⅰ）每个)(xa

n

均在],[ba上连续且非负；

（ⅱ）)(xa

n在],[ba上收敛于连续函数)(xS；

则)(xa

n在],[ba上一致收敛于)(xS.

例9证明：







1

22

)1(

n

n

xn

n

在),(内闭一致收敛.

证明显然，1)1(

1





n

k

k在),(上一致有界.任取Rba],[对],[bax，易证当

n

充

分大时













22xn

n

单调递减且)(0lim

22

xf

xn

n

n





，每个

22xn

n



及0)(xf均在],[ba上连

续，故由Dini定理知













22xn

n

在],[ba上一致收敛于0，于是，由狄利克雷判别法知原级数在

],[ba上一致收敛.

所以，由],[ba的任意性知，原级数在),(上内闭一致收敛(吉米多维奇，1987)[8].

14

4幂级数的应用

幂级数是一类最简单的函数项级数，下面我们以幂级数为例，说明函数项级数的一致收敛性

在计算中的应用．

4.1幂级数的定义

定义5由幂函数列n

n

xxa)(

0

所产生的函数项级数





n

n

n

n

n

xxaxxaxxaaxxa)()()()(

0

2

020100

0

，

称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸.

4.2幂级数的应用

幂级数是高等数学中的一个非常重要的内容，其简单的结构形式和逐项求导、逐项求积的优良

性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式的

推导等问题中.巧妙地利用函数的幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不

容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚

(赵瑜,2009)[9].

4.2.1幂级数在近似计算中的应用

我们可以利用幂级数展开式进行近似计算,即在展开式有效的区间上,函数值可以近似的利用

这个级数按精确度要求计算出来(同济大学应用数学系，2002)[10].

例10计算积分

dx

x

x

1

0

sin

的近似值，要求误差不超过0.0001.

解由于1

sin

lim

0



x

x

x

，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在0x处的值为1，则

它在积分区间]1,0[上连续.

展开被积函数，有



!7!5!3

1

sin642xxx

x

x

)(x，

在区间]1,0[上逐项积分，得















!77

1

!55

1

!33

1

1

sin1

0

dx

x

x

.

因为第四项的绝对值

15

30000

1

!77

1





，

所以取前三项的和作为积分的近似值：

!55

1

!33

1

1

sin1

0





dx

x

x

，

算得9461.0

sin1

0

dx

x

x

.

4.2.2幂级数在计算积分中的应用

当)(xf的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算)(xf的定积分就遇到了困难.

现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要求被积

函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分

性质来计算所求积分的值.

例11证明：

















)!2(2

)1(

!44!22

1

cos242

0nn

xxx

dt

t

tnn

x

．

证明因为

)!2(

)1(cos

2

0

n

x

x

n

t

n



，],[x，

所以

dtt

n

dt

n

t

dt

t

tx

n

n

n

n

x

n

n

x





















0

12

0

12

0

0

0)!2(

1

)1(

)!2(

)1(

cos

=

















)!2(2

)1(

!44!22

1

42

nn

xxxn

，x．

4.2.3幂级数在求极限中的应用

求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一.

例12求

x

xx

x

3

0sin

arcsin

lim





的值.

解因为







542

31

32

1

sin

53xx

xxarx，)1(x

























5

5

3

3

3

!5

33

!3

33

4

1

sinxxx，)(x

所以

6

1

)(

)(

6

1

lim

!5

33

!3

33

4

1

542

31

32

1

lim

sin

arcsin

lim

33

33

0

5

5

3

3

53

0

3

0





























































xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

xxx







．

16

4.2.4幂级数在数项求和中的应用

一致收敛的幂级数的性质：幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，可用于计算幂级数

的和（裴礼文，1983）[11].

例13求





1

3)1(

n

nn

n

．

解当11x时，设n

n

x

n

n

xs







0

1

)(

=











































1111

111

1

1

1

n

n

n

nn

n

n

nn

n

x

x

x

x

n

xx

n

x.

设







1

1

)(

n

n

n

x

xg，)11(x，则









1

1

1

)(

n

n

n

x

xxg，且

x

x

x

n

x

xxg

n

n

n

n

































11

)]([

11

,

从而

000

11

()ln(1)

111

xxxxx

xgxdxdxdxxx

xxx







．

当0x时，

x

x

xg

)1ln(

1)(



,

此时，

x

x

xx

x

x

x

x

nx

x

x

n

n

n

n

n

n

)1ln(

1

1)1ln(

1

11

1

11

10



































.

令

3

1

x，可得

3

2

ln3

2

3

3

1

3

1

1ln

3

1

1

1

3)1(

1



























n

nn

n

.

4.2.5幂级数在欧拉公式推导中的应用

例14试用幂级数的展开式来推导欧拉公式

2

cos,

2

sin

ixixixixee

x

i

ee

x







.

解当

x

为实数时，由指数函数的幂级数展开式知,

234

0

()111

1()()()

!2!3!4!

n

ix

n

ix

eixixixix

n







因为

2,1,0,1,,1,)44()34()24()14(niiiiiinnnn

17

所以xix

xx

xi

xx

eixsincos)

!5!3

()

!4!2

1(

5342

,

即xixeixsincos,

在上式中

x

以置换

x

可得xixeixsincos,

再由两式联立，解得：

2

cos,

2

sin

ixixixixee

x

i

ee

x







.

4.2.6幂级数在求导中的应用

例15求

)1ln(arctan)(2xxxxf在0x处的n阶导数.

解因为函数)(xf在0x处的泰勒级数为

0

)(

!

)0(

n

n

n

x

n

f

，所以可先将)(xf用间接方法展

成

x

的幂级数，然后从nx的系数中解出)0()(nf，

x

x

x

x

x

x

xfarctan

1

arctan

1

)(

22











)11(,)1(1

1

)(242

2









xxxx

x

x

xfnn

进行两次积分：









1253

012

1

)1(

5

1

3

1

)()(nn

xx

n

xxxdxxfxf

)11(,

)22)(12(

)1(

65

1

43

1

2

1

)()(

22

642

0

















x

nn

x

xxxdxxfxf

nn

x

则

nn

n

n

fn

2)12(

1)1(

)2(

)0()2(





，即



















)3,2,1,12(,0

)2(),2()1(

)0(

1

2

)2(

mmn

mnn

f

n

n.

4.2.7幂级数在概率组合计算中的应用

定义6设

),2,1,0(nB

n

是一个数列，若存在一个函数()Fx，使得

RxxBxBBxFn

n



10

)(成立，则称()Fx为数列)2,1,0(nB

n

的生成函数.

例16将一颗骰子连续投掷10次，问：出现20点的概率是多少？

解设

n

B表示共出现点

n

的方式的总数，显然6010

n

B.从而

n

B的生成函数为：

10

6

62

60

10

1

1

)1()(





















x

x

xxxxBxF

n

n

n

,

18

因为

,1)1(1)1(33

10

22

10

1

10

10183

10

122

10

61

10

106xCxCxCxxCxCxCx所以

)(xF的展开式中20x项的系数为852284

13

1

10

10

1920

CCCB,于是出现20点的概率

为:001409.0

10

85228

6

.

4.2.8幂级数在证明不等式中的应用

幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明不等式(张淑辉，2005)[12].

例17证明不等式),(,22

2

xeee

x

xx.

证明因为

),(,

!

)1(,

!

00











x

n

x

e

n

x

e

n

n

nx

n

n

x,

而





0

2

)!2(

2

n

n

xx

n

x

ee，





0

2

2

)!2(

22

2

n

n

x

n

x

e,

由于

!)!2()!2(

22

n

x

n

xnn

，故),(,22

2

xeee

x

xx.

4.2.9用幂级数形式表示某些非初等函数

例18求连续函数2xe的原函数)(xF.

解2xe的原函数为dte

x

t

0

2，Rx.





0

!

n

n

x

n

x

e，Rx.

令2tx，有

















!

)1(

!3!2!1

1

!

)1(12642

0

2

2

n

xttt

n

t

e

nn

n

nn

t

对幂级数在收敛区间内逐项求积分，可得Rx，















12!

)1(

5!2

1

3!1

1

)(

1253

0

2

n

x

n

xx

xdxexF

nn

x

t

另外，幂级数还可以定义三角函数和指数函数等等.幂级数的应用非常广泛，我们要在实际应

用中善于发现，充分利用，以求最好的解决问题.

19

总结

数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，18世纪是分析的时代，数

学进入到更高层次的研究，函数项级数是数学分析中的重要组成部分，因此研究函数项级数的一致

收敛性具有重大的意义.目前，对于函数项级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且其应用

领域越来越广泛，在数学本身以及自然现象、工程技术，物理研究都有很大的作用.本文介绍了函

数项级数的历史背景、给出了函数项级数的概念、性质、函数列及其一致收敛性、函数项级数及其

一致收敛性，归纳梳理函数项级数的一致收敛性的判定方法，以最简单的函数项级数——幂级数为

例，说明函数项级数的应用.随着科学技术的发展，函数项级数作为数学分析中的一项重要内容，

会在更多的领域拥有更广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻.

20

参考文献

[1]朱正佑.数学分析（下册）[M].上海:上海大学出版社,2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]陶桂秀.关于一致收敛函数项级数的注记[J].铜陵学院学报,2005,(2):75.

[4]李岚.函数项级数一致收敛定义的推广及其应用[J].陕西教育学院学报,2003,19(2):86-87.

[5]刘庆升,翟永恒,刘桂仙.函数项级数一致收敛的判别法[J].科技信息,2009,(9):531．

[6]毛一波.函数项级数一致收敛性的判定[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2006,5(4):55-56.

[7]吴良森,毛羽辉等.数学分析习题精解[M].北京:科学出版社,2002.

[8][苏]吉米多维奇.数学分析习题集（四）[M].费定晖,周学圣译.济南:山东科学技术出版社.1987.

[9]赵瑜.浅谈幂级数在计算中的应用[J].前沿,2009,(8):282-283.

[10]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京:高等教育出版社,2002.

[11]裴礼文.数学分析中典型例题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.

[12]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报,2005,(23):94-96.

[13]plesofMathematicalAnalysis[M].NewYork:Springer-Verlag,1964.

[14]k’sProbleminaSpecialNormedSpace[J].NortheastMath.J,2004,(1):79-83.