2011高考试卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试

课标全国卷（理科数学）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

(1)复数

2

12

i

i





的共轭复数是

（A）

3

5

i（B）

3

5

i（C）i（D）i

（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是

（A）2yx(B)1yx（C）21yx(D)2xy

（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

（A）120

（B）720

（C）1440

（D）5040

（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性

相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A）

1

3

（B）

1

2

（C）

2

3

（D）

3

4

（5）已知角的顶点与原点重合，始边与

x

轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=

（A）

4

5



（B）

3

5



（C）

3

5

（D）

4

5

（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的俯视图可以为

（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB为

C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2（B）3（C）2（D）3

（8）

51

2

a

xx

xx









的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

（A）-40（B）-20（C）20（D）40

（9）由曲线yx，直线

2yx

及y轴所围成的图形的面积为

（A）

10

3

（B）4（C）

16

3

（D）6

（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

1

2

:10,

3

Pab













2

2

:1,

3

Pab















3

:10,

3

Pab













4

:1,

3

Pab















其中的真命题是

（A）

14

,PP（B）

13

,PP（C）

23

,PP（D）

24

,PP

（11）设函数

()sin()cos()(0,)

2

fxxx





的最小正周期为



，且()()fxfx，则

（A）

()fx

在0,

2









单调递减（B）

()fx

在

3

,

44









单调递减

（C）

()fx

在0,

2









单调递增（D）

()fx

在

3

,

44









单调递增

(12)函数

1

1

y

x





的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有焦点的横坐标之和等于

（A）2(B)4(C)6(D)8

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若变量,xy满足约束条件

329,

69,

xy

xy











则2zxy的最小值为。

（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点

12

,FF在x轴上，离心率为

2

2

。过

l

的直线交于

,AB

两点，且

2

ABFV的周长为16，那么

C

的方程为。

（15）已知矩形

ABCD

的顶点都在半径为4的球

O

的球面上，且6,23ABBC,则棱锥

OABCD

的体积为。

（16）在

ABCV

中，60,3BACo，则

2ABBC

的最大值为。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

等比数列

n

a的各项均为正数，且2

12326

231,

求数列

n

a的通项公式.

设

31323

loglog......log,

nn

baaa求数列

1

n

b







的前项和.

(18)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于

102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种

产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以

实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB

=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（21）（本小题满分12分）

已知函数

ln

()

1

axb

fx

xx





，曲线

()yfx

在点

(1,(1))f

处的切线方程为

230xy

。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当0x，且1x时，

ln

()

1

xk

fx

xx





，求k的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题

号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，

AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为

2cos

22sin

x

y















（



为参数）

M是C

1

上的动点，P点满足2OPOM

uuuvuuuuv

,P点的轨迹为曲线C

2

(Ⅰ)求C

2

的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

3





与C1

的异于极点的交点为A，

与C

2

的异于极点的交点为B，求AB.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数()3fxxax,其中

0a

。

（Ⅰ）当

1a

时，求不等式

()32fxx

的解集

（Ⅱ）若不等式

()0fx

的解集为|1xx，求a的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题

（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D

（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D

二、填空题

（13）-6（14）

22

1

168

xy

（15）83（16）27

三、解答题

（17）解：

（Ⅰ）设数列{a

n

}的公比为q，由2

326

9aaa得32

34

9aa所以2

1

9

q

。有条件可知a>0,故

1

3

q

。

由

12

231aa得

12

231aaq，所以

1

1

3

a

。故数列{an

}的通项式为a

n

=

1

3n

。

（Ⅱ）

111111

loglog...log

n

baaa

(12...)

(1)

2

n

nn







故

1211

2()

(1)1

n

bnnnn





12

111111112

...2((1)()...())

22311

n

n

bbbnnn





所以数列

1

{}

n

b

的前n项和为

2

1

n

n





(18)解：

（Ⅰ）因为

60,2DABABAD

,由余弦定理得3BDAD

从而BD2+AD2=AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.故PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标

系D-xyz，则

1,0,0A,03,0B，,1,3,0C,0,0,1P。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBC

uuuvuuuvuuuv

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则

即

30

30

xy

yz





因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC的法向量为m，则

0

0

mPB

mBC





uuuv

uuuv

可取m=（0，-1，3）

427

cos,

7

27

mn





故二面角A-PB-C的余弦值为

27

7



（19）解

（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为

228

=0.3

100



，所以用A配方生产的

产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为

3210

0.42

100



，所以用B配方生产的产

品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

(20）解：

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA

uuur

=（-x,-1-y）,MB

uuur

=(0,-3-y),

AB

uuur

=(x,-2).再由愿意得知（MA

uuur

+MB

uuur

）•AB

uuur

=0,即（-x,-4-2y）•(x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=

1

4

x2-2.

(Ⅱ)设P(x

0

,y

0

)为曲线C：y=

1

4

x2-2上一点，因为y'=

1

2

x,所以l的斜率为

1

2

x

0

因此直线l的方程为

000

1

()

2

yyxxx

，即2

00

220xxyyx。

则O点到l的距离

2

00

2

0

|2|

4

yx

d

x







.又2

00

1

2

4

yx

，所以

2

0

2

0

22

00

1

4

14

2

(4)2,

2

44

x

dx

xx







当2

0

x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

（21）解：

（Ⅰ）

22

1

(ln)

'()

(1)

x

x

b

x

fx

xx











由于直线230xy的斜率为

1

2

，且过点(1,1)，故

(1)1,

1

'(1),

2

f

f















即

1,

1

,

22

b

a

b















解得1a，1b。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

ln1

1

x

xx





，所以

2

2

ln1(1)(1)

()()(2ln)

11

xkkx

fxx

xxxx







。

考虑函数

()2lnhxx

2(1)(1)kx

x



(0)x

，则

2

2

(1)(1)2

'()

kxx

hx

x



。

(i)设

0k

，由

22

2

(1)(1)

'()

kxx

hx

x



知，当

1x

时，

'()0hx

。而

(1)0h

，故

当

(0,1)x

时，

()0hx

，可得

2

1

()0

1

hx

x





；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得

21

1

x

h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（

1

ln

x

x

+

x

k

）>0，即f（x）>

1

ln

x

x

+

x

k

.

（ii）设0

k1

1

）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故h’（x）>0,而h（1）=0，

故当x（1，

k1

1

）时，h（x）>0，可得

21

1

x

h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得

21

1

x

h

（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

（22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC,

即

AB

AE

AC

AD



.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x

1

=2,x

2

=12.

故AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因

为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥=AG=5，DF=

2

1

(12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

2

（23）解：

（I）设P(x,y),则由条件知M(

2

,

2

YX

).由于M点在C

1

上，所以

































sin22

2

,cos2

2

y

x

即

















sin44

cos4

y

x

从而2C

的参数方程为

4cos

44sin

x

y















（



为参数）

（Ⅱ）曲线1C

的极坐标方程为

4sin

，曲线2C

的极坐标方程为

8sin

。

射线

3





与1C的交点A的极径为14sin

3





，

射线

3





与2C的交点B的极径为28sin

3





。

所以21||||23AB.

（24）解：

（Ⅰ）当

1a

时，

()32fxx

可化为

|1|2x

。

由此可得3x或1x。

故不等式

()32fxx

的解集为

{|3xx

或

1}x

。

(Ⅱ)由

()0fx

的

30xax

此不等式化为不等式组

30

xa

xax











或

30

xa

axx











即

4

xa

a

x















或

2

xa

a

a















因为0a，所以不等式组的解集为|

2

a

xx

由题设可得

2

a



=1，故2a