全国一卷数学

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2

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（I卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.若z1i，则z22z

A.0



B.1C.D.2

2.设集合Ax|x240，Bx|2xa0，且ABx|2x1，则a



A.4B.2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，一该四棱锥的高为边

长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高于底面正方形的

边长的比值为

A.

B.

C.

D.

2

4.已知A为抛物线C：y22px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离

为9，则p

A.2B.3C.6D.9

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同

的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据x

i,yi（i1,2,,20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归

方程类型的是

A.yabxB.yabx2C.yabexD.yablnx

6.函数fxx42x3的图像在点1,f1处的切线方程为

A.y2x1B.y2x1C.y2x3D.y2x1

51

4

51

2

51

4

51

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5

3

6

24







7.

设函数fxcos



x

在,的图像大致如下图，则fx的最小正周期为





107

A.B.

96

y25

43

C.D.

32

8.

x





xy

x





的展开式中x3y3的系数为

A.5B.10C.15D.20

9.已知0,，且3cos28cos5，则sin



21

A.B.C.D.

3339

10.已知A、B、C为球O的球面上的三个点，O1

为△ABC的外接圆，若O1

的面积为4，

ABBCACOO1

，则球O的表面积为

A.64B.48C.36D.32

11.已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P作

M的切线PA，PB，切点为A，B，当PMAB最小时，直线AB的方程为

A.2xy10B.2xy10C.2xy10D.2xy10

12.若2aloga4b2logb，则

A.a2bB.a2bC.ab2D.ab2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。



2xy20



13.若x，y满足约束条件







xy10

y10

，则zx7y的最大值为.



14.设a，b为单位向量，且ab1，则ab.

15.已知F为双曲线C：

x

a2

y2

1（a0，b0）的右焦点，

b2

A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB

的斜率为3，则C的离心率为.

16.如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，

ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB.

5

2

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必答考题，每个

试题考试都必须作答。第22、23题为选考题，考试根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

设a

n是公比不为1的等比数列，a1

为a2

，a3

的等差中项.

⑴求a

n

的公比；

⑵若a

11，求数列nan的前n项和.

18.（12分）

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD，△ABC是底面的

内接正三角形，P为DO上一点，PO

⑴证明：PA平面PBC；

⑵求二面角BPCE的余弦值.

6

DO.

6

19.（12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进

行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直

至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。

1

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，每场比赛双方获胜的概率都为.

2

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

⑶求丙最终获胜的概率.

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

2

20.（12分）

已知A，B分别为椭圆E：

x2

a2

y



1（a1）的左右顶点，G为E的上顶点，AGGB8，

P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

⑴求椭圆E的方程；

⑵证明：直线CD过定点.

21.（12分）

已知函数fxexax2x

⑴当a1时，讨论fx的单调性；

⑵当x0时，fx



1

x2

2

1，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分。

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）



xcoskt

在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为

ysinkt

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

2

的极坐标方程为4cos16sin30。

⑴当k1时，C

1

是什么曲线；

⑵当k4时，求C

1

和C

2

的公共点的直角坐标.

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数fx3x12x1.

⑴画出yfx的图像；

⑵求不等式fxfx1的解集