高考数学试卷全国一卷

全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

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绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）

数学（理科）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.

4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

（1）设集合2430Axxx,230xx,则ABI

（A）

3

3,

2









（B）

3

3,

2









（C）

3

1,

2







（D）

3

,3

2







【答案】D

考点：集合的交集运算

【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般

要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数

集之间的运算,常借助数轴进行运算.

（2）设

(1i)1ixy

,其中

x

,y实数,则i=xy

（A）1（B）

2

（C）

3

（D）2

【答案】B

【解析】

试题分析：因为(1)=1+,xiyi所以

=1+,=1,1,||=|1+|2,xxiyixyxxyii

故选B.

考点：复数运算

【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查

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频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问

题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是

2i1

中的负号易忽略,所以做复数题要注意运

算的准确性.

（3）已知等差数列

n

a前9项的和为27,

10

8a,则

100

a

（A）100（B）99（C）98（D）97

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知,1

1

93627

,

98

ad

ad











所以

11001

1,1,9919998,adaad故选

C.

考点：等差数列及其运算

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多

元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此

可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之

有效的方法.

（4）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达

发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）

1

3

（B）

1

2

（C）

2

3

（D）

3

4

【答案】B

考点：几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的

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测度由：长度、面积、体积等.

（5）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何

体的体积是

28

3



,则它的表面积是

（A）17（B）18（C）20（D）28

【答案】A

【解析】

试题分析：该几何体直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的

1

8

,设球的半径为R,则3

7428

VR

833



,解得R2,所以它的

表面积是

7

8

的球面面积和三个扇形面积之和

22

71

=42+32=17

84

S故选A．

考点：三视图及球的表面积与体积

【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何

题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三

视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.

（6）已知方程

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值

范围是

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（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3

【答案】A

考点：双曲线的性质

【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意

双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.

（7）函数22xyxe在2,2的图像大致为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D

考点：函数图像与性质

【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一

般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接

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法,即由函数性质排除不符合条件的选项.

（8）若101abc，,则

（A）ccab（B）ccabba（C）loglog

ba

acbc（D）loglog

ab

cc

【答案】C

【解析】

试题分析：用特殊值法,令3a,2b,

1

2

c得

11

2232,选项A错误,

11

223223,选项B错

误,

23

1

3log2log2

2

,选项C正确,

32

11

loglog

22

,选项D错误,故选C．

考点：指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或

对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

（9）执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出x,y的值满足

（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx

n=n+1

结束

输出x,y

x2+y2≥36？

x=x+

n-1

2

，y=ny

输入x,y,n

开始

【答案】C

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考点：程序框图与算法案例

【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类

问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知

|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为

(A)2(B)4(C)6(D)8

【答案】B

考点：抛物线的性质.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所

以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的

主要原因.

(11)平面过正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

的顶点A,//平面CB

1

D

1

,I平面ABCD=m,I平面AB

B

1

A

1

=n,则m、n所成角的正弦值为

(A)

3

2

(B)

2

2

(C)

3

3

(D)

1

3

【答案】A

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【解析】

试题分析：如图,设平面

11

CBDI平面ABCD='m,平面

11

CBDI平面

11

ABBA='n,因为//

平面

11

CBD,所以//',//'mmnn,则,mn所成的角等于','mn所成的角.延长AD,过

1

D作

11

//DEBC,连接

11

,CEBD,则CE为'm,同理

11

BF为'n,而

111

//,//BDCEBFAB,则','mn所

成的角即为

1

,ABBD所成的角,即为60,故,mn所成角的正弦值为

3

2

,选A.

考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、

连线成形,解形求角、得钝求补.

（12）.已知函数()sin()(0),

24

fxx+x



，为()fx的零点,

4

x



为

()yfx图像的对称轴,且()fx在

5

1836









，单调,则



的最大值为

（A）11（B）9（C）7（D）5

【答案】B

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考点：三角函数的性质

【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查

能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①

sin0,0fxAxA

的单调

区间长度是半个周期;②若

sin0,0fxAxA

的图像关于直线0

xx

对称,

则



0

fxA

或



0

fxA

.

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)

题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分

(13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

【答案】2

【解析】

试题分析：由222||||||abab,得ab,所以1120m,解得2m.

考点：向量的数量积及坐标运算

【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公

式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若



1122

,,,xyxyab

,则

1122

xyxyab

.

(14)5(2)xx的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）

【答案】10

考点:二项式定理

【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r

T

,再确定r的值,从而确定指

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定项系数.

（15）设等比数列

n

a满足a

1

+a

3

=10,a

2

+a

4

=5,则a

1

a

2

…a

n

的最大值为．

【答案】64

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q,由

13

24

10

5

aa

aa











得,

2

1

2

1

(1)10

(1)5

aq

aqq















,解得

1

8

1

2

a

q















.所以

2

(1)17

12(1)

222

121

1

8()2

2

nn

nn

nnn

n

aaaaq





LL,于是当3n或4时,

12n

aaaL取得最大

值6264.

考点：等比数列及其应用

高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应

用,尽量避免小题大做.

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲

材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工

时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料

150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值

为元．

【答案】216000

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作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.

考点：线性规划的应用

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【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束

条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,

解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.

三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分为12分）

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos(coscos).CaB+bAc

（I）求C；

（II）若

7,cABC

的面积为

33

2

,求ABCV的周长．

【答案】（I）C

3



（II）57

【解析】

试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得

1

cosC

2

,故C

3



；（II）根据

133

sinC

22

ab．及C

3



得6ab．再利用余弦定理得225ab．再根据7c

可得C的周长为

57

．

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考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公

式,

sinsin,coscos,ABCABCtantanABC

,就是常用的结论,另外

利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化

边.”

（18）（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,

90AFDo,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60o．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

【答案】（I）见解析（II）

219

19



试题解析：（I）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC．

又F平面F,故平面F平面FDC．

（II）过D作DGF,垂足为G,由（I）知DG平面F．

以G为坐标原点,GF

uuur

的方向为

x

轴正方向,GF

uuur

为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系

Gxyz．

由（I）知DF为二面角DF的平面角,故DF60o,则DF2,DG3,可得

1,4,0,3,4,0,3,0,0,D0,0,3．

由已知,//F,所以//平面FDC．

C





D



F

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又平面CDI平面FDCDC,故//CD,CD//F．

由//F,可得平面FDC,所以CF为二面角CF的平面角,

CF60o．从而可得C2,0,3．

所以C1,0,3

uuur

,0,4,0

uuur

,C3,4,3

uuur

,4,0,0

uuur

．

设,,nxyz

r

是平面C的法向量,则

C0

0

n

n















uuur

r

uuur

r

,即

30

40

xz

y















,

所以可取3,0,3n

r

．

设m

r

是平面CD的法向量,则

C0

0

m

m















uuur

r

uuur

r

,

同理可取0,3,4m

r

．则

219

cos,

19

nm

nm

nm





rr

rr

rr．

故二面角C的余弦值为

219

19

．

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证

明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能

力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二

问一般考查角度问题,多用空间向量解决.

（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一

易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备

件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整

理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

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-14-

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表

示2台机器三年内共需更换的易损零件数,

n

表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求()0.5PXn,确定

n

的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n与20n之中选其一,应选用哪

个？

【答案】（I）见解析（II）19（III）19n

【解析】

试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概

率,然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20的期望,根据19n

时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值,应选19n.

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-15-

所以X的分布列为

X122

P

04.016.024.024.02.008.004.0

（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(XP,68.0)19(XP,故

n

的最小值为19.

（Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.

当19n时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019EY

404004.0)500320019(.

当20n时,

04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020EY4080.

可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值,故应选19n.

考点：概率与统计、随机变量的分布列

【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难

度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.

（20）.（本小题满分12分）设圆222150xyx的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与

x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C

1

,直线l交C

1

于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q

两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）1

34

22



yx

（0y）（II）

)38,12[

试题解析：（Ⅰ）因为||||ACAD,ACEB//,故ADCACDEBD,

所以||||EDEB,故||||||||||ADEDEAEBEA.

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又圆A的标准方程为16)1(22yx,从而4||AD,所以4||||EBEA.

由题设得)0,1(A,)0,1(B,2||AB,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

1

34

22



yx

（0y）.

（Ⅱ）当l与

x

轴不垂直时,设l的方程为)0)(1(kxky,),(

11

yxM,),(

22

yxN.

由















1

34

)1(

22yx

xky

得01248)34(2222kxkxk.

则

34

8

2

2

21



k

k

xx,

34

124

2

2

21





k

k

xx.

所以

34

)1(12

||1||

2

2

21

2







k

k

xxkMN.

过点)0,1(B且与l垂直的直线

m

：)1(

1

x

k

y,A到

m

的距离为

1

2

2k

,所以

1

34

4)

1

2

(42||

2

2

2

2

2











k

k

k

PQ.故四边形MPNQ的面积

34

1

112||||

2

1

2



k

PQMNS

.

可得当l与

x

轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为

)38,12[

.

当l与

x

轴垂直时,其方程为1x,3||MN,8||PQ,四边形MPNQ的面积为12.

综上,四边形MPNQ面积的取值范围为

)38,12[

.

考点：圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位

置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几

部分组成,.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想

及化归思想的应用.

（21）（本小题满分12分）已知函数221xfxxeax有两个零点.

(I)求a的取值范围；

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(II)设x

1

,x

2

是fx的两个零点,证明：

12

2xx.

【答案】(0,)

试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea．

（i）设0a,则()(2)xfxxe,()fx只有一个零点．

（ii）设0a,则当(,1)x时,'()0fx；当(1,)x时,'()0fx．所以()fx在

(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增．

又(1)fe,(2)fa,取b满足0b且ln

2

a

b,则

22

3

()(2)(1)()0

22

a

fbbababb,

故()fx存在两个零点．

（iii）设0a,由'()0fx得1x或ln(2)xa．

若

2

e

a,则ln(2)1a,故当(1,)x时,'()0fx,因此()fx在(1,)上单调递增．又

当1x时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．

若

2

e

a,则ln(2)1a,故当(1,ln(2))xa时,'()0fx；当(ln(2),)xa

时,'()0fx．因此()fx在(1,ln(2))a单调递减,在(ln(2),)a单调递增．又当1x

时,()0fx,所以()fx不存在两个零点．

综上,

a

的取值范围为(0,)．

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-18-

考点：导数及其应用

【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,

要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当

的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,

1

2

OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与eO相切；

(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.

O

D

C

B

A

【答案】(I)见解析(II)见解析

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-19-

试题解析：（Ⅰ）设E是AB的中点,连结OE,

因为,120OAOBAOB,所以OEAB,60AOE．

在RtAOE中,

1

2

OEAO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与⊙O相

切．

E

O'

D

C

O

B

A

（Ⅱ）因为2OAOD,所以O不是,,,ABCD四点所在圆的圆心,设'O是,,,ABCD四点所

在圆的圆心,作直线'OO．

由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又'O在线段AB的垂直平分线上,所以'OOAB．

同理可证,'OOCD．所以//ABCD．

考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关

系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的

相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xy中,曲线C

1

的参数方程为

cos

1sin

xat

yat











（t为参数,a＞0）．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C

2

：ρ=4

cos.

（I）说明C

1

是哪一种曲线,并将C

1

的方程化为极坐标方程；

（II）直线C

3

的极坐标方程为

0

,其中

0

满足tan

0

=2,若曲线C

1

与C

2

的公共点都在C

3

上,

求a．

【答案】（I）圆,222sin10a

（II）1

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⑵

2

4cosC：

,两边同乘得22224coscosxyxQ，

224xyx

,即2

224xy②

3

C

：化为普通方程为

2yx

,由题意：

1

C

和

2

C

的公共方程所在直线即为

3

C

①—②得：24210xya

,即为

3

C

∴210a

,∴1a

考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐

标方程与参数方程的互化公式及应用.

（24）（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲

已知函数123fxxx.

（I）在答题卡第（24）题图中画出yfx的图像；

（II）求不等式1fx的解集．

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【答案】（I）见解析（II）

1

135

3









UU，，，

试题解析：⑴如图所示：

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考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法

【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、

由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一

定要写出集合形式.