全国卷1数学

-1--2-

学

校

：_

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年_

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_

班

姓

名

：

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学

号

：

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_

-

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-

-

-

密

封

线

-

-

-

-

-

-

-

-

-

密

封

线

-

-

-

-

-

-

-

-

-

绝密★启用前

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学全国I卷

（全卷共10页）

(适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北)

注意事项：

1．

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2．

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案

写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．

考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2430Axxx，230xx,则ABI

（A）

3

3,

2









（B）

3

3,

2









（C）

3

1,

2







（D）

3

,3

2







2.设yixi1)1(，其中yx,是实数，则yix

（A）1（B）2（C）

3

（D）2

3.已知等差数列

n

a前9项的和为27，

10

8a，则

100

a

（A）100（B）99（C）98（D）97

4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发

车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分

钟的概率是

（A）

1

3

（B）

1

2

（C）

2

3

（D）

3

4

5.已知方程

22

22

1

3

xy

mnmn





表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,

则n的取值范围是

（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3

6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半

径.若该几何体的体积是

28

3



,则它的表面积是

（A）17（B）18

（C）20（D）28

7.函数22xyxe在2,2的图像大致为

8.若101abc，,则

（A）ccab（B）ccabba

（C）

loglog

ba

acbc（D）loglog

ab

cc

-3--4-

9.执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出x,y的值满足

（A）2yx

（B）3yx

（C）4yx

（D）5yx

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两

点.已知|AB|=42,|DE|=

25

,则C的焦点到准线的距离为

(A)2(B)4(C)6(D)8

11.平面过正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

的顶点A,//平面CB

1

D

1

,

I平面ABCD=m,I平面ABB

1

A

1

=n,则m、n所成角的正弦值为

(A)

3

2

(B)

2

2

(C)

3

3

(D)

1

3

12.已知函数()sin()(0),

24

fxx+x



，为()fx的零点,

4

x





为()yfx图像的对称轴，且()fx在

5

1836









，单调，则



的最大值为

（A）11（B）9（C）7（D）5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题都必

须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分。

13.设向量)1,(ma，)2,1(b，且222baba，则

m

．

14.5)2(xx的展开式中，3x的系数是．（用数字填写答案）

15.设等比数列



n

a

满足

10

31

aa

，5

42

aa，则n

aaa

21的最大值

为．

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需

要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙

材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产

品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过

600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值

为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

ABC△的内角

CBA,,

的对边分别为

cba,,

，已知

cAbBaC)coscos(cos2

.

（Ⅰ）求

C

；

是

否

nyy

n

xx



,

2

1

3622yx

输入nyx,,

输出yx,

开始

结束

1nn

-5--6-

（Ⅰ）若

7c

，ABC△的面积为

2

33

.求ABC△的周长.

18.（本小题满分12分）

如图，在以FEDCBA,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，

FDAF2，90AFD，且二面角EAFD与二面角

FBEC都是60°.

（Ⅰ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅰ）求二面角ABCE的余弦值.

19.（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零

件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用

期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买

几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，

得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发

生的频率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，

n

表示购买2台

机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求

X

的分布列；

（Ⅱ）若要求

5.0）（nXP

，确定

n

的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19n与20n之中

选其一，应选用哪个？

F

E

A

B

C

D

-7--8-

20.（本小题满分12分）

设圆015222xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重

合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅰ）设点E的轨迹为曲线

1

C，直线l交

1

C于NM,两点，过B且与l垂直

的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点.

（Ⅰ）求

a

的取值范围；

（Ⅰ）设

21

,xx是)(xf的两个零点，证明：2

21

xx.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，OAB△是等腰三角形，120AOB.以O为圆心，OA

2

1

为半

径作圆.

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点DC,在⊙O上，且DCBA,,,四点共圆，证明：CDAB∥.

-9--10-

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线

1

C的参数方程为











,sin1

,cos

tay

tax

(t为参数，

0a).在以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

2

C：cos4.

（Ⅰ）说明

1

C是哪一种曲线，并将

1

C的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线

3

C的极坐标方程为

0

，其中

0

满足2tan

0

，若曲线

1

C与

2

C的公共点都在

3

C上，求

a

.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

321)(xxxf

.

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy的图像；

（Ⅰ）求不等式1)(xf的解集.

C

B

A

O

D

x

y

1

1

o

-11--12-

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学全国I卷试题答案

一、选择题

题号1112

答案DBCBAADCCBAB

二、填空题

13．-214.1015.6416.216000

三、解答题

17.解：⑴2coscoscosCaBbAc

由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC

2cossinsinCABC

∵

πABC

，0πABC、、，

∴sinsin0ABC

∴

2cos1C

，

1

cos

2

C

∵0πC，

∴

π

3

C

⑵由余弦定理得：2222coscababC

22

1

72

2

abab

237abab

1333

sin

242

SabCab

∴

6ab

∴2187ab

5ab

∴

ABC△

周长为

57abc

18．解：(1)∵ABEF为正方形∴AFEF

∵

90AFD

∴AFDF

∵

=DFEFFI

∴AF面

EFDC

AF面ABEF

∴平面ABEF平面

EFDC

⑵由⑴知

60DFECEF

∵ABEF∥

AB

平面

EFDC

EF平面

EFDC

∴AB∥平面

ABCD

AB平面

ABCD

∵面

ABCDI

面

EFDCCD

∴

ABCD∥

∴

CDEF∥

∴四边形

EFDC

为等腰梯形

以E为原点，如图建立坐标系，设

FDa

-13--14-

000020EBa，，，，

3

0220

22

a

CaAaa









，，，，

020EBa

uuur

，，，

3

2

22

a

BCaa











uuur

，，

，200ABa

uuur

，，

设面

BEC

法向量为mxyz

ur

，，.

0

0

mEB

mBC















uruuur

uruuur，即

1

111

20

3

20

22

ay

a

xayaz















111

301xyz，，

301m

ur

，，

设面

ABC

法向量为

222

nxyz

r

，，

=0

0

nBC

nAB















ruuur

ruuur

.即222

2

3

20

22

20

a

xayaz

ax















222

034xyz，，

034n

r

，，

设二面角

EBCA

的大小为.

4219

cos

19

31316

mn

mn











urr

urr

∴二面角

EBCA

的余弦值为

219

19



19.解：⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件

i

A

为第一台机器3年内换掉

7i

个零件1,2,3,4i

记事件

i

B

为第二台机器3年内换掉

7i

个零件1,2,3,4i

由题知

134134

0.2PAPAPAPBPBPB，



22

0.4PAPB

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值

为16，17，18，19，20，21，22



11

160.20.20.04PXPAPB



1221

170.20.40.40.20.16PXPAPBPAPB



132231

180.20.20.20.20.40.40.24PXPAPBPAPBPAPB



14233241

190.20.20.20.20.40.2PXPAPBPAPBPAPBPAPB

0.20.40.24



243342

200.40.20.20.40.20.20.2PXPAPBPAPBPAPB



3443

210.20.20.20.20.08PxPAPBPAPB



44

220.20.20.04PxPAPB

X122

P0.040.160.240.240.20.080.04

⑵要令0.5Pxn≤≥

，

0.040.160.240.5Q

，

0.040.160.240.240.5≥

则n的最小值为19

⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另

一部分为备件不足时额外购买的费用

当

19n

时，费用的期望为

192005000.210000.0815000.044040

当

20n

时，费用的期望为

202005000.0810000.044080

所以应选用

19n

20.(1)圆A整理为2

2116xy，A坐标1,0，如图，

-15--16-

BEACQ∥

，则

CEBD∠∠

，由

,ACADDC则∠∠

，

EBDD∠∠，

则EBED

4AEEBAEEDAD

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为

22

1

43

xy



，(

0y

)；

⑵

22

1

:1

43

xy

C

；设

:1lxmy

，

因为

PQl⊥

，设:1PQymx

，联立

1

lC与椭圆

22

1

1

43

xmy

xy















得2234690mymy；

则



22

2

22

22

363634

121

||1||1

3434MN

mm

m

MNmyym

mm









；

圆心A到

PQ

距离



22

|11|

|2|

11

m

m

d

mm







，

所以

22

22

2

2

4434

||2||216

1

1

mm

PQAQd

m

m









，



2

22

2

22

2

121

114342411

||||2412,83

1

2234

134

3

1

MPNQ

m

mm

SMNPQ

m

mm

m



















22．⑴设圆的半径为r，作

OKAB

于K

∵

120OAOBAOB，

∴

30sin30

2

OA

OKABAOKOAr，，

∴AB与

O⊙

相切

⑵方法一：

假设

CD

与AB不平行

CD

与AB交于F

2FKFCFD①

∵

ABCD、、、

四点共圆

∴FCFDFAFBFKAKFKBK

∵AKBK

∴22FCFDFKAKFKAKFKAK②由①②可知矛盾

∴

ABCD∥

方法二：

因为

,,,ABCD四点共圆，不妨设圆心为T，

因为

,OAOBTATB，

所以

,OT

为AB的中垂线上，同理

,OCODTCTD，

所以

OTCD为

的中垂线，所以

ABCD∥

．

21.（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxfxxeaxxea．

（i）设0a，则

()(2)xfxxe，()fx只有一个零点．

（ii）设0a，则当(,1)x时，'()0fx；当(1,)x时，'()0fx．所

以()fx在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增．

又(1)fe，(2)fa，取b满足0b且ln

2

a

b，则

4

3

2

1

1

2

3

4

4224

x

E

D

A

B

C

4

3

2

1

1

2

3

4

4224

x

Q

P

N

M

A

B

-17--18-

22

3

()(2)(1)()0

22

a

fbbababb，

故()fx存在两个零点．

（iii）设0a，由'()0fx得1x或ln(2)xa．

若

2

e

a，则ln(2)1a，故当(1,)x时，'()0fx，因此()fx

在(1,)上单调递增．又当1x时，()0fx，所以()fx不存在两个

零点．

若

2

e

a，则ln(2)1a，故当(1,ln(2))xa时，'()0fx；当

(ln(2),)xa时，'()0fx．因此()fx在(1,ln(2))a单调递减，在

(ln(2),)a单调递增．又当1x时，()0fx，所以()fx不存在两

个零点．

综上，

a

的取值范围为(0,)．

（）不妨设

12

xx，由（Ⅰ）知

1

(,1)x，

2

(1,)x，

2

2(,1)x，

()fx在(,1)上单调递减，所以

12

2xx等价于

12

()(2)fxfx，

即

2

(2)0fx.

由于2

2

2

222

(2)(1)xfxxeax，而

2

2

222

()(2)(1)0xfxxeax，所以

22

2

222

(2)(2)xxfxxexe.

设2()(2)xxgxxexe，则2()(1)()xxgxxee

.

所以当1x时，()0gx



，而(1)0g，故当1x时，()0gx.

从而

22

()(2)0gxfx，故

12

2xx.

23．⑴

cos

1sin

xat

yat











（t均为参数）

∴2

221xya①

∴

1

C

为以01，

为圆心，a为半径的圆．方程为222210xyya

∵222sinxyy，

∴222sin10a

即为

1

C的极

坐标方程

⑵

2

4cosC：

两边同乘得22224coscosxyxQ，

224xyx

即2

224xy②

3

C

：化为普通方程为

2yx

由题意：

1

C

和

2

C

的公共方程所在直线即为

3

C

①—②得：24210xya

，即为

3

C

∴210a

∴

1a

24．⑴如图所示：

⑵

41

3

321

2

3

4

2

xx

fxxx

xx

























，≤

，

，≥

1fx

当

1x≤

，

41x

，解得

5x

或

3x

1x∴≤

当

3

1

2

x

，321x，解得

1x

或

1

3

x

1

1

3

x∴

或

3

1

2

x

-19--20-

当

3

2

x≥

，

41x

，解得

5x

或

3x

3

3

2

x∴≤

或

5x

综上，

1

3

x

或

13x

或

5x

1fx∴，解集为

1

135

3









UU，，，